Grupo Brauer

En matemáticas , el grupo de Brauer de un cuerpo K es un grupo abeliano cuyos elementos son clases de equivalencia de Morita de álgebras simples centrales sobre K , con adición dada por el producto tensorial de álgebras . Fue definido por el algebrista Richard Brauer .

El grupo de Brauer surgió de los intentos de clasificar las álgebras de división sobre un cuerpo. También se puede definir en términos de cohomología de Galois . De manera más general, el grupo de Brauer de un esquema se define en términos de álgebras de Azumaya o, equivalentemente, utilizando fibrados proyectivos .

Un álgebra central simple (CSA) sobre un cuerpo K es un álgebra K - asociativa de dimensión finita A tal que A es un anillo simple y el centro de A es igual a K. Tenga en cuenta que las CSA en general no son álgebras de división, aunque las CSA se pueden usar para clasificar álgebras de división.

Por ejemplo, los números complejos C forman un CSA sobre sí mismos, pero no sobre R (el centro es C mismo, por lo tanto demasiado grande para ser CSA sobre R ). Las álgebras de división de dimensión finita con centro R (lo que significa que la dimensión sobre R es finita) son los números reales y los cuaterniones por un teorema de Frobenius , mientras que cualquier anillo de matrices sobre los reales o cuaterniones – M( n , R ) o M( n , H ) – es un CSA sobre los reales, pero no un álgebra de división (si n > 1).

Obtenemos una relación de equivalencia sobre CSAs sobre K por el teorema de Artin-Wedderburn ( la parte de Wedderburn , de hecho), para expresar cualquier CSA como un M( n , D ) para alguna álgebra de división D . Si miramos solo a D , es decir, si imponemos una relación de equivalencia que identifique M( m , D ) con M( n , D ) para todos los enteros positivos m y n , obtenemos la relación de equivalencia de Brauer sobre CSAs sobre K . Los elementos del grupo de Brauer son las clases de equivalencia de Brauer de CSAs sobre K .

Dadas las álgebras centrales simples A y B , se puede considerar su producto tensorial A ⊗ B como una K -álgebra . Resulta que esta siempre es central simple. Una forma ingeniosa de ver esto es usar una caracterización: un álgebra central simple A sobre K es una K -álgebra que se convierte en un anillo matricial cuando extendemos el campo de escalares a un cierre algebraico de K . Este resultado también muestra que la dimensión de un álgebra central simple A como un K -espacio vectorial es siempre un cuadrado . El grado de A se define como la raíz cuadrada de su dimensión.

Como resultado, las clases de isomorfismo de los CSA sobre K forman un monoide bajo producto tensorial, compatible con la equivalencia de Brauer, y las clases de Brauer son todas invertibles : la inversa de un álgebra A está dada por su álgebra opuesta A ^op (el anillo opuesto con la misma acción por K ya que la imagen de K → A está en el centro de A ). Explícitamente, para un CSA A tenemos A ⊗ A ^op = M( n ² , K ) , donde n es el grado de A sobre K .

El grupo de Brauer de cualquier cuerpo es un grupo de torsión . Con más detalle, defina el período de un álgebra simple central A sobre K como su orden como elemento del grupo de Brauer. Defina el índice de A como el grado del álgebra de división que es equivalente de Brauer a A. Entonces, el período de A divide el índice de A (y, por lo tanto, es finito). ^[1]

• En los siguientes casos, toda álgebra de división central de dimensión finita sobre un cuerpo K es K en sí misma, de modo que el grupo de Brauer Br( K ) es trivial :
  • K es un campo algebraicamente cerrado .
  • K es un cuerpo finito ( teorema de Wedderburn ). ^[2] De manera equivalente, cada anillo de división finito es conmutativo .
  • K es el campo de funciones de una curva algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado ( teorema de Tsen ). ^[3] De manera más general, el grupo de Brauer se desvanece para cualquier campo C _{1 .}
  • K es una extensión algebraica de Q que contiene todas las raíces de la unidad . ^[2]
• El grupo de Brauer Br  R de los números reales es el grupo cíclico de orden dos. Sólo hay dos álgebras de división real no isomorfas con centro R : la propia R y el álgebra de cuaterniones H . ^[4] Como H  ⊗  H ≅ M(4, R ) , la clase de H tiene orden dos en el grupo de Brauer.
• Sea K un cuerpo local no arquimediano , lo que significa que K es completo bajo una valoración discreta con un cuerpo de residuos finitos. Entonces Br  K es isomorfo a Q / Z . ^[5]

Otra interpretación importante del grupo de Brauer de un cuerpo K es que clasifica las variedades proyectivas sobre K que se vuelven isomorfas al espacio proyectivo sobre un cierre algebraico de K . Tal variedad se llama variedad de Severi-Brauer , y existe una correspondencia biunívoca entre las clases de isomorfismo de las variedades de Severi-Brauer de dimensión n − 1 sobre K y las álgebras simples centrales de grado n sobre K . ^[6]

Por ejemplo, las variedades de Severi-Brauer de dimensión 1 son exactamente las cónicas suaves en el plano proyectivo sobre K . Para un cuerpo K de característica distinta de 2, cada cónica sobre K es isomorfa a una de las formas ax ² + by ² = z ² para algunos elementos a y b distintos de cero de K . El álgebra simple central correspondiente es el álgebra de cuaterniones ^[7]

${\displaystyle (a,b)=K\langle i,j\rangle /(i^{2}=a,j^{2}=b,ij=-ji).}$

La cónica es isomorfa a la línea proyectiva P ¹ sobre K si y sólo si el álgebra de cuaterniones correspondiente es isomorfa al álgebra matricial M(2, K ).

Para un entero positivo n , sea K un cuerpo en el que n es invertible tal que K contiene una raíz primitiva n ésima de la unidad ζ . Para los elementos a y b distintos de cero de K , el álgebra cíclica asociada es el álgebra simple central de grado n sobre K definida por

${\displaystyle (a,b)_{\zeta }=K\langle u,v\rangle /(u^{n}=a,v^{n}=b,uv=\zeta vu).}$

Las álgebras cíclicas son las álgebras simples centrales mejor comprendidas. (Cuando n no es invertible en K o K no tiene una raíz n - ésima primitiva de la unidad, una construcción similar da el álgebra cíclica ( χ , a ) asociada a una Z / n -extensión cíclica χ de K y un elemento distinto de cero a de K . ^[8] )

El teorema de Merkurjev-Suslin en la teoría algebraica K tiene una fuerte consecuencia sobre el grupo de Brauer. Es decir, para un entero positivo n , sea K un cuerpo en el que n es invertible tal que K contiene una raíz primitiva n ésima de la unidad. Entonces el subgrupo del grupo de Brauer de K eliminado por n se genera mediante álgebras cíclicas de grado n . ^[9] De manera equivalente, cualquier álgebra de división de período que divida n es equivalente de Brauer a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado n . Incluso para un número primo p , hay ejemplos que muestran que un álgebra de división de período p no necesita ser realmente isomorfa a un producto tensorial de álgebras cíclicas de grado p . ^[10]

Es un problema abierto importante (planteado por Albert ) si cada álgebra de división de grado primo sobre un cuerpo es cíclica. Esto es cierto si el grado es 2 o 3, pero el problema es totalmente abierto para primos de al menos 5. Los resultados conocidos son solo para clases especiales de cuerpos. Por ejemplo, si K es un cuerpo global o un cuerpo local , entonces un álgebra de división de cualquier grado sobre K es cíclica, por Albert– Brauer – Hasse – Noether . ^[11] Saltman demostró un resultado de "dimensión superior" en la misma dirección : si K es un cuerpo de grado de trascendencia 1 sobre el cuerpo local Q _p , entonces cada álgebra de división de grado primo l ≠ p sobre K es cíclica. ^[12]

Para cualquier álgebra simple central A sobre un cuerpo K , el período de A divide el índice de A , y los dos números tienen los mismos factores primos. ^[13] El problema del período-índice consiste en acotar el índice en términos del período, para los cuerpos K de interés. Por ejemplo, si A es un álgebra simple central sobre un cuerpo local o un cuerpo global, entonces Albert–Brauer–Hasse–Noether demostró que el índice de A es igual al período de A . ^[11]

Para un álgebra central simple A sobre un cuerpo K de grado de trascendencia n sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, se conjetura que ind( A ) divide a per( A ) ^{n −1} . Esto es cierto para n ≤ 2 , siendo el caso n = 2 un avance importante de de Jong , agudizado en característica positiva por de Jong–Starr y Lieblich. ^[14]

El grupo de Brauer desempeña un papel importante en la formulación moderna de la teoría de campos de clases . Si K _v es un campo local no arquimediano, la teoría de campos de clases locales da un isomorfismo canónico inv _v  : Br  K _v → Q / Z , el invariante de Hasse . ^[2]

El caso de un cuerpo global K (como un cuerpo numérico ) se aborda mediante la teoría de cuerpos de clase global . Si D es un álgebra simple central sobre K y v es un lugar de K , entonces D  ⊗  K _v es un álgebra simple central sobre K _v , la completitud de K en v . Esto define un homomorfismo del grupo de Brauer de K en el grupo de Brauer de K _v . Un álgebra simple central dada D se divide para todos excepto un número finito de v , de modo que la imagen de D bajo casi todos esos homomorfismos es 0. El grupo de Brauer Br  K encaja en una secuencia exacta construida por Hasse: ^{[15] [16]}

${\displaystyle 0\rightarrow \operatorname {Br} K\rightarrow \bigoplus _ {v\in S}\operatorname {Br} K_{v}\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

donde S es el conjunto de todos los lugares de K y la flecha derecha es la suma de los invariantes locales; el grupo de Brauer de los números reales se identifica con (1/2) Z / Z . La inyectividad de la flecha izquierda es el contenido del teorema de Albert–Brauer–Hasse–Noether .

El hecho de que la suma de todos los invariantes locales de un álgebra simple central sobre K sea cero es una ley de reciprocidad típica . Por ejemplo, al aplicar esto a un álgebra de cuaterniones ( a , b ) sobre Q se obtiene la ley de reciprocidad cuadrática .

Para un campo arbitrario K , el grupo de Brauer se puede expresar en términos de cohomología de Galois de la siguiente manera: ^[17]

${\displaystyle \operatorname {Br} K\cong H^{2}(K,G_{\text{m}}),}$

donde G _m denota el grupo multiplicativo , visto como un grupo algebraico sobre K. Más concretamente, el grupo de cohomología indicado significa H ² (Gal( K _s / K ), K _s ^* ) , donde K _s denota un cierre separable de K.

El isomorfismo del grupo de Brauer con un grupo de cohomología de Galois se puede describir de la siguiente manera. El grupo de automorfismo del álgebra de matrices n por n es el grupo lineal proyectivo PGL( n ). Dado que todas las álgebras simples centrales sobre K se vuelven isomorfas al álgebra matricial sobre una clausura separable de K , el conjunto de clases de isomorfismo de álgebras simples centrales de grado n sobre K se puede identificar con el conjunto de cohomología de Galois H ¹ ( K , PGL( n )) . La clase de un álgebra simple central en H ² ( K , G _m ) es la imagen de su clase en H ¹ bajo el homomorfismo de contorno

${\displaystyle H^{1}(K,\nombre del operador {PGL} (n))\rightarrow H^{2}(K,G_{\text{m}})}$

asociado a la secuencia exacta corta 1 → G _m → GL( n ) → PGL( n ) → 1 .

El grupo de Brauer fue generalizado de campos a anillos conmutativos por Auslander y Goldman . Grothendieck fue más allá al definir el grupo de Brauer de cualquier esquema .

Hay dos maneras de definir el grupo de Brauer de un esquema X , utilizando álgebras de Azumaya sobre X o fibrados proyectivos sobre X . La segunda definición involucra fibrados proyectivos que son localmente triviales en la topología étale , no necesariamente en la topología de Zariski . En particular, un fibrado proyectivo se define como cero en el grupo de Brauer si y solo si es la proyectivización de algún fibrado vectorial.

El grupo de Brauer cohomológico de un esquema cuasi-compacto X se define como el subgrupo de torsión del grupo de cohomología étale H ² ( X , G _m ) . (El grupo completo H ² ( X , G _m ) no necesita ser torsión, aunque lo es para esquemas regulares X . ^[18] ) El grupo de Brauer es siempre un subgrupo del grupo de Brauer cohomológico. Gabber demostró que el grupo de Brauer es igual al grupo de Brauer cohomológico para cualquier esquema con un fibrado de líneas amplio (por ejemplo, cualquier esquema cuasi-proyectivo sobre un anillo conmutativo). ^[19]

Todo el grupo H ² ( X , G _m ) puede considerarse como la clasificación de los gerbes sobre X con el grupo estructural G _m .

Para variedades proyectivas suaves sobre un cuerpo, el grupo de Brauer es un invariante biracional . Ha sido fructífero. Por ejemplo, cuando X también está racionalmente conectado sobre los números complejos, el grupo de Brauer de X es isomorfo al subgrupo de torsión del grupo de cohomología singular H ³ ( X , Z ) , que es por lo tanto un invariante biracional. Artin y Mumford utilizaron esta descripción del grupo de Brauer para dar el primer ejemplo de una variedad uniracional X sobre C que no es racionalmente estable (es decir, ningún producto de X con un espacio proyectivo es racional). ^[20]

Artin conjeturó que todo esquema propio sobre los números enteros tiene un grupo de Brauer finito. ^[21] Esto está lejos de ser conocido incluso en el caso especial de una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo finito. De hecho, la finitud del grupo de Brauer para superficies en ese caso es equivalente a la conjetura de Tate para divisores en X , uno de los principales problemas en la teoría de ciclos algebraicos . ^[22]

Para un esquema integral regular de dimensión 2 que es plano y propio sobre el anillo de enteros de un cuerpo de números, y que tiene una sección , la finitud del grupo de Brauer es equivalente a la finitud del grupo de Tate-Shafarevich Ш para la variedad jacobiana de la fibra general (una curva sobre un cuerpo de números). ^[23] La finitud de Ш es un problema central en la aritmética de curvas elípticas y, más generalmente, de variedades abelianas .

Sea X una variedad proyectiva suave sobre un cuerpo de números K . El principio de Hasse predeciría que si X tiene un punto racional sobre todas las terminaciones K _v de K , entonces X tiene un punto K -racional. El principio de Hasse se cumple para algunas clases especiales de variedades, pero no en general. Manin utilizó el grupo de Brauer de X para definir la obstrucción de Brauer–Manin , que se puede aplicar en muchos casos para demostrar que X no tiene K -puntos incluso cuando X tiene puntos sobre todas las terminaciones de K .