Tipos especiales de subgrupos que se encuentran en la teoría de grupos
En matemáticas , especialmente en teoría de grupos , el centralizador (también llamado conmutante [1] [2] ) de un subconjunto S en un grupo G es el conjunto de elementos de G que conmutan con cada elemento de S , o equivalentemente, el conjunto de elementos tales que la conjugación por deja cada elemento de S fijo. El normalizador de S en G es el conjunto de elementos de G que satisfacen la condición más débil de dejar el conjunto fijo bajo conjugación. El centralizador y el normalizador de S son subgrupos de G. Muchas técnicas en teoría de grupos se basan en el estudio de los centralizadores y normalizadores de subconjuntos adecuados S.
Debidamente formuladas, las definiciones también se aplican a los semigrupos .
En la teoría de anillos , el centralizador de un subconjunto de un anillo se define con respecto a la operación de semigrupo (multiplicación) del anillo. El centralizador de un subconjunto de un anillo R es un subanillo de R. Este artículo también trata sobre centralizadores y normalizadores en un álgebra de Lie .
El idealizador en un semigrupo o anillo es otra construcción que está en la misma línea que el centralizador y el normalizador.
Definiciones
Grupo y semigrupo
El centralizador de un subconjunto S del grupo (o semigrupo) G se define como [3]
donde solo la primera definición se aplica a los semigrupos. Si no hay ninguna ambigüedad sobre el grupo en cuestión, la G se puede suprimir de la notación. Cuando S = { a } es un conjunto singleton , escribimos C G ( a ) en lugar de C G ({ a }). Otra notación menos común para el centralizador es Z( a ), que es paralela a la notación para el centro . Con esta última notación, se debe tener cuidado de evitar la confusión entre el centro de un grupo G , Z( G ), y el centralizador de un elemento g en G , Z( g ).
El normalizador de S en el grupo (o semigrupo) G se define como
donde nuevamente solo se aplica la primera definición a los semigrupos. Si el conjunto es un subgrupo de , entonces el normalizador es el subgrupo más grande donde es un subgrupo normal de . Las definiciones de centralizador y normalizador son similares pero no idénticas. Si g está en el centralizador de S y s está en S , entonces debe ser que gs = sg , pero si g está en el normalizador, entonces gs = tg para algún t en S , con t posiblemente diferente de s . Es decir, los elementos del centralizador de S deben conmutar puntualmente con S , pero los elementos del normalizador de S solo necesitan conmutar con S como un conjunto . Las mismas convenciones de notación mencionadas anteriormente para los centralizadores también se aplican a los normalizadores. El normalizador no debe confundirse con el cierre normal .
Claramente ambos son subgrupos de .
Anillo, álgebra sobre un cuerpo, anillo de Lie y álgebra de Lie
Si R es un anillo o un álgebra sobre un cuerpo , y S es un subconjunto de R , entonces el centralizador de S es exactamente el definido para los grupos, con R en el lugar de G.
Si es un álgebra de Lie (o anillo de Lie ) con producto de Lie [ x , y ], entonces el centralizador de un subconjunto S de se define como [4]
La definición de centralizadores para anillos de Lie está vinculada a la definición de anillos de la siguiente manera. Si R es un anillo asociativo, entonces a R se le puede dar el producto de corchetes [ x , y ] = xy − yx . Por supuesto, entonces xy = yx si y solo si [ x , y ] = 0 . Si denotamos el conjunto R con el producto de corchetes como L R , entonces claramente el centralizador de anillo de S en R es igual al centralizador de anillo de Lie de S en L R .
El normalizador de un subconjunto S de un álgebra de Lie (o anillo de Lie) viene dado por [4]
Si bien este es el uso estándar del término "normalizador" en el álgebra de Lie, esta construcción es en realidad el idealizador del conjunto S en . Si S es un subgrupo aditivo de , entonces es el subanillo de Lie más grande (o subálgebra de Lie, según sea el caso) en el que S es un ideal de Lie . [5]
Ejemplo
Considere el grupo
(el grupo simétrico de permutaciones de 3 elementos).
Tome un subconjunto H del grupo G:
Nótese que [1, 2, 3] es la permutación identidad en G y conserva el orden de cada elemento y [1, 3, 2] es la permutación que fija el primer elemento e intercambia el segundo y el tercer elemento.
El normalizador de H respecto del grupo G son todos los elementos de G que dan como resultado el conjunto H (potencialmente permutado) cuando se aplica la operación de grupo. Realizando el ejemplo para cada elemento de G:
cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [1, 2, 3] está en el Normalizador(H) con respecto a G.
cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [1, 3, 2] está en el Normalizador(H) con respecto a G.
cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [2, 1, 3] no está en el Normalizador(H) con respecto a G.
cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [2, 3, 1] no está en el Normalizador(H) con respecto a G.
cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [3, 1, 2] no está en el Normalizador(H) con respecto a G.
cuando se aplica a H => ; por lo tanto, [3, 2, 2] no está en el Normalizador(H) con respecto a G.
Por lo tanto, el Normalizador(H) con respecto a G es ya que ambos elementos del grupo preservan el conjunto H.
Un grupo se considera simple si el normalizador respecto de un subconjunto es siempre la identidad y él mismo. Aquí queda claro que S 3 no es un grupo simple.
El centralizador del grupo G es el conjunto de elementos que dejan inalterados todos los elementos de H. Es evidente que el único elemento de este tipo en S 3 es el elemento identidad [1, 2, 3].
Propiedades
Semigrupos
Sea el centralizador de en el semigrupo ; es decir Entonces forma un subsemigrupo y ; es decir un conmutante es su propio bicommutante .
Grupos
Fuente: [6]
El centralizador y el normalizador de S son ambos subgrupos de G.
Claramente, C G ( S ) ⊆ N G ( S ) . De hecho, C G ( S ) es siempre un subgrupo normal de N G ( S ), siendo el núcleo del homomorfismo N G ( S ) → Bij( S ) y el grupo N G ( S )/C G ( S ) actúa por conjugación como un grupo de biyecciones sobre S . Por ejemplo, el grupo de Weyl de un grupo de Lie compacto G con un toro T se define como W ( G , T ) = N G ( T )/C G ( T ) , y especialmente si el toro es maximal (es decir, C G ( T ) = T ) es una herramienta central en la teoría de grupos de Lie.
C G (C G ( S )) contiene a S , pero C G ( S ) no necesita contener a S . La contención ocurre exactamente cuando S es abeliano.
Si H es un subgrupo de G , entonces N G ( H ) contiene H .
Si H es un subgrupo de G , entonces el subgrupo más grande de G en el que H es normal es el subgrupo N G (H).
Si S es un subconjunto de G tal que todos los elementos de S conmutan entre sí, entonces el subgrupo más grande de G cuyo centro contiene a S es el subgrupo C G (S).
Un subgrupo H de un grupo G se llamasubgrupo autonormalizante deGsiN G ( H ) = H .
El centro de G es exactamente C G (G) y G es un grupo abeliano si y sólo si C G (G) = Z( G ) = G .
Para conjuntos singleton, C G ( a ) = N G ( a ) .
Por simetría, si S y T son dos subconjuntos de G , T ⊆ C G ( S ) si y sólo si S ⊆ C G ( T ) .
Para un subgrupo H del grupo G , el teorema N/C establece que el grupo factorial N G ( H )/C G ( H ) es isomorfo a un subgrupo de Aut( H ), el grupo de automorfismos de H . Puesto que N G ( G ) = G y C G ( G ) = Z( G ) , el teorema N/C también implica que G /Z( G ) es isomorfo a Inn( G ), el subgrupo de Aut( G ) que consiste en todos los automorfismos internos de G .
Si definimos un homomorfismo de grupo T : G → Inn( G ) por T ( x )( g ) = T x ( g ) = xgx −1 , entonces podemos describir N G ( S ) y C G ( S ) en términos de la acción de grupo de Inn( G ) sobre G : el estabilizador de S en Inn( G ) es T (N G ( S )), y el subgrupo de Inn( G ) que fija S puntualmente es T (C G ( S )).
Se dice que un subgrupo H de un grupo G es C-cerrado o autobicommutante si H = C G ( S ) para algún subconjunto S ⊆ G . Si es así, entonces, de hecho, H = C G (C G ( H )) .
Anillos y álgebras sobre un cuerpo
Fuente: [4]
Los centralizadores en anillos y en álgebras sobre un cuerpo son subanillos y subálgebras sobre un cuerpo, respectivamente; los centralizadores en anillos de Lie y en álgebras de Lie son subanillos de Lie y subálgebras de Lie, respectivamente.
El normalizador de S en un anillo de Lie contiene el centralizador de S.
C R (C R ( S )) contiene a S pero no son necesariamente iguales. El teorema del doble centralizador trata de situaciones en las que se da la igualdad.
Si S es un subgrupo aditivo de un anillo de Lie A , entonces N A ( S ) es el subanillo de Lie más grande de A en el que S es un ideal de Lie.
Si S es un subanillo de Lie de un anillo de Lie A , entonces S ⊆ N A ( S ) .
^ Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). Temas avanzados en álgebra lineal: Tejiendo problemas matriciales a través de la forma de Weyr. Oxford University Press . p. 65. ISBN978-0-19-979373-0.
^ Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). La teoría de Lie de grupos pro-Lie conectados: una teoría estructural para álgebras pro-Lie, grupos pro-Lie y grupos localmente compactos conectados. Sociedad Matemática Europea . p. 30. ISBN978-3-03719-032-6.