Campo vectorial de la muerte

En matemáticas , un campo vectorial de Killing (a menudo llamado campo de Killing ), llamado así por Wilhelm Killing , es un campo vectorial en una variedad de Riemann (o variedad pseudo-Riemanniana ) que preserva la métrica . Los campos de Killing son los generadores infinitesimales de isometrías ; es decir, los flujos generados por los campos de Killing son isometrías continuas de la variedad . Más simplemente, el flujo genera una simetría , en el sentido de que mover cada punto de un objeto la misma distancia en la dirección del vector de Killing no distorsionará las distancias en el objeto.

En concreto, un campo vectorial es un campo de Killing si la derivada de Lie con respecto a la métrica se desvanece: ^[1]${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}$

En términos de la conexión Levi-Civita , esto es

${\displaystyle g\left(\nabla _{Y}X,Z\right)+g\left(Y,\nabla _{Z}X\right)=0\,}$

Para todos los vectores y . En coordenadas locales , esto equivale a la ecuación de Killing ^[2]${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}$

Esta condición se expresa en forma covariante, por lo que basta establecerla en un sistema de coordenadas preferido para que se cumpla en todos los sistemas de coordenadas.

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El campo vectorial en un círculo que apunta en sentido antihorario y tiene la misma longitud en cada punto es un campo vectorial de Killing, ya que mover cada punto del círculo a lo largo de este campo vectorial simplemente gira el círculo.

Un ejemplo de juguete para un campo vectorial de Killing está en el semiplano superior equipado con la métrica de Poincaré . El par se denomina típicamente plano hiperbólico y tiene un campo vectorial de Killing (usando coordenadas estándar). Esto debería ser intuitivamente claro ya que la derivada covariante transporta la métrica a lo largo de una curva integral generada por el campo vectorial (cuya imagen es paralela al eje x).${\displaystyle M=\mathbb {R} _{y>0}^{2}}$ ${\displaystyle g=y^{-2}\left(dx^{2}+dy^{2}\right)}$${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle \partial _{x}}$${\displaystyle \nabla _{\partial _{x}}g}$

Además, la métrica es independiente de la cual podemos concluir inmediatamente que es un campo de exterminio utilizando uno de los resultados a continuación en este artículo.${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial _{x}}$

El grupo de isometría del modelo del semiplano superior (o más bien, el componente conectado a la identidad) es (véase el modelo del semiplano de Poincaré ), y los otros dos campos de Killing pueden derivarse de considerar la acción de los generadores de en el semiplano superior. Los otros dos campos de Killing generadores son la dilatación y la transformación conforme especial .${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D=x\partial _{x}+y\partial _{y}}$ ${\displaystyle K=(x^{2}-y^{2})\partial _{x}+2xy\partial _{y}}$

Los campos Killing de la biesfera , o más generalmente de la -esfera , deberían ser obvios a partir de la intuición ordinaria: las esferas, al tener simetría rotacional, deberían poseer campos Killing que generen rotaciones alrededor de cualquier eje. Es decir, esperamos tener simetría bajo la acción del grupo de rotación 3D SO(3) . Es decir, al utilizar el conocimiento a priori de que las esferas pueden estar insertas en el espacio euclidiano, es inmediatamente posible adivinar la forma de los campos Killing. ${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle S^{2}}$

El gráfico convencional para la esfera de 2 ejes incrustada en coordenadas cartesianas viene dado por ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x=\sin \theta \cos \phi ,\qquad y=\sin \theta \sin \phi ,\qquad z=\cos \theta }$

de modo que parametriza la altura y parametriza la rotación sobre el eje .${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle z}$

El retroceso de la métrica cartesiana estándar da la métrica estándar en la esfera,${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$.

Intuitivamente, una rotación sobre cualquier eje debería ser una isometría. En este gráfico, el campo vectorial que genera rotaciones sobre el eje :${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$

En estas coordenadas, los componentes métricos son todos independientes de , lo que demuestra que es un campo de Killing.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \partial _{\phi }}$

El campo vectorial

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$

no es un campo de Killing; la coordenada aparece explícitamente en la métrica. El flujo generado por va de norte a sur; los puntos del polo norte se separan, los del polo sur se unen. Cualquier transformación que acerque o aleje los puntos no puede ser una isometría; por lo tanto, el generador de dicho movimiento no puede ser un campo de Killing.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \partial _{\theta }}$

El generador se reconoce como una rotación alrededor del eje${\displaystyle \partial _{\phi }}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle Z=x\partial _{y}-y\partial _{x}=\sin ^{2}\theta \,\partial _{\phi }}$

Un segundo generador, para rotaciones sobre el eje , es${\displaystyle x}$

${\displaystyle X=z\partial _{y}-y\partial _{z}}$

El tercer generador, para rotaciones sobre el eje , es${\displaystyle y}$

${\displaystyle Y=z\partial _{x}-x\partial _{z}}$

El álgebra dada por combinaciones lineales de estos tres generadores se cierra y obedece a las relaciones

${\displaystyle [X,Y]=Z\quad [Y,Z]=X\quad [Z,X]=Y.}$

Esta es el álgebra de Lie .${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Expresando y en términos de coordenadas esféricas se obtiene${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle X=\sin ^{2}\theta \,(\sin \phi \partial _{\theta }+\cot \theta \cos \phi \partial _{\phi })}$

y

${\displaystyle Y=\sin ^{2}\theta \,(\cos \phi \partial _{\theta }-\cot \theta \sin \phi \partial _{\phi })}$

Que estos tres campos vectoriales son en realidad campos de Killing se puede determinar de dos maneras diferentes. Una es mediante un cálculo explícito: basta con introducir expresiones explícitas para y chug para demostrar que Este es un ejercicio que vale la pena. Alternativamente, se puede reconocer que y son los generadores de isometrías en el espacio euclidiano, y dado que la métrica en la esfera se hereda de la métrica en el espacio euclidiano, las isometrías también se heredan.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\mathcal {L}}_{Y}g={\mathcal {L}}_{Z}g=0.}$${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$

Estos tres campos de Killing forman un conjunto completo de generadores para el álgebra. No son únicos: cualquier combinación lineal de estos tres campos sigue siendo un campo de Killing.

Hay varios puntos sutiles que cabe destacar sobre este ejemplo.

• Los tres campos no son globalmente distintos de cero; de hecho, el campo se anula en los polos norte y sur; de la misma manera, y se anulan en las antípodas del ecuador. Una forma de entender esto es como una consecuencia del " teorema de la bola peluda ". Esta propiedad, de los puntos calvos, es una propiedad general de los espacios simétricos en la descomposición de Cartan . En cada punto de la variedad, el álgebra de los campos de Killing se divide naturalmente en dos partes, una parte que es tangente a la variedad y otra parte que se anula (en el punto donde se está realizando la descomposición).${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• Los tres campos y no tienen una longitud unitaria. Se puede normalizar dividiendo por el factor común de que aparece en las tres expresiones. Sin embargo, en ese caso, los campos ya no son uniformes: por ejemplo, es singular (no diferenciable) en los polos norte y sur.${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$${\displaystyle \partial _{\phi }=X/\sin ^{2}\theta }$
• Los tres campos no son ortogonales entre sí; de hecho, no pueden serlo, ya que, en cualquier punto dado, el plano tangente es bidimensional, mientras que hay tres vectores. Dado cualquier punto de la esfera, existe alguna combinación lineal no trivial de y que se anula: estos tres vectores son una base sobrecompleta para el plano tangente bidimensional en ese punto.${\displaystyle X,Y}$${\displaystyle Z}$
• El conocimiento a priori de que las esferas pueden ser incrustadas en el espacio euclidiano, y por lo tanto heredar una métrica de esta incrustación, conduce a una intuición confusa acerca del número correcto de campos de Killing que uno podría esperar. Sin tal incrustación, la intuición podría sugerir que el número de generadores linealmente independientes no sería mayor que la dimensión del fibrado tangente. Después de todo, fijando cualquier punto en una variedad, uno solo puede moverse en aquellas direcciones que son tangentes. La dimensión del fibrado tangente para la 2-esfera es dos, y sin embargo se encuentran tres campos de Killing. Nuevamente, esta "sorpresa" es una propiedad genérica de los espacios simétricos.

Los campos de muerte del espacio de Minkowski son las 3 traslaciones espaciales, la traslación temporal, los tres generadores de rotaciones (el pequeño grupo ) y los tres generadores de impulsos . Estos son

• Traducciones de tiempo y espacio

  ${\displaystyle \partial _{t}~,\qquad \partial _{x}~,\qquad \partial _{y}~,\qquad \partial _{z}~;}$

• Campos vectoriales que generan tres rotaciones, a menudo llamados generadores J ,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}~;}$

• Los campos vectoriales generan tres impulsos, los generadores K ,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}.}$

Los impulsos y las rotaciones generan el grupo de Lorentz . Junto con las traslaciones espacio-temporales, esto forma el álgebra de Lie para el grupo de Poincaré .

Aquí derivamos los campos de Killing para el espacio plano general. A partir de la ecuación de Killing y la identidad de Ricci para un covector ,${\displaystyle K_{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}K_{c}-\nabla _{b}\nabla _{a}K_{c}=R^{d}{}_{cab}K_{d}}$

(usando la notación de índice abstracto ) donde es el tensor de curvatura de Riemann , se puede demostrar la siguiente identidad para un campo de Killing :${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}}$${\displaystyle X^{a}}$

${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{d}{}_{acb}X_{d}.}$

Cuando la variedad base es un espacio plano, es decir, un espacio euclidiano o un espacio pseudo-euclidiano (como para el espacio de Minkowski), podemos elegir coordenadas planas globales tales que en estas coordenadas, la conexión de Levi-Civita y, por lo tanto, la curvatura de Riemann se desvanece en todas partes, dando${\displaystyle M}$

${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }X_{\rho }=0.}$

Integrando e imponiendo la ecuación de Killing nos permite escribir la solución general como${\displaystyle X_{\rho }}$

${\displaystyle X^{\rho }=\omega ^{\rho \sigma }x_{\sigma }+c^{\rho }}$

donde es antisimétrica. Al tomar valores apropiados de y , obtenemos una base para el álgebra de Poincaré generalizada de isometrías del espacio plano:${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }=-\omega ^{\nu \mu }}$${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$${\displaystyle c^{\rho }}$

${\displaystyle M_{\mu \nu }=x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu }}$

${\displaystyle P_{\rho }=\partial _{\rho }.}$

Estos generan pseudorrotaciones (rotaciones y elevaciones) y traslaciones respectivamente. Intuitivamente, estos preservan la (pseudo)métrica en cada punto.

Para un espacio (pseudo)euclidiano de dimensión total, en total hay generadores, lo que hace que el espacio plano sea máximamente simétrico. Este número es genérico para espacios máximamente simétricos. Los espacios máximamente simétricos pueden considerarse como subvariedades del espacio plano, que surgen como superficies de distancia propia constante. ${\displaystyle n(n+1)/2}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{p,q}:\eta (\mathbf {x} ,\mathbf {x} )=\pm {\frac {1}{\kappa ^{2}}}\}}$

que tienen simetría O( p ,  q ) . Si la subvariedad tiene dimensión , este grupo de simetrías tiene la dimensión esperada (como un grupo de Lie ).${\displaystyle n}$

Heurísticamente, podemos derivar la dimensión del álgebra de campos de Killing. Al tratar la ecuación de Killing junto con la identidad como un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden para , podemos determinar el valor de en cualquier punto dados los datos iniciales en un punto . Los datos iniciales especifican y , pero la ecuación de Killing impone que la derivada covariante sea antisimétrica. En total, esto es valores independientes de los datos iniciales.${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}=0}$${\displaystyle \nabla _{a}\nabla _{b}X_{c}=R^{c}{}_{bad}X_{c}.}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle X_{a}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X_{a}(p)}$${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}(p)}$${\displaystyle n^{2}-n(n-1)/2=n(n+1)/2}$

Para ejemplos concretos, consulte a continuación ejemplos de espacio plano (espacio de Minkowski) y espacios máximamente simétricos (esfera, espacio hiperbólico).

Los campos Killing se utilizan para discutir isometrías en relatividad general (en la que la geometría del espacio-tiempo distorsionada por los campos gravitatorios se ve como una variedad pseudo-riemanniana de 4 dimensiones ). En una configuración estática, en la que nada cambia con el tiempo, el vector de tiempo será un vector Killing y, por lo tanto, el campo Killing apuntará en la dirección del movimiento hacia adelante en el tiempo. Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild tiene cuatro campos Killing: la métrica es independiente de , por lo tanto es un campo Killing similar al tiempo. Los otros tres son los tres generadores de rotaciones discutidos anteriormente. La métrica de Kerr para un agujero negro giratorio tiene solo dos campos Killing: el campo similar al tiempo y un campo que genera rotaciones sobre el eje de rotación del agujero negro.${\displaystyle t}$${\displaystyle \partial _{t}}$

El espacio de De Sitter y el anti-espacio de De Sitter son espacios de simetría máxima, y ​​las versiones -dimensionales de cada uno poseen campos de exterminio.${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$

Si los coeficientes métricos en alguna base de coordenadas son independientes de una de las coordenadas , entonces es un vector de Killing, donde es el delta de Kronecker . ^[3]${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$${\displaystyle dx^{a}\,}$${\displaystyle x^{\kappa }\,}$${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{\kappa }^{\mu }\,}$${\displaystyle \delta _{\kappa }^{\mu }\,}$

Para demostrarlo, supongamos que . Entonces y${\displaystyle g_{\mu \nu },_{0}=0\,}$${\displaystyle K^{\mu }=\delta _{0}^{\mu }\,}$${\displaystyle K_{\mu }=g_{\mu \nu }K^{\nu }=g_{\mu \nu }\delta _{0}^{\nu }=g_{\mu 0}\,}$

Ahora veamos la condición de matanza.

${\displaystyle K_{\mu ;\nu }+K_{\nu ;\mu }=K_{\mu ,\nu }+K_{\nu ,\mu }-2\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }K_{\rho }=g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-g^{\rho \sigma }(g_{\sigma \mu ,\nu }+g_{\sigma \nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,\sigma })g_{\rho 0}\,}$

y de . La condición de Matar se convierte en${\displaystyle g_{\rho 0}g^{\rho \sigma }=\delta _{0}^{\sigma }\,}$

${\displaystyle g_{\mu 0,\nu }+g_{\nu 0,\mu }-(g_{0\mu ,\nu }+g_{0\nu ,\mu }-g_{\mu \nu ,0})=0\,}$

es decir , lo cual es cierto.${\displaystyle g_{\mu \nu ,0}=0}$

• El significado físico es, por ejemplo, que, si ninguno de los coeficientes métricos es una función del tiempo, la variedad debe tener automáticamente un vector de Killing similar al tiempo.
• En términos sencillos, si un objeto no se transforma o "evoluciona" en el tiempo (cuando el tiempo pasa), el paso del tiempo no cambiará las medidas del objeto. Formulado así, el resultado suena como una tautología, pero hay que entender que el ejemplo es muy artificial: los campos de exterminio se aplican también a casos mucho más complejos e interesantes.

Por el contrario, si la métrica admite un campo de Killing , entonces se pueden construir coordenadas para las cuales . Estas coordenadas se construyen tomando una hipersuperficie tal que no sea tangente en ningún punto a . Tome coordenadas en , luego defina coordenadas locales donde denota el parámetro a lo largo de la curva integral de basada en en . En estas coordenadas, la derivada de Lie se reduce a la derivada de coordenadas, es decir,${\displaystyle \mathbf {g} }$${\displaystyle X^{a}}$${\displaystyle \partial _{0}g_{\mu \nu }=0}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle X^{a}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle (t,x^{i})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X^{a}}$${\displaystyle (x^{i})}$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g_{\mu \nu }=\partial _{0}g_{\mu \nu }}$

y por la definición del campo de exterminio, el lado izquierdo desaparece.

Un campo de exterminio está determinado únicamente por un vector en un punto y su gradiente (es decir, todas las derivadas covariantes del campo en el punto).

El corchete de Lie de dos campos de Killing sigue siendo un campo de Killing. Los campos de Killing en una variedad M forman, por tanto, una subálgebra de Lie de campos vectoriales en M. Esta es el álgebra de Lie del grupo de isometrías de la variedad si M es completa . Una variedad de Riemann con un grupo transitivo de isometrías es un espacio homogéneo .

Para colectores compactos

• La curvatura de Ricci negativa implica que no hay campos de muerte no triviales (distintos de cero).
• La curvatura de Ricci no positiva implica que cualquier campo de Killing es paralelo, es decir, la derivada covariante a lo largo de cualquier campo vectorial es idénticamente cero.
• Si la curvatura seccional es positiva y la dimensión de M es par, un campo de Killing debe tener un cero.

La divergencia covariante de cada campo vectorial de Killing se desvanece.

Si es un campo vectorial de Killing y es un campo vectorial armónico , entonces es una función armónica .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle g(X,Y)}$

Si es un campo vectorial de Killing y es una p-forma armónica , entonces${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0\,.}$

Cada vector de Killing corresponde a una cantidad que se conserva a lo largo de las geodésicas . Esta cantidad conservada es el producto métrico entre el vector de Killing y el vector tangente de la geodésica. A lo largo de una geodésica parametrizada de manera afín con un vector tangente , dado el vector de Killing , la cantidad se conserva:${\displaystyle U^{a}}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle U^{b}X_{b}}$

${\displaystyle U^{a}\nabla _{a}(U^{b}X_{b})=0}$

Esto ayuda a estudiar analíticamente los movimientos en un espacio-tiempo con simetrías. ^[4]

Dado un tensor simétrico conservado , es decir, uno que satisface y , que son propiedades típicas de un tensor de tensión-energía , y un vector de Killing , podemos construir la cantidad conservada que satisface${\displaystyle T^{ab}}$${\displaystyle T^{ab}=T^{ba}}$${\displaystyle \nabla _{a}T^{ab}=0}$${\displaystyle X_{b}}$${\displaystyle J^{a}:=T^{ab}X_{b}}$

${\displaystyle \nabla _{a}J^{a}=0.}$

Como se señaló anteriormente, el corchete de Lie de dos campos de Killing sigue siendo un campo de Killing. Los campos de Killing en una variedad forman así una subálgebra de Lie de todos los campos vectoriales en Al seleccionar un punto, el álgebra se puede descomponer en dos partes:${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle p\in M~,}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:X(p)=0\}}$

y

${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\{X\in {\mathfrak {g}}:\nabla X(p)=0\}}$

donde es la derivada covariante . Estas dos partes se intersecan trivialmente pero en general no se dividen . Por ejemplo, si es un espacio homogéneo de Riemann, tenemos si y solo si es un espacio simétrico de Riemann. ^[5]${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle M}$

Intuitivamente, las isometrías de localmente definen una subvariedad del espacio total, y los campos de Killing muestran cómo "deslizarse a lo largo" de esa subvariedad. Abarcan el espacio tangente de esa subvariedad. El espacio tangente debería tener la misma dimensión que las isometrías que actúan efectivamente en ese punto. Es decir, se espera Sin embargo, en general, el número de campos de Killing es mayor que la dimensión de ese espacio tangente. ¿Cómo puede ser esto? La respuesta es que los campos de Killing "adicionales" son redundantes. Tomados en conjunto, los campos proporcionan una base sobrecompleta para el espacio tangente en cualquier punto seleccionado en particular; se puede hacer que las combinaciones lineales se desvanezcan en ese punto en particular. Esto se vio en el ejemplo de los campos de Killing en una 2-esfera: hay 3 campos de Killing; en cualquier punto dado, dos abarcan el espacio tangente en ese punto, y el tercero es una combinación lineal de los otros dos. Elegir dos define el resto Las combinaciones lineales degeneradas definen un espacio ortogonal${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T_{p}N}$${\displaystyle T_{p}N\cong {\mathfrak {m}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak {m}};}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}.}$

La involución de Cartan se define como la duplicación o inversión de la dirección de una geodésica. Su diferencial invierte la dirección de las tangentes a una geodésica. Es un operador lineal de norma uno; tiene dos subespacios invariantes, de valor propio +1 y −1. Estos dos subespacios corresponden a y respectivamente.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$

Esto se puede hacer más preciso. Fijando un punto, considere una geodésica que pasa por , con La involución se define como${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \gamma (0)=p~.}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

${\displaystyle \sigma _{p}(\gamma (\lambda ))=\gamma (-\lambda )}$

Este mapa es una involución, en el sentido de que, cuando se limita a las geodésicas a lo largo de los campos de la Muerte, también es claramente una isometría. Está definido de manera única.${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=1~.}$

Sea el grupo de isometrías generadas por los campos de Killing. La función definida por${\displaystyle G}$${\displaystyle s_{p}:G\to G}$

${\displaystyle s_{p}(g)=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}=\sigma _{p}\circ g\circ \sigma _{p}^{-1}}$

es un homomorfismo de . Su infinitesimal es${\displaystyle G}$${\displaystyle \theta _{p}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \theta _{p}(X)=\left.{\frac {d}{d\lambda }}s_{p}\left(e^{\lambda X}\right)\right|_{\lambda =0}}$

La involución de Cartan es un homomorfismo del álgebra de Lie, en el sentido de que

${\displaystyle \theta _{p}[X,Y]=\left[\theta _{p}X,\theta _{p}Y\right]}$

para todos El subespacio tiene paridad impar bajo la involución de Cartan , mientras que tiene paridad par. Es decir, denotando la involución de Cartan en el punto como uno tiene${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}~.}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle \theta _{p}}$

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {m}}=-Id}$

y

${\displaystyle \left.\theta _{p}\right|_{\mathfrak {h}}=+Id}$

donde es el mapa identidad. De esto se deduce que el subespacio es una subálgebra de Lie de , en que Como estos son subespacios de paridad pares e impares, los corchetes de Lie se dividen, de modo que y${\displaystyle Id}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}~.}$

La descomposición anterior se cumple en todos los puntos de un espacio simétrico ; se pueden encontrar pruebas en Jost. ^[6] También se cumplen en contextos más generales, pero no necesariamente en todos los puntos de la variedad. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle M}$

Para el caso especial de un espacio simétrico , se tiene explícitamente que , es decir, los campos de Killing abarcan todo el espacio tangente de un espacio simétrico. De manera equivalente, el tensor de curvatura es covariantemente constante en espacios localmente simétricos, y por lo tanto estos son localmente paralelizables; este es el teorema de Cartan-Ambrose-Hicks .${\displaystyle T_{p}M\cong {\mathfrak {m}};}$

• Los campos vectoriales de Killing se pueden generalizar a campos vectoriales de Killing conformes definidos por para algunos escalares. Las derivadas de familias de un parámetro de mapas conformes son campos de Killing conformes.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}$${\displaystyle \lambda .}$
• Los campos tensoriales de Killing son campos tensoriales simétricos T tales que la parte sin trazas de la simetrización de se desvanece. Entre los ejemplos de variedades con tensores de Killing se incluyen el agujero negro giratorio y la cosmología FRW . ^[7]${\displaystyle \nabla T\,}$
• Los campos vectoriales de Killing también pueden definirse en cualquier variedad M (posiblemente sin métrica) si tomamos cualquier grupo de Lie G actuando sobre él en lugar del grupo de isometrías. ^[8] En este sentido más amplio, un campo vectorial de Killing es el empuje hacia delante de un campo vectorial invariante por la derecha en G por la acción del grupo. Si la acción del grupo es efectiva, entonces el espacio de los campos vectoriales de Killing es isomorfo al álgebra de Lie de  G .${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Campo vectorial afín
• Colineación de curvatura
• Campo vectorial homotético
• Forma de matar
• Matar el horizonte
• Matar al espinor
• Colineación de materia
• Simetrías del espacio-tiempo