Cadena de Markov Monte Carlo

Parte de una serie sobre
Estadísticas bayesianas
Posterior = Probabilidad × Anterior ÷ Evidencia
Fondo
Inferencia bayesiana Probabilidad bayesiana Teorema de Bayes Teorema de Bernstein-von Mises Coherencia Teorema de Cox El gobierno de Cromwell Principio de verosimilitud Principio de indiferencia Principio de máxima entropía
Construcción de modelos
Conjugado anterior Regresión lineal Bayes empírico Modelo jerárquico
Aproximación posterior
Cadena de Markov Monte Carlo Aproximación de Laplace Aproximaciones de Laplace anidadas integradas Inferencia variacional Cálculo bayesiano aproximado
Estimadores
Estimador bayesiano Intervalo creíble Estimación máxima a posteriori
Aproximación de evidencia
Límite inferior de evidencia Muestreo anidado
Evaluación del modelo
Factor de Bayes Promedio del modelo Predicción posterior
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En estadística , el algoritmo Monte Carlo de cadena de Markov ( MCMC ) es una clase de algoritmos que se utilizan para extraer muestras de una distribución de probabilidad . Dada una distribución de probabilidad, se puede construir una cadena de Markov cuya distribución de elementos se aproxime a ella, es decir, la distribución de equilibrio de la cadena de Markov coincide con la distribución objetivo. Cuantos más pasos se incluyan, más se ajustará la distribución de la muestra a la distribución deseada real.

Los métodos de Monte Carlo de cadenas de Markov se utilizan para estudiar distribuciones de probabilidad que son demasiado complejas o demasiado dimensionales para estudiarlas únicamente con técnicas analíticas. Existen varios algoritmos para construir dichas cadenas de Markov, incluido el algoritmo Metropolis-Hastings .

Los métodos MCMC se utilizan principalmente para calcular aproximaciones numéricas de integrales multidimensionales , por ejemplo, en estadística bayesiana , física computacional , ^[1] biología computacional ^[2] y lingüística computacional . ^{[3] [4]}

En las estadísticas bayesianas, los métodos de Monte Carlo de cadenas de Markov se utilizan normalmente para calcular momentos e intervalos creíbles de distribuciones de probabilidad posteriores . El uso de métodos MCMC permite calcular grandes modelos jerárquicos que requieren integraciones sobre cientos o miles de parámetros desconocidos. ^[5]

En el muestreo de eventos raros , también se utilizan para generar muestras que gradualmente pueblan la región de fallas raras. ^{[ cita requerida ]}

Los métodos de Monte Carlo de cadena de Markov crean muestras de una variable aleatoria continua , con una densidad de probabilidad proporcional a una función conocida. Estas muestras se pueden utilizar para evaluar una integral sobre esa variable, como su valor esperado o varianza .

En la práctica, se suele desarrollar un conjunto de cadenas, a partir de un conjunto de puntos elegidos arbitrariamente y suficientemente distantes entre sí. Estas cadenas son procesos estocásticos de "caminantes" que se desplazan aleatoriamente según un algoritmo que busca lugares con una contribución razonablemente alta a la integral para pasar a continuación, asignándoles mayores probabilidades.

Los métodos de Monte Carlo de paseo aleatorio son un tipo de simulación aleatoria o método de Monte Carlo . Sin embargo, mientras que las muestras aleatorias del integrando utilizadas en una integración de Monte Carlo convencional son estadísticamente independientes , las utilizadas en MCMC están autocorrelacionadas . Las correlaciones de muestras introducen la necesidad de utilizar el teorema del límite central de la cadena de Markov al estimar el error de los valores medios.

Estos algoritmos crean cadenas de Markov tales que tienen una distribución de equilibrio ^{[ ancla rota ]} que es proporcional a la función dada.

Aunque los métodos MCMC se crearon para abordar problemas multidimensionales mejor que los algoritmos genéricos de Monte Carlo, cuando el número de dimensiones aumenta, también tienden a sufrir la maldición de la dimensionalidad : las regiones de mayor probabilidad tienden a estirarse y perderse en un volumen creciente de espacio que contribuye poco a la integral. Una forma de abordar este problema podría ser acortar los pasos del caminante, de modo que no intente continuamente salir de la región de mayor probabilidad, aunque de esta manera el proceso estaría altamente autocorrelacionado y sería costoso (es decir, se requerirían muchos pasos para obtener un resultado preciso). Métodos más sofisticados como el Hamiltoniano Monte Carlo y el algoritmo de Wang y Landau utilizan varias formas de reducir esta autocorrelación, al tiempo que logran mantener el proceso en las regiones que dan una mayor contribución a la integral. Estos algoritmos generalmente se basan en una teoría más complicada y son más difíciles de implementar, pero generalmente convergen más rápido.

• Algoritmo Metropolis-Hastings : Este método genera una cadena de Markov utilizando una densidad de propuestas para los nuevos pasos y un método para rechazar algunos de los movimientos propuestos. En realidad, se trata de un marco general que incluye como casos especiales el primer y más simple algoritmo MCMC (algoritmo Metropolis) y muchas alternativas más recientes que se enumeran a continuación.
  • Muestreo de Gibbs : cuando la distribución objetivo es multidimensional, el algoritmo de muestreo de Gibbs ^[6] actualiza cada coordenada a partir de su distribución condicional completa dadas otras coordenadas. El muestreo de Gibbs puede considerarse un caso especial del algoritmo Metropolis-Hastings con una tasa de aceptación uniformemente igual a 1. Cuando la extracción de las distribuciones condicionales completas no es sencilla, se utilizan otros muestreadores dentro de Gibbs (por ejemplo, consulte ^{[7] [8]} ). El muestreo de Gibbs es popular en parte porque no requiere ningún "ajuste". La estructura del algoritmo del muestreo de Gibbs se parece mucho a la de la inferencia variacional de ascenso de coordenadas en que ambos algoritmos utilizan las distribuciones condicionales completas en el procedimiento de actualización. ^[9]
  • Algoritmo de Langevin ajustado a Metropolis y otros métodos que se basan en el gradiente (y posiblemente la segunda derivada) de la densidad objetivo logarítmica para proponer pasos que tienen más probabilidades de estar en la dirección de una mayor densidad de probabilidad. ^[10]
  • Hamiltoniano (o híbrido) Monte Carlo (HMC): intenta evitar el comportamiento de caminata aleatoria introduciendo un vector de momento auxiliar e implementando la dinámica hamiltoniana , de modo que la función de energía potencial sea la densidad objetivo. Las muestras de momento se descartan después del muestreo. El resultado del Monte Carlo híbrido es que las propuestas se mueven a través del espacio muestral en pasos más grandes; por lo tanto, están menos correlacionadas y convergen a la distribución objetivo más rápidamente.
  • Metrópolis pseudomarginal-Hastings: este método reemplaza la evaluación de la densidad de la distribución objetivo con una estimación imparcial y es útil cuando la densidad objetivo no está disponible analíticamente, por ejemplo, modelos de variables latentes .
• Muestreo por cortes : este método se basa en el principio de que se puede tomar una muestra de una distribución tomando muestras de manera uniforme de la región que se encuentra debajo del gráfico de su función de densidad. Alterna el muestreo uniforme en dirección vertical con el muestreo uniforme de la "porción" horizontal definida por la posición vertical actual.
• Metropolis de múltiples intentos : este método es una variación del algoritmo Metropolis-Hastings que permite múltiples intentos en cada punto. Al permitir realizar pasos más grandes en cada iteración, ayuda a abordar el problema de la dimensionalidad.
• Salto reversible : este método es una variante del algoritmo Metropolis-Hastings que permite propuestas que cambian la dimensionalidad del espacio. ^[11] Los métodos de Monte Carlo de cadena de Markov que cambian la dimensionalidad se han utilizado durante mucho tiempo en aplicaciones de física estadística , donde para algunos problemas se utiliza una distribución que es un gran conjunto canónico (por ejemplo, cuando el número de moléculas en una caja es variable). Pero la variante de salto reversible es útil cuando se hace un muestreo de Monte Carlo de cadena de Markov o de Gibbs sobre modelos bayesianos no paramétricos como los que involucran el proceso de Dirichlet o el proceso del restaurante chino , donde el número de componentes/grupos/etc. de mezcla se infiere automáticamente a partir de los datos.

Las metodologías MCMC interactuantes son una clase de métodos de partículas de campo medio para obtener muestras aleatorias de una secuencia de distribuciones de probabilidad con un nivel creciente de complejidad de muestreo. ^[12] Estos modelos probabilísticos incluyen modelos de estados del espacio de trayectoria con horizonte temporal creciente, distribuciones posteriores con respecto a la secuencia de observaciones parciales, conjuntos de niveles de restricción crecientes para distribuciones condicionales, programas de temperatura decrecientes asociados con algunas distribuciones de Boltzmann-Gibbs y muchos otros. En principio, cualquier muestreador de Monte Carlo de cadena de Markov se puede convertir en un muestreador de Monte Carlo de cadena de Markov interactuante. Estos muestreadores de Monte Carlo de cadena de Markov interactuantes se pueden interpretar como una forma de ejecutar en paralelo una secuencia de muestreadores de Monte Carlo de cadena de Markov. Por ejemplo, los algoritmos de recocido simulado interactuantes se basan en movimientos Metropolis-Hastings independientes que interactúan secuencialmente con un mecanismo de tipo selección-remuestreo. A diferencia de los métodos tradicionales de Monte Carlo de cadena de Markov, el parámetro de precisión de esta clase de muestreadores de Monte Carlo de cadena de Markov interactuantes solo está relacionado con el número de muestreadores de Monte Carlo de cadena de Markov interactuantes. Estas metodologías de partículas avanzadas pertenecen a la clase de modelos de partículas de Feynman-Kac, ^{[13] [14]} también llamados métodos de Monte Carlo secuencial o de filtro de partículas en las comunidades de inferencia bayesiana y procesamiento de señales . ^[15] Los métodos de Monte Carlo de cadena de Markov interactuantes también se pueden interpretar como un algoritmo de partículas genéticas de selección de mutaciones con mutaciones de Monte Carlo de cadena de Markov.

El método cuasi-Monte Carlo es un análogo del método Monte Carlo normal que utiliza secuencias de baja discrepancia en lugar de números aleatorios. ^{[16] [17]} Produce un error de integración que decae más rápido que el del muestreo aleatorio verdadero, como se cuantifica mediante la desigualdad de Koksma-Hlawka . Empíricamente, permite la reducción tanto del error de estimación como del tiempo de convergencia en un orden de magnitud. ^{[ cita requerida ]} Los métodos cuasi-Monte Carlo de cadena de Markov ^{[18] [19]} como el método Array-RQMC combinan la simulación aleatoria cuasi-Monte Carlo y de cadena de Markov simulando cadenas simultáneamente de una manera que se aproxima mejor a la distribución real de la cadena que con el MCMC ordinario. ^[20] En experimentos empíricos, la varianza del promedio de una función del estado a veces converge a la tasa o incluso más rápido, en lugar de la tasa de Monte Carlo. ^[21]${\estilo de visualización n}$${\displaystyle O(n^{-2})}$${\displaystyle O(n^{-1})}$

Por lo general, no es difícil construir una cadena de Markov con las propiedades deseadas. El problema más difícil es determinar cuántos pasos se necesitan para converger a la distribución estacionaria dentro de un error aceptable. ^[22] Una buena cadena tendrá una mezcla rápida : la distribución estacionaria se alcanza rápidamente a partir de una posición arbitraria. Un método empírico estándar para evaluar la convergencia es ejecutar varias cadenas de Markov simuladas independientes y verificar que la relación entre las varianzas intercadena e intracadena para todos los parámetros muestreados sea cercana a 1. ^{[22] [23]}

Por lo general, el muestreo de Monte Carlo de cadena de Markov solo puede aproximarse a la distribución objetivo, ya que siempre hay algún efecto residual de la posición inicial. Los algoritmos más sofisticados basados ​​en Monte Carlo de cadena de Markov, como el acoplamiento a partir del pasado, pueden producir muestras exactas, a costa de cálculos adicionales y un tiempo de ejecución ilimitado (aunque finito en expectativa) .

Muchos métodos de Monte Carlo de paseo aleatorio se mueven alrededor de la distribución de equilibrio en pasos relativamente pequeños, sin que los pasos tiendan a avanzar en la misma dirección. Estos métodos son fáciles de implementar y analizar, pero desafortunadamente puede llevar mucho tiempo para que el caminante explore todo el espacio. El caminante a menudo retrocederá y cubrirá el terreno ya cubierto.

Se puede encontrar una consideración más amplia de la convergencia en el teorema del límite central de la cadena de Markov . Véase ^[24] para una discusión de la teoría relacionada con la convergencia y la estacionariedad del algoritmo Metropolis-Hastings.

Varios programas de software proporcionan capacidades de muestreo MCMC, por ejemplo:

• El software Monte Carlo paralelo ParaMonte está disponible en varios lenguajes de programación, incluidos C , C++ , Fortran , MATLAB y Python .
• Paquetes que utilizan dialectos del lenguaje del modelo BUGS :
  • WinBUGS / OpenBUGS / MultiBUGS
  • JAGS
• Simulación MC
• Lenguaje Julia con paquetes como
  • Turing.jl
  • DynamicHMC.jl
  • AfineInvariantMCMC.jl
  • General Jl
  • y los del repositorio StanJulia.
• Python (lenguaje de programación) con los paquetes:
  • Jax negro.
  • maestro de ceremonias, ^[25]
  • NumPyro ^[26]
  • PyMC
• R (lenguaje de programación) con los paquetes adaptMCMC, atmcmc, BRugs, mcmc, MCMCpack, ramcmc, rjags, rstan, etc.
• Estan
• TensorFlow Probability ( biblioteca de programación probabilística basada en TensorFlow )
• Marco de alto rendimiento Korali para UQ bayesiano, optimización y aprendizaje de refuerzo.
• MacMCMC: aplicación completa (freeware) para MacOS, con funcionalidad avanzada, disponible en causaScientia

• Acoplamiento del pasado
• Aproximaciones de Laplace anidadas integradas
• Teorema del límite central de la cadena de Markov
• Algoritmo de Langevin ajustado a la metrópolis