Teoremas del libro holandés

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Estadísticas bayesianas
Posterior = Probabilidad × Anterior ÷ Evidencia
Fondo
Inferencia bayesiana Probabilidad bayesiana Teorema de Bayes Teorema de Bernstein-von Mises Coherencia Teorema de Cox El gobierno de Cromwell Principio de verosimilitud Principio de indiferencia Principio de máxima entropía
Construcción de modelos
Conjugado anterior Regresión lineal Bayes empírico Modelo jerárquico
Aproximación posterior
Cadena de Markov Monte Carlo Aproximación de Laplace Aproximaciones de Laplace anidadas integradas Inferencia variacional Cálculo bayesiano aproximado
Estimadores
Estimador bayesiano Intervalo creíble Estimación máxima a posteriori
Aproximación de evidencia
Límite inferior de evidencia Muestreo anidado
Evaluación del modelo
Factor de Bayes Promedio del modelo Predicción posterior
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En teoría de la decisión , economía y teoría de la probabilidad , los argumentos del libro holandés son un conjunto de resultados que muestran que los agentes deben satisfacer los axiomas de la elección racional para evitar un tipo de autocontradicción llamada libro holandés. Un libro holandés o bomba de dinero es un conjunto de apuestas que asegura una pérdida garantizada, es decir, el jugador perderá dinero sin importar lo que suceda. ^[1] Un conjunto de creencias y preferencias se llama coherente si no puede dar como resultado un libro holandés.

Los argumentos del libro holandés se utilizan para explorar los grados de certeza en las creencias y demostrar que los agentes racionales deben ser bayesianos ; ^[2] en otras palabras, la racionalidad requiere asignar probabilidades a eventos que se comporten de acuerdo con los axiomas de probabilidad y tener preferencias que puedan modelarse utilizando los axiomas de von Neumann-Morgenstern .

En economía, se utiliza para modelar el comportamiento descartando situaciones en las que los agentes "queman dinero" sin obtener una recompensa real; los modelos basados ​​en estos supuestos se denominan modelos de elección racional . Estos supuestos se debilitan en los modelos conductuales de toma de decisiones.

El experimento mental fue propuesto por primera vez por el probabilista italiano Bruno de Finetti para justificar la probabilidad bayesiana , ^{[ cita requerida ]} y fue explorado más a fondo por Leonard Savage , quien lo desarrolló hasta convertirlo en un modelo completo de elección racional.

Hay que fijar el precio de una promesa de pagar 1 dólar si John Smith gana las elecciones de mañana, y 0 dólares en caso contrario. Se sabe que el oponente podrá elegir entre comprar esa promesa al precio que se ha fijado o exigir que se la compre al mismo precio. En otras palabras: el jugador A fija las probabilidades, pero el jugador B decide qué lado de la apuesta tomar. El precio que se fija es la "probabilidad subjetiva operativa" que se asigna a la proposición a la que se está apostando.

Si se decide que John Smith tiene un 12,5 % de probabilidades de ganar (una valoración arbitraria), se podría establecer una probabilidad de 7:1 en contra. Esta valoración arbitraria (la "probabilidad subjetiva operativa") determina el pago de una apuesta exitosa. $1 apostado con estas probabilidades producirá una pérdida de $1 (si Smith pierde) o una ganancia de $7 (si Smith gana). Si el $1 se pone en garantía como condición de la apuesta, entonces el $1 también se devolverá al apostador, en caso de que gane la apuesta.

El argumento estándar del libro holandés concluye que los agentes racionales deben tener probabilidades subjetivas para eventos aleatorios y que estas probabilidades deben satisfacer los axiomas estándar de probabilidad. En otras palabras, cualquier persona racional debe estar dispuesta a asignar una probabilidad subjetiva (cuantitativa) a diferentes eventos.

Obsérvese que el argumento no implica que los agentes estén dispuestos a participar en juegos de azar en el sentido tradicional. La palabra "apuesta" tal como se utiliza aquí se refiere a cualquier tipo de decisión en condiciones de incertidumbre . Por ejemplo, comprar un producto desconocido en un supermercado es una especie de "apuesta" (el comprador "aposta" a que el producto es bueno), al igual que subirse a un coche ("apostar" a que el conductor no se verá involucrado en un accidente).

El argumento del libro holandés puede invertirse si se considera la perspectiva del corredor de apuestas. En este caso, los argumentos del libro holandés muestran que cualquier agente racional debe estar dispuesto a aceptar ciertos tipos de riesgos, es decir, a hacer apuestas inciertas, o de lo contrario, a veces rechazará "regalos gratuitos" o "libros checos", una serie de apuestas que lo dejan en una mejor posición con un 100% de certeza. ^{[ cita requerida ]}

En un ejemplo, una casa de apuestas ha ofrecido las siguientes cuotas y ha atraído una apuesta por cada caballo cuyos tamaños relativos hacen que el resultado sea irrelevante. Las probabilidades implícitas, es decir, la probabilidad de que gane cada caballo, suman un número mayor que 1, lo que viola el axioma de unitaridad :

Número de caballo	Cuotas ofrecidas	Probabilidad implícita	Precio de la apuesta	La casa de apuestas paga si el caballo gana
1	Incluso	${\displaystyle {\frac {1}{1+1}}=0,5}$	$100	Apuesta de $100 + $100
2	3 a 1 en contra	${\displaystyle {\frac {1}{3+1}}=0,25}$	$50	Apuesta de $50 + $150
3	4 a 1 en contra	${\displaystyle {\frac {1}{4+1}}=0,2}$	$40	Apuesta de $40 + $160
4	9 a 1 en contra	${\displaystyle {\frac {1}{9+1}}=0,1}$	$20	Apuesta de $20 + $180
		Total: 1,05	Total: $210	Siempre: $200

Cualquiera que sea el caballo que gane en este ejemplo, la casa de apuestas pagará $200 (incluida la devolución de la apuesta ganadora), pero el apostador ha apostado $210, por lo que ha sufrido una pérdida de $10 en la carrera.

Sin embargo, si el caballo 4 se retira y la casa de apuestas no ajusta las otras probabilidades, las probabilidades implícitas sumarían 0,95. En tal caso, un apostador siempre podría obtener una ganancia de $10 apostando $100, $50 y $40 en los tres caballos restantes, respectivamente, y no tener que apostar $20 en el caballo retirado, que ahora no puede ganar.

Se pueden utilizar otras formas de libros holandeses para establecer los demás axiomas de probabilidad, que a veces implican apuestas más complejas como la predicción del orden en el que terminarán los caballos . En la probabilidad bayesiana , Frank P. Ramsey y Bruno de Finetti exigieron que los grados de creencia personales fueran coherentes para que no se pudiera hacer un libro holandés en su contra, independientemente de cómo se hicieran las apuestas. Las condiciones necesarias y suficientes para esto son que sus grados de creencia satisfagan todos los axiomas de probabilidad .

Se dice que una persona que ha fijado los precios de una serie de apuestas de tal manera que obtendrá una ganancia neta independientemente del resultado ha realizado una apuesta holandesa . Cuando uno tiene una apuesta holandesa, su oponente siempre pierde. Una persona que fija los precios de una manera que le da a su oponente una apuesta holandesa no se está comportando racionalmente.

Las reglas no prohíben un precio fijo superior a 1 dólar, pero un oponente prudente puede venderle a uno un boleto de alto precio, de modo que el oponente salga ganando independientemente del resultado del evento en el que se hizo la apuesta. Las reglas tampoco prohíben un precio negativo, pero un oponente puede extraerle al apostador una promesa pagada de pagarle más tarde si surge una determinada contingencia. En cualquier caso, el que fija el precio pierde. Estas situaciones de pérdida-pérdida son paralelas al hecho de que una probabilidad no puede ser mayor que 1 (certeza) ni menor que 0 (ninguna posibilidad de ganar).

Ahora supongamos que se fija el precio de una promesa de pagar $1 si los Boston Red Sox ganan la Serie Mundial del año próximo, y también el precio de una promesa de pagar $1 si ganan los New York Yankees, y finalmente el precio de una promesa de pagar $1 si ganan los Red Sox o los Yankees. Se pueden fijar los precios de tal manera que

${\displaystyle {\text{Price}}({\text{Red Sox}})+{\text{Price}}({\text{Yankees}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox or Yankees}})\,}$

Pero si se fija el precio de la tercera entrada por debajo de la suma de las dos primeras, un oponente prudente comprará esa entrada y venderá las otras dos entradas al que fije el precio. Al considerar los tres resultados posibles (Red Sox, Yankees, algún otro equipo), se observará que, independientemente de cuál de los tres resultados se produzca, uno perderá. Un destino análogo aguarda si se fija el precio de la tercera entrada por encima de la suma de los otros dos precios. Esto es paralelo al hecho de que las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes son aditivas (ver axiomas de probabilidad ).

Imaginemos ahora un escenario más complicado. Hay que fijar el precio de tres promesas:

• pagar $1 si los Red Sox ganan el juego de mañana: el comprador de esta promesa pierde su apuesta si los Red Sox no ganan independientemente de si su fracaso se debe a la pérdida de un juego completado o la cancelación del juego, y
• pagar $1 si los Red Sox ganan, y reembolsar el precio de la promesa si se cancela el juego, y
• pagar $1 si se completa el juego, independientemente de quién gane.

Hay tres resultados posibles: el juego se cancela; el juego se juega y los Red Sox pierden; el juego se juega y los Red Sox ganan. Se pueden fijar los precios de tal manera que

${\displaystyle {\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})\neq {\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}})}$

(donde el segundo precio anterior es el de la apuesta que incluye el reembolso en caso de cancelación). (Nota: Los precios aquí son los números adimensionales que se obtienen al dividir por $1, que es el pago en los tres casos). Un oponente prudente escribe tres desigualdades lineales en tres variables. Las variables son las cantidades que invertirá en cada una de las tres promesas; el valor de una de ellas es negativo si hará que el fijador de precios compre esa promesa y positivo si la comprará. Cada desigualdad corresponde a uno de los tres resultados posibles. Cada desigualdad establece que la ganancia neta de su oponente es mayor que cero. Existe una solución si el determinante de la matriz no es cero. Ese determinante es:

${\displaystyle {\text{Price}}({\text{complete game}})\times {\text{Price}}({\text{Red Sox win}}\mid {\text{complete game}})-{\text{Price}}({\text{Red Sox win and complete game}}).}$

De este modo, un oponente prudente puede hacer que quien fija los precios sea un perdedor seguro, a menos que éste fije sus precios de una manera paralela a la caracterización convencional más simple de la probabilidad condicional .

En la edición de 2015 del Derby de Kentucky , el favorito ("American Pharaoh") tenía una cuota de 5:2, el segundo favorito de 3:1 y el tercer favorito de 8:1. Todos los demás caballos tenían cuotas en contra de 12:1 o más. Con estas cuotas, una apuesta de $10 en cada uno de los 18 participantes resultaría en una pérdida neta si el favorito o el segundo favorito ganaran.

Sin embargo, si se supone que ningún caballo con una cuota de 12:1 o superior ganará, y se apuestan 10 dólares a cada uno de los tres primeros, se garantiza al menos una pequeña victoria. El favorito (que sí ganó) se llevaría un pago de 25 dólares, más los 10 dólares de la apuesta devuelta, lo que daría un saldo final de 35 dólares (un aumento neto de 5 dólares). Una victoria del segundo favorito produciría un pago de 30 dólares más los 10 dólares de la apuesta original, lo que daría un aumento neto de 10 dólares. Una victoria del tercer favorito daría 80 dólares más los 10 dólares originales, lo que daría un aumento neto de 60 dólares.

Este tipo de estrategia, en lo que respecta únicamente a los tres primeros, forma un Dutch Book. Sin embargo, si se consideran los dieciocho contendientes, no existe un Dutch Book para esta carrera.

En economía, el ejemplo clásico de una situación en la que un consumidor X puede ser objeto de una reserva holandesa es si tiene preferencias intransitivas . La teoría económica clásica supone que las preferencias son transitivas : si alguien piensa que A es mejor que B y B es mejor que C, entonces debe pensar que A es mejor que C. Además, no puede haber ningún "ciclo" de preferencias.

El argumento de la inyección de dinero señala que si alguien tuviera un conjunto de preferencias intransitivas, podría explotarlas (inyectarlas) para obtener dinero hasta que se viera obligado a abandonar el mercado. Imaginemos que Jane tiene veinte dólares para comprar fruta. Puede llenar su cesta con naranjas o manzanas. Jane preferiría tener un dólar en lugar de una manzana, una manzana en lugar de una naranja y una naranja en lugar de un dólar. Como Jane preferiría tener una naranja en lugar de un dólar, está dispuesta a comprar una naranja por poco más de un dólar (quizás $1,10). Luego, cambia su naranja por una manzana, porque preferiría tener una manzana en lugar de una naranja. Finalmente, vende su manzana por un dólar, porque preferiría tener un dólar en lugar de una manzana. En este punto, Jane se queda con $19,90, y ha perdido 10 centavos y no ha ganado nada a cambio. Este proceso puede repetirse hasta que Jane se quede sin dinero. (Nótese que, si Jane realmente tiene estas preferencias, no vería nada malo en este proceso y no intentaría detenerlo; en cada paso, Jane acepta que ha quedado en mejor situación.) Después de quedarse sin dinero, Jane abandona el mercado y sus preferencias y acciones dejan de ser económicamente relevantes.

Los experimentos en economía del comportamiento muestran que los sujetos pueden violar el requisito de preferencias transitivas al comparar apuestas. ^[3] Sin embargo, la mayoría de los sujetos no toman estas decisiones en comparaciones dentro del sujeto donde la contradicción sería obviamente visible (en otras palabras, los sujetos no tienen preferencias genuinamente intransitivas, sino que cometen errores al tomar decisiones utilizando heurísticas ).

Los economistas suelen argumentar que a las personas con preferencias como X se les quitará toda su riqueza en el mercado. Si este es el caso, no observaremos preferencias con intransitividades u otras características que permitan a las personas ser reservadas al estilo holandés. Sin embargo, si las personas son algo sofisticadas en cuanto a sus intransitividades y/o si la competencia de los arbitrajistas lleva a épsilon a cero, es posible que aún se observen preferencias no "estándar".

Se puede demostrar que el conjunto de precios es coherente cuando satisfacen los axiomas de probabilidad y resultados relacionados, como el principio de inclusión-exclusión .

• Bovens, Luc; Hartmann, Stephan (2003). "Coherencia". Epistemología bayesiana . Oxford: Clarendon Press. pp. 28–55. ISBN 0-19-926975-0.
• Kadane, Joseph B. (2020). Principios de incertidumbre . Chapman & Hall. Págs. 1–28. ISBN 978-1-138-05273-4.
• Lad, Frank (1996). Métodos estadísticos subjetivos operacionales: una introducción matemática, filosófica e histórica. Nueva York: Wiley . ISBN 0-471-14329-4.
• Maher, Patrick (1993). "Probabilidad subjetiva en la ciencia". Apuestas por teorías . Cambridge University Press. pp. 84–104. ISBN 052141850X.

• "Epistemología bayesiana"
• Argumentos de libros holandeses en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford.
• Probabilidades como posibilidades de apuestas, informe de C. Caves.
• Notas sobre el argumento del libro holandés, por DA Freedman.