Curva algebraica circular

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En geometría , una curva algebraica circular es un tipo de curva algebraica plana determinada por una ecuación F ( x ,  y ) = 0, donde F es un polinomio con coeficientes reales y los términos de orden más alto de F forman un polinomio divisible por x ²  +  y ² . Más precisamente, si F =  F _n  +  F _{n −1}  + ... +  F ₁  +  F ₀ , donde cada F _i es homogénea de grado i , entonces la curva F ( x ,  y ) = 0 es circular si y solo si F _n es divisible por x ²  +  y ² .

De manera equivalente, si la curva está determinada en coordenadas homogéneas por G ( x , y , z ) = 0, donde G es un polinomio homogéneo, entonces la curva es circular si y solo si G (1,  i , 0) =  G (1, − i , 0) = 0. En otras palabras, la curva es circular si contiene los puntos circulares en el infinito , (1,  i , 0) y (1, − i , 0), cuando se considera como una curva en el plano proyectivo complejo .

Una curva algebraica se llama p -circular si contiene los puntos (1,  i , 0) y (1, − i , 0) cuando se considera como una curva en el plano proyectivo complejo, y estos puntos son singularidades de orden al menos p . Los términos bicircular , tricircular , etc. se aplican cuando p = 2, 3, etc. En términos del polinomio F dado anteriormente, la curva F ( x ,  y ) = 0 es p -circular si F _{n − i} es divisible por ( x ²  +  y ² ) ^{p − i} cuando i  <  p . Cuando p  = 1 esto se reduce a la definición de una curva circular. El conjunto de curvas p -circulares es invariante bajo transformaciones euclidianas . Nótese que una curva p -circular debe tener un grado al menos de 2 p .

El conjunto de p -curvas circulares de grado p  +  k , donde p puede variar pero k es un entero positivo fijo, es invariante bajo inversión . ^{[ cita requerida ]} Cuando k es 1 esto dice que el conjunto de líneas (0-curvas circulares de grado 1) junto con el conjunto de círculos (1-curvas circulares de grado 2) forman un conjunto que es invariante bajo inversión.

• El círculo es la única cónica circular.
• Las concoides de De Sluze (que incluyen varias curvas cúbicas bien conocidas) son cúbicas circulares.
• Los óvalos de Cassini (incluida la lemniscata de Bernoulli ), las secciones tóricas y los limazones (incluida la cardioide ) son cuárticos bicirculares.
• La curva de Watt es una séxtica tricircular.

• (en francés) "Courbe Algébrique Circulaire" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• (en francés) "Courbe Algébrique Multicirculaire" en la Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Definición en 2dcurves.com