Probabilidad bayesiana
Parte de una serie sobre
Estadísticas bayesianas
Posterior = Probabilidad × Anterior ÷ Evidencia
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Aproximación de evidencia
Evaluación del modelo
Interpretation of probability

La probabilidad bayesiana ( / ˈb eɪ z i ə n / BAY -zee-ən o / ˈb eɪ ʒ ən / BAY -zhən ) [1] es una interpretación del concepto de probabilidad , en la que, en lugar de frecuencia o propensión de algún fenómeno, la probabilidad se interpreta como expectativa razonable [2] que representa un estado de conocimiento [3] o como cuantificación de una creencia personal. [4]

La interpretación bayesiana de la probabilidad puede verse como una extensión de la lógica proposicional que permite razonar con hipótesis ; [5] [6] es decir, con proposiciones cuya verdad o falsedad se desconoce. En la perspectiva bayesiana, se asigna una probabilidad a una hipótesis, mientras que bajo la inferencia frecuentista , una hipótesis normalmente se prueba sin que se le asigne una probabilidad.

La probabilidad bayesiana pertenece a la categoría de probabilidades evidenciales; para evaluar la probabilidad de una hipótesis, el probabilista bayesiano especifica una probabilidad previa . Esta, a su vez, se actualiza a una probabilidad posterior a la luz de nuevos datos relevantes (evidencia). [7] La ​​interpretación bayesiana proporciona un conjunto estándar de procedimientos y fórmulas para realizar este cálculo.

El término bayesiano deriva del matemático y teólogo del siglo XVIII Thomas Bayes , quien proporcionó el primer tratamiento matemático de un problema no trivial de análisis de datos estadísticos utilizando lo que ahora se conoce como inferencia bayesiana . [8] : 131  El matemático Pierre-Simon Laplace fue pionero y popularizó lo que ahora se llama probabilidad bayesiana. [8] : 97–98 

Metodología bayesiana

Los métodos bayesianos se caracterizan por los siguientes conceptos y procedimientos:

  • El uso de variables aleatorias , o más generalmente cantidades desconocidas, [9] para modelar todas las fuentes de incertidumbre en modelos estadísticos, incluida la incertidumbre resultante de la falta de información (véase también incertidumbre aleatoria y epistémica ).
  • La necesidad de determinar la distribución de probabilidad previa teniendo en cuenta la información (previa) disponible.
  • El uso secuencial del teorema de Bayes : a medida que haya más datos disponibles, calcule la distribución posterior utilizando el teorema de Bayes; posteriormente, la distribución posterior se convierte en la siguiente distribución anterior.
  • Mientras que para el frecuentista una hipótesis es una proposición (que debe ser verdadera o falsa ) de modo que la probabilidad frecuentista de una hipótesis es 0 o 1, en la estadística bayesiana la probabilidad que se puede asignar a una hipótesis también puede estar en un rango de 0 a 1 si el valor de verdad es incierto.

Probabilidades bayesianas objetivas y subjetivas

En términos generales, existen dos interpretaciones de la probabilidad bayesiana. Para los objetivistas, que interpretan la probabilidad como una extensión de la lógica , la probabilidad cuantifica la expectativa razonable de que todos (incluso un "robot") que comparten el mismo conocimiento deberían compartirlo de acuerdo con las reglas de la estadística bayesiana, lo que puede justificarse mediante el teorema de Cox . [3] [10] Para los subjetivistas, la probabilidad corresponde a una creencia personal. [4] La racionalidad y la coherencia permiten una variación sustancial dentro de las restricciones que plantean; las restricciones se justifican mediante el argumento del libro holandés o mediante la teoría de la decisión y el teorema de De Finetti . [4] Las variantes objetiva y subjetiva de la probabilidad bayesiana difieren principalmente en su interpretación y construcción de la probabilidad previa.

Historia

El término bayesiano deriva de Thomas Bayes (1702-1761), quien demostró un caso especial de lo que ahora se llama teorema de Bayes en un artículo titulado " Un ensayo para resolver un problema en la doctrina de las probabilidades ". [11] En ese caso especial, las distribuciones previa y posterior eran distribuciones beta y los datos provenían de ensayos de Bernoulli . Fue Pierre-Simon Laplace (1749-1827) quien introdujo una versión general del teorema y lo utilizó para abordar problemas en mecánica celeste , estadística médica, confiabilidad y jurisprudencia . [12] La inferencia bayesiana temprana, que usaba valores previos uniformes siguiendo el principio de razón insuficiente de Laplace , se llamó " probabilidad inversa " (porque infiere hacia atrás de las observaciones a los parámetros, o de los efectos a las causas). [13] Después de la década de 1920, la "probabilidad inversa" fue suplantada en gran medida por una colección de métodos que llegaron a llamarse estadísticas frecuentistas . [13]

En el siglo XX, las ideas de Laplace se desarrollaron en dos direcciones, dando lugar a corrientes objetivas y subjetivas en la práctica bayesiana. La Teoría de la probabilidad de Harold Jeffreys (publicada por primera vez en 1939) jugó un papel importante en el resurgimiento de la visión bayesiana de la probabilidad, seguida por trabajos de Abraham Wald (1950) y Leonard J. Savage (1954). El adjetivo bayesiano en sí data de la década de 1950; el bayesianismo derivado , el neobayesianismo, es de la década de 1960. [14] [15] [16] En la corriente objetivista, el análisis estadístico depende solo del modelo asumido y los datos analizados. [17] No es necesario involucrar decisiones subjetivas. Por el contrario, los estadísticos "subjetivistas" niegan la posibilidad de un análisis completamente objetivo para el caso general.

En la década de 1980, hubo un crecimiento espectacular en la investigación y las aplicaciones de los métodos bayesianos, atribuido principalmente al descubrimiento de los métodos de Monte Carlo de cadenas de Markov y la consiguiente eliminación de muchos de los problemas computacionales, y a un creciente interés en aplicaciones complejas no estándar. [18] Si bien las estadísticas frecuentistas siguen siendo sólidas (como lo demuestra el hecho de que gran parte de la enseñanza de pregrado se basa en ellas [19] ), los métodos bayesianos son ampliamente aceptados y utilizados, por ejemplo, en el campo del aprendizaje automático . [20]

Justificación

El uso de probabilidades bayesianas como base de la inferencia bayesiana ha sido respaldado por varios argumentos, como los axiomas de Cox , el argumento del libro holandés , argumentos basados ​​en la teoría de la decisión y el teorema de De Finetti .

Enfoque axiomático

Richard T. Cox demostró que la actualización bayesiana se desprende de varios axiomas, incluidas dos ecuaciones funcionales y una hipótesis de diferenciabilidad. [10] [21] La suposición de diferenciabilidad o incluso de continuidad es controvertida; Halpern encontró un contraejemplo basado en su observación de que el álgebra booleana de enunciados puede ser finita. [22] Varios autores han sugerido otras axiomatizaciones con el propósito de hacer más rigurosa la teoría. [9]

Enfoque del libro holandés

Bruno de Finetti propuso el argumento del libro holandés basado en las apuestas. Un corredor de apuestas astuto crea un libro holandés estableciendo las probabilidades y las apuestas para garantizar que el corredor de apuestas obtenga ganancias (a expensas de los apostadores) independientemente del resultado del evento (una carrera de caballos, por ejemplo) en el que los apostadores apuestan. Está asociado con probabilidades implícitas por la falta de coherencia de las probabilidades .

Sin embargo, Ian Hacking señaló que los argumentos tradicionales de los libros holandeses no especificaban la actualización bayesiana: dejaban abierta la posibilidad de que las reglas de actualización no bayesianas pudieran evitar los libros holandeses. Por ejemplo, Hacking escribe [23] [24] "Y ni el argumento del libro holandés, ni ningún otro en el arsenal personalista de pruebas de los axiomas de probabilidad, implica el supuesto dinámico. Ninguno implica bayesianismo. Por lo tanto, el personalista requiere que el supuesto dinámico sea bayesiano. Es cierto que, en coherencia, un personalista podría abandonar el modelo bayesiano de aprendizaje a partir de la experiencia. La sal podría perder su sabor".

De hecho, existen reglas de actualización no bayesianas que también evitan los libros holandeses (como se analiza en la literatura sobre " cinemática de la probabilidad " [25] tras la publicación de la regla de Richard C. Jeffrey , que se considera bayesiana [26] ). Las hipótesis adicionales suficientes para especificar (de manera única) la actualización bayesiana son sustanciales [27] y no se consideran universalmente satisfactorias. [28]

Enfoque de la teoría de la decisión

Abraham Wald dio una justificación teórica de la decisión del uso de la inferencia bayesiana (y por lo tanto de las probabilidades bayesianas) , quien demostró que todo procedimiento estadístico admisible es un procedimiento bayesiano o un límite de procedimientos bayesianos. [29] Por el contrario, todo procedimiento bayesiano es admisible . [30]

Probabilidades personales y métodos objetivos para la construcción de probabilidades previas

Siguiendo el trabajo sobre la teoría de la utilidad esperada de Ramsey y von Neumann , los teóricos de la decisión han explicado el comportamiento racional utilizando una distribución de probabilidad para el agente . Johann Pfanzagl completó la Teoría de juegos y comportamiento económico al proporcionar una axiomatización de la probabilidad subjetiva y la utilidad, una tarea que von Neumann y Oskar Morgenstern dejaron sin completar : su teoría original suponía que todos los agentes tenían la misma distribución de probabilidad, por conveniencia. [31] La axiomatización de Pfanzagl fue respaldada por Oskar Morgenstern: "Von Neumann y yo hemos anticipado ... [la cuestión de si las probabilidades] podrían, quizás más típicamente, ser subjetivas y hemos declarado específicamente que en el último caso se podrían encontrar axiomas de los cuales se podría derivar la utilidad numérica deseada junto con un número para las probabilidades (cf. p. 19 de La teoría de juegos y comportamiento económico). No llevamos a cabo esto; fue demostrado por Pfanzagl ... con todo el rigor necesario". [32]

Ramsey y Savage observaron que la distribución de probabilidad del agente individual podía estudiarse objetivamente en experimentos. Los procedimientos para probar hipótesis sobre probabilidades (utilizando muestras finitas) se deben a Ramsey (1931) y de Finetti (1931, 1937, 1964, 1970). Tanto Bruno de Finetti [33] [34] como Frank P. Ramsey [34] [35] reconocen sus deudas con la filosofía pragmática , particularmente (para Ramsey) con Charles S. Peirce . [34] [35]

La "prueba de Ramsey" para evaluar distribuciones de probabilidad es implementable en teoría y ha mantenido ocupados a los psicólogos experimentales durante medio siglo. [36] Este trabajo demuestra que las proposiciones de probabilidad bayesiana pueden ser falsadas y, por lo tanto, cumplen con un criterio empírico de Charles S. Peirce , cuyo trabajo inspiró a Ramsey. (Este criterio de falsabilidad fue popularizado por Karl Popper . [37] [38] )

Los trabajos modernos sobre la evaluación experimental de probabilidades personales utilizan los procedimientos de aleatorización, cegamiento y decisión booleana del experimento de Peirce-Jastrow. [39] Dado que los individuos actúan de acuerdo con diferentes juicios de probabilidad, las probabilidades de estos agentes son "personales" (pero susceptibles de estudio objetivo).

Las probabilidades personales son problemáticas para la ciencia y para algunas aplicaciones en las que los encargados de tomar decisiones carecen del conocimiento o el tiempo necesarios para especificar una distribución de probabilidad informada (sobre la que estén preparados para actuar). Para satisfacer las necesidades de la ciencia y las limitaciones humanas, los estadísticos bayesianos han desarrollado métodos "objetivos" para especificar probabilidades previas.

De hecho, algunos bayesianos han sostenido que el estado previo de conocimiento define la distribución de probabilidad previa (única) para problemas estadísticos "regulares"; véase problemas bien planteados . Encontrar el método correcto para construir tales valores previos "objetivos" (para clases apropiadas de problemas regulares) ha sido la búsqueda de los teóricos estadísticos desde Laplace hasta John Maynard Keynes , Harold Jeffreys y Edwin Thompson Jaynes . Estos teóricos y sus sucesores han sugerido varios métodos para construir valores previos "objetivos" (desafortunadamente, no siempre está claro cómo evaluar la "objetividad" relativa de los valores previos propuestos bajo estos métodos):

Cada uno de estos métodos aporta valores a priori útiles para problemas "regulares" de un parámetro, y cada valor a priori puede manejar algunos modelos estadísticos desafiantes (con "irregularidad" o con varios parámetros). Cada uno de estos métodos ha sido útil en la práctica bayesiana. De hecho, los métodos para construir valores a priori "objetivos" (alternativamente, "por defecto" o "por ignorancia") han sido desarrollados por bayesianos subjetivos (o "personales") declarados como James Berger ( Universidad de Duke ) y José-Miguel Bernardo ( Universitat de València ), simplemente porque tales valores a priori son necesarios para la práctica bayesiana, particularmente en ciencia. [40] La búsqueda del "método universal para construir valores a priori" continúa atrayendo a los teóricos estadísticos. [40]

Por lo tanto, el estadístico bayesiano necesita utilizar datos previos informados (utilizando experiencia relevante o datos previos) o elegir entre los métodos en competencia para construir datos previos "objetivos".

Véase también

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