Postulado paralelo

En geometría , el postulado de las paralelas , también llamado quinto postulado de Euclides porque es el quinto postulado de los Elementos de Euclides , es un axioma distintivo de la geometría euclidiana . Afirma que, en geometría bidimensional:

Si un segmento de línea interseca dos líneas rectas que forman dos ángulos interiores del mismo lado que son menores que dos ángulos rectos , entonces las dos líneas, si se extienden indefinidamente, se encuentran en aquel lado en el que los ángulos suman menos de dos ángulos rectos.

Este postulado no habla específicamente de líneas paralelas; ^[1] es sólo un postulado relacionado con el paralelismo. Euclides dio la definición de líneas paralelas en el Libro I, Definición 23 ^[2] justo antes de los cinco postulados. ^[3]

La geometría euclidiana es el estudio de la geometría que satisface todos los axiomas de Euclides, incluido el postulado de las paralelas.

Durante mucho tiempo se consideró que el postulado era obvio o inevitable, pero las pruebas eran difíciles de conseguir. Finalmente, se descubrió que al invertir el postulado se obtenían geometrías válidas, aunque diferentes. Una geometría en la que el postulado de las paralelas no se cumple se conoce como geometría no euclidiana . La geometría que es independiente del quinto postulado de Euclides (es decir, que solo supone el equivalente moderno de los primeros cuatro postulados) se conoce como geometría absoluta (o, a veces, "geometría neutra").

Probablemente el equivalente más conocido del postulado de las paralelas de Euclides, dependiente de sus otros postulados, es el axioma de Playfair , llamado así en honor al matemático escocés John Playfair , que establece:

En un plano, dada una recta y un punto que no está en ella, se puede trazar como máximo una recta paralela a la dada que pase por el punto. ^[4]

Este axioma por sí mismo no es lógicamente equivalente al postulado de las paralelas de Euclides, ya que existen geometrías en las que uno es verdadero y el otro no. Sin embargo, en presencia de los axiomas restantes que dan la geometría euclidiana, uno puede usarse para probar el otro, por lo que son equivalentes en el contexto de la geometría absoluta . ^[5]

Se han sugerido muchas otras afirmaciones equivalentes al postulado de las paralelas, algunas de las cuales parecen a primera vista no relacionadas con el paralelismo, y otras parecen tan evidentes que fueron asumidas inconscientemente por personas que afirmaban haber demostrado el postulado de las paralelas a partir de otros postulados de Euclides. Estas afirmaciones equivalentes incluyen:

1. Existe como máximo una línea que puede trazarse paralela a otra dada a través de un punto externo. ( Axioma de Playfair )
2. La suma de los ángulos de cada triángulo es 180° ( postulado del triángulo ).
3. Existe un triángulo cuyos ángulos suman 180°.
4. La suma de los ángulos es la misma para cada triángulo.
5. Existe un par de triángulos similares , pero no congruentes .
6. Todo triángulo puede ser circunscrito .
7. Si tres ángulos de un cuadrilátero son ángulos rectos , entonces el cuarto ángulo también es un ángulo recto.
8. Existe un cuadrilátero en el que todos los ángulos son rectos, es decir, un rectángulo .
9. Existe un par de líneas rectas que están a distancia constante entre sí.
10. Dos rectas que son paralelas a la misma recta también son paralelas entre sí.
11. En un triángulo rectángulo , el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados ( teorema de Pitágoras ). ^{[6] [7]}
12. La ley de los cosenos , una generalización del teorema de Pitágoras.
13. No existe límite superior para el área de un triángulo. ( Axioma de Wallis ) ^[8]
14. Los ángulos de la cima del cuadrilátero de Saccheri son 90°.
15. Si una línea interseca una de dos líneas paralelas, ambas coplanares con la línea original, entonces también interseca a la otra. ( Axioma de Proclo ) ^[9]

Sin embargo, las alternativas que emplean la palabra "paralelo" dejan de parecer tan simples cuando uno se ve obligado a explicar cuál de las cuatro definiciones comunes de "paralelo" se refiere -separación constante, nunca encontrarse, los mismos ángulos fueron cruzados por una tercera línea, o los mismos ángulos fueron cruzados por cualquier tercera línea- ya que la equivalencia de estas cuatro es en sí misma una de las suposiciones inconscientemente obvias equivalentes al quinto postulado de Euclides. En la lista anterior, siempre se toma que se refiere a líneas que no se cortan. Por ejemplo, si la palabra "paralelo" en el axioma de Playfair se toma para significar 'separación constante' o 'los mismos ángulos fueron cruzados por cualquier tercera línea', entonces ya no es equivalente al quinto postulado de Euclides, y es demostrable a partir de los primeros cuatro (el axioma dice 'Hay como máximo una línea...', lo cual es consistente con la inexistencia de tales líneas). Sin embargo, si la definición se toma de modo que las líneas paralelas sean líneas que no se intersecan, o que tienen alguna línea que las interseca en los mismos ángulos, el axioma de Playfair es contextualmente equivalente al quinto postulado de Euclides y, por lo tanto, es lógicamente independiente de los primeros cuatro postulados. Nótese que las dos últimas definiciones no son equivalentes, porque en geometría hiperbólica la segunda definición se aplica solo a líneas ultraparalelas .

Desde el principio, el postulado fue objeto de ataques por ser demostrable y, por lo tanto, no un postulado, y durante más de dos mil años, se hicieron muchos intentos para demostrar (derivar) el postulado de las paralelas utilizando los primeros cuatro postulados de Euclides. ^[10] La razón principal por la que una prueba de este tipo fue tan buscada fue que, a diferencia de los primeros cuatro postulados, el postulado de las paralelas no es evidente por sí mismo. Si el orden en el que se enumeraron los postulados en los Elementos es significativo, indica que Euclides incluyó este postulado solo cuando se dio cuenta de que no podía demostrarlo o proceder sin él. ^[11] Se hicieron muchos intentos para demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, muchos de ellos siendo aceptados como pruebas durante largos períodos hasta que se encontró el error. Invariablemente, el error fue asumir alguna propiedad "obvia" que resultó ser equivalente al quinto postulado (el axioma de Playfair). Aunque se conocía desde la época de Proclo, se lo conoció como el Axioma de Playfair después de que John Playfair escribiera un famoso comentario sobre Euclides en 1795 en el que proponía reemplazar el quinto postulado de Euclides por su propio axioma. Hoy, más de dos mil doscientos años después, el quinto postulado de Euclides sigue siendo un postulado.

Proclo (410-485) escribió un comentario sobre Los Elementos , en el que comenta los intentos de demostrar que se dedujo el quinto postulado a partir de los otros cuatro; en particular, señala que Ptolomeo había elaborado una «prueba» falsa. Proclo luego ofrece una prueba falsa propia. Sin embargo, sí presentó un postulado que es equivalente al quinto postulado.

Ibn al-Haytham (Alhazen) (965-1039), un matemático árabe , intentó demostrar el postulado de las paralelas mediante una prueba por contradicción , ^[12] en el curso de la cual introdujo el concepto de movimiento y transformación en la geometría. ^[13] Formuló el cuadrilátero de Lambert , que Boris Abramovich Rozenfeld llama "cuadrilátero de Ibn al-Haytham-Lambert", ^[14] y su intento de prueba contiene elementos similares a los encontrados en los cuadriláteros de Lambert y el axioma de Playfair . ^[15]

El matemático, astrónomo, filósofo y poeta persa Omar Khayyám (1050-1123), intentó demostrar el quinto postulado a partir de otro postulado dado explícitamente (basado en el cuarto de los cinco principios debidos al Filósofo ( Aristóteles ), a saber, "Dos líneas rectas convergentes se intersecan y es imposible que dos líneas rectas convergentes diverjan en la dirección en la que convergen". ^[16] Derivó algunos de los resultados anteriores pertenecientes a la geometría elíptica y la geometría hiperbólica , aunque su postulado excluyó la última posibilidad. ^[17] El cuadrilátero de Saccheri también fue considerado por primera vez por Omar Khayyám a fines del siglo XI en el Libro I de Explicaciones de las dificultades en los postulados de Euclides . ^[14] A diferencia de muchos comentaristas de Euclides antes y después de él (incluido Giovanni Girolamo Saccheri ), Khayyám no estaba tratando de demostrar el postulado de las paralelas como tal, sino de derivarlo de su postulado equivalente. Reconoció que De omitir el quinto postulado de Euclides surgieron tres posibilidades: si dos perpendiculares a una línea cruzan otra línea, la elección juiciosa de la última puede hacer que los ángulos internos donde se cruza con las dos perpendiculares sean iguales (es decir, es paralela a la primera línea). Si esos ángulos internos iguales son ángulos rectos, obtenemos el quinto postulado de Euclides; de lo contrario, deben ser agudos u obtusos. Demostró que los casos agudos y obtusos conducían a contradicciones utilizando su postulado, pero ahora se sabe que su postulado es equivalente al quinto postulado.

Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274), en su Al-risala al-shafiya'an al-shakk fi'l-khutut al-mutawaziya ( Discusión que elimina la duda sobre las líneas paralelas ) (1250), escribió críticas detalladas del postulado de las paralelas y sobre el intento de prueba de Khayyám un siglo antes. Nasir al-Din intentó derivar una prueba por contradicción del postulado de las paralelas. ^[18] También consideró los casos de lo que ahora se conoce como geometría elíptica e hiperbólica, aunque descartó ambos. ^[17]

El hijo de Nasir al-Din, Sadr al-Din (a veces conocido como "Pseudo-Tusi"), escribió un libro sobre el tema en 1298, basado en las ideas posteriores de su padre, que presentó uno de los primeros argumentos a favor de una hipótesis no euclidiana equivalente al postulado de las paralelas. "Revisó esencialmente tanto el sistema euclidiano de axiomas y postulados como las pruebas de muchas proposiciones de los Elementos ". ^{[18] [19]} Su trabajo se publicó en Roma en 1594 y fue estudiado por geómetras europeos. Este trabajo marcó el punto de partida para el trabajo de Saccheri sobre el tema ^[18] que se abrió con una crítica del trabajo de Sadr al-Din y el trabajo de Wallis. ^[20]

Giordano Vitale (1633-1711), en su libro Euclide restituo (1680, 1686), utilizó el cuadrilátero de Khayyam-Saccheri para demostrar que si tres puntos son equidistantes en la base AB y la cima CD, entonces AB y CD son equidistantes en todas partes. Girolamo Saccheri (1667-1733) siguió la misma línea de razonamiento de manera más exhaustiva, obteniendo correctamente el absurdo del caso obtuso (procediendo, como Euclides, del supuesto implícito de que las líneas pueden extenderse indefinidamente y tienen longitud infinita), pero no logró refutar el caso agudo (aunque logró persuadirse erróneamente de que lo había hecho).

En 1766, Johann Lambert escribió, pero no publicó, Theorie der Parallellinien en la que intentó, como lo hizo Saccheri, demostrar el quinto postulado. Trabajó con una figura que hoy llamamos cuadrilátero de Lambert , un cuadrilátero con tres ángulos rectos (puede considerarse la mitad de un cuadrilátero de Saccheri). Rápidamente eliminó la posibilidad de que el cuarto ángulo sea obtuso, como lo habían hecho Saccheri y Khayyám, y luego procedió a demostrar muchos teoremas bajo el supuesto de un ángulo agudo. A diferencia de Saccheri, nunca sintió que había llegado a una contradicción con este supuesto. Había demostrado el resultado no euclidiano de que la suma de los ángulos en un triángulo aumenta a medida que el área del triángulo disminuye, y esto lo llevó a especular sobre la posibilidad de un modelo del caso agudo en una esfera de radio imaginario. No llevó esta idea más allá. ^[21]

Mientras Khayyám y Saccheri habían intentado demostrar la quinta de Euclides refutando las únicas alternativas posibles, el siglo XIX vio finalmente a los matemáticos explorar esas alternativas y descubrir las geometrías lógicamente consistentes que resultan de ellas. En 1829, Nikolai Ivanovich Lobachevsky publicó un relato de geometría aguda en una oscura revista rusa (posteriormente reeditado en 1840 en alemán). En 1831, János Bolyai incluyó, en un libro de su padre, un apéndice que describía la geometría aguda, que, sin duda, había desarrollado independientemente de Lobachevsky. Carl Friedrich Gauss también había estudiado el problema, pero no publicó ninguno de sus resultados. Al enterarse de los resultados de Bolyai en una carta del padre de Bolyai, Farkas Bolyai , Gauss afirmó:

Si empezara diciendo que no puedo elogiar esta obra, sin duda se sorprendería un momento. Pero no puedo decir lo contrario. Elogiarla sería elogiarme a mí mismo. En efecto, todo el contenido de la obra, el camino recorrido por su hijo, los resultados a los que se ha visto conducido, coinciden casi por completo con mis meditaciones, que han ocupado parcialmente mi mente durante los últimos treinta o treinta y cinco años. ^[22]

Las geometrías resultantes fueron desarrolladas posteriormente por Lobachevsky , Riemann y Poincaré en la geometría hiperbólica (caso agudo) y la geometría elíptica (caso obtuso). La independencia del postulado de las paralelas respecto de los demás axiomas de Euclides fue finalmente demostrada por Eugenio Beltrami en 1868.

Euclides no postuló el inverso de su quinto postulado, que es una forma de distinguir la geometría euclidiana de la geometría elíptica . Los Elementos contienen la prueba de un enunciado equivalente (Libro I, Proposición 27): Si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí, las líneas rectas serán paralelas entre sí. Como señaló De Morgan ^[23] , esto es lógicamente equivalente a (Libro I, Proposición 16). Estos resultados no dependen del quinto postulado, pero sí requieren el segundo postulado ^[24] que se viola en la geometría elíptica.

Los intentos de demostrar lógicamente el postulado de las paralelas, en lugar del octavo axioma, ^[25] fueron criticados por Arthur Schopenhauer en El mundo como voluntad e idea . Sin embargo, el argumento utilizado por Schopenhauer fue que el postulado es evidente por la percepción, no que no fuera una consecuencia lógica de los otros axiomas. ^[26]

El postulado de las paralelas es equivalente a la conjunción del axioma de Lotschnitta y del axioma de Aristóteles . ^[27] El primero establece que las perpendiculares a los lados de un ángulo recto se intersecan, mientras que el segundo establece que no existe un límite superior para las longitudes de las distancias desde el cateto de un ángulo hasta el otro cateto. Como se muestra en ^[28] , el postulado de las paralelas es equivalente a la conjunción de las siguientes formas geométricas de incidencia del axioma de Lotschnitta y del axioma de Aristóteles :

Dadas tres líneas paralelas, hay una línea que las interseca a las tres.

Dada una línea a y dos líneas distintas que se intersectan m y n , cada una diferente de a , existe una línea g que interseca a a y m , pero no a n .

La división del postulado paralelo en la conjunción de estos axiomas de incidencia-geometría sólo es posible en presencia de geometría absoluta . ^[29]

• Línea en el infinito
• Geometría no euclidiana

• Carroll, Lewis , Euclides y sus rivales modernos , Dover, ISBN 0-486-22968-8 
• Faber, Richard L. (1983), Fundamentos de geometría euclidiana y no euclidiana , Nueva York: Marcel Dekker Inc., ISBN 0-8247-1748-1
• Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005), Experimentando la geometría: euclidiana y no euclidiana con la historia (3.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, ISBN 0-13-143748-8
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• Rozenfeld, Boris A. (1988), Una historia de la geometría no euclidiana: evolución del concepto de espacio geométrico , Springer Science+Business Media , ISBN 0-387-96458-4, OCLC  15550634
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• Pambuccian, Victor; Schacht, Celia (2021), "El axioma ubicuo", Resultados en Matemáticas , 76 (3): 1–39, doi :10.1007/s00025-021-01424-3, S2CID  236236967
• Pambuccian, Victor (2022), "Sobre la división del postulado de las paralelas", Journal of Geometry , 113 (1): 1–13, doi :10.1007/s00022-022-00626-6, S2CID  246281748

• En las montañas de Gauss

Eder, Michelle (2000), Visiones del postulado paralelo de Euclides en la antigua Grecia y en el Islam medieval, Rutgers University , consultado el 23 de enero de 2008