Elemento de Coxeter

En matemáticas , un elemento de Coxeter es un elemento de un grupo de Coxeter irreducible que es un producto de todas las reflexiones simples. El producto depende del orden en el que se toman, pero diferentes ordenaciones producen elementos conjugados , que tienen el mismo orden . Este orden se conoce como el número de Coxeter . Reciben su nombre del geómetra británico-canadiense HSM Coxeter , quien introdujo los grupos en 1934 como abstracciones de los grupos de reflexión . ^[1]

Tenga en cuenta que este artículo supone un grupo de Coxeter finito . Para grupos de Coxeter infinitos, existen múltiples clases de conjugación de elementos de Coxeter y tienen un orden infinito.

Hay muchas formas diferentes de definir el número de Coxeter h de un sistema de raíces irreducible.

• El número de Coxeter es el orden de cualquier elemento de Coxeter ;
• El número de Coxeter es ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2m}{n}},}$ donde n es el rango y m es el número de reflexiones. En el caso cristalográfico, m es la mitad del número de raíces ; y 2 ​​m + n es la dimensión del álgebra de Lie semisimple correspondiente .
• Si la raíz más alta es para raíces simples α _i , entonces el número de Coxeter es${\displaystyle \suma m_{i}\alpha _{i}}$${\displaystyle 1+\suma m_{i}.}$
• El número de Coxeter es el grado más alto de un invariante fundamental del grupo de Coxeter que actúa sobre polinomios.

El número de Coxeter para cada tipo de Dynkin se proporciona en la siguiente tabla:

Grupo Coxeter		Diagrama de Coxeter	Diagrama de Dynkin	Reflexiones [2] ${\displaystyle m={\frac {nh}{2}}}$	Número h de Coxeter	Número dual de Coxeter	Grados de invariantes fundamentales
Un​	[3,3...,3]	...	...	${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$	n +1	n +1	2, 3, 4, ..., n +1
Bn​	[4,3...,3]	...	...	número 2	2 n	2n - 1	2, 4, 6, ..., 2 n
C n			...			n +1
Dn​	[3,3,...3 1,1 ]	...	...	n ( n - 1)	2n - 2	2n - 2	n ; 2, 4, 6, ..., 2 n − 2
E6​	[3 2,2,1 ]			36	12	12	2, 5, 6, 8, 9, 12
E7​	[3 3,2,1 ]			63	18	18	2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8​	[3 4,2,1 ]			120	30	30	2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4​	[3,4,3]			24	12	9	2, 6, 8, 12
G2​	[6]			6	6	4	2, 6
H3​	[5,3]		-	15	10		2, 6, 10
H4​	[5,3,3]		-	60	30		2, 12, 20, 30
Yo 2 ( pág )	[ pag ]		-	pag	pag		2, p

Los invariantes del grupo de Coxeter que actúan sobre polinomios forman un álgebra polinómica cuyos generadores son los invariantes fundamentales; sus grados se dan en la tabla anterior. Nótese que si m es un grado de un invariante fundamental, entonces también lo es h + 2 − m .

Los valores propios de un elemento de Coxeter son los números que recorre m a través de los grados de los invariantes fundamentales. Como esto comienza con m = 2 , estos incluyen la raíz primitiva h de la unidad , que es importante en el plano de Coxeter, que se muestra a continuación.${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {m-1}{h}}}}$${\displaystyle \zeta _{h}=e^{2\pi i{\frac {1}{h}}},}$

El número dual de Coxeter es 1 más la suma de los coeficientes de las raíces simples en la raíz corta más alta del sistema de raíces dual .

Existen relaciones entre el orden g del grupo de Coxeter y el número de Coxeter h : ^[3]$${\displaystyle {\begin{aligned}{}[p]:&\quad {\frac {2h}{g_{p}}}=1\\[4pt][p,q]:&\quad {\frac {8}{g_{p,q}}}={\frac {2}{p}}+{\frac {2}{q}}-1\\[4pt][p,q,r]:&\quad {\frac {64h}{g_{p,q,r}}}=12-p-2q-r+{\frac {4}{p}}+{\frac {4}{r}}\\[4pt][p,q,r,s]:&\quad {\frac {16}{g_{p,q,r,s}}}={\frac {8}{g_{p,q,r}}}+{\frac {8}{g_{q,r,s}}}+{\frac {2}{ps}}-{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{s}}+1\\[4pt]\vdots \qquad &\qquad \vdots \end{aligned}}}$$

Por ejemplo, [3,3,5] tiene h = 30 :$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {64\times 30}{g_{3,3,5}}}=12-3-6-5+{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}={\frac {2}{15}},\\[4pt]&\therefore g_{3,3,5}={\frac {1920\times 15}{2}}=960\times 15=14400.\end{aligned}}}$$

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Los elementos de Coxeter distintos corresponden a orientaciones del diagrama de Coxeter (es decir, a los temblores de Dynkin ): las reflexiones simples correspondientes a los vértices de origen se escriben primero, los vértices de corriente abajo después y los sumideros al final. (La elección del orden entre los vértices no adyacentes es irrelevante, ya que corresponden a reflexiones conmutativas). Una elección especial es la orientación alternada, en la que las reflexiones simples se dividen en dos conjuntos de vértices no adyacentes, y todos los bordes están orientados desde el primer al segundo conjunto. ^[4] La orientación alternada produce un elemento de Coxeter especial w que satisface donde w ₀ es el elemento más largo , siempre que el número de Coxeter h sea par.${\displaystyle w^{h/2}=w_{0},}$

Para el grupo simétrico de n elementos, los elementos de Coxeter son ciertos n -ciclos: el producto de reflexiones simples es el elemento de Coxeter . ^[5] Para n pares, el elemento de Coxeter de orientación alternada es: Hay elementos de Coxeter distintos entre los n -ciclos.${\displaystyle A_{n-1}\cong S_{n},}$${\displaystyle (1,2)(2,3)\cdots (n-1,n)}$${\displaystyle (1,2,3,\dots ,n)}$$${\displaystyle (1,2)(3,4)\cdots (2,3)(4,5)\cdots =(2,4,6,\ldots ,n{-}2,n,n{-}1,n{-}3,\ldots ,5,3,1).}$$${\displaystyle 2^{n-2}}$${\displaystyle (n{-}1)!}$

El grupo diedro Dih _p se genera por dos reflexiones que forman un ángulo de y por lo tanto los dos elementos de Coxeter son su producto en cualquier orden, lo cual es una rotación por${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{2p}},}$${\displaystyle \pm {\tfrac {2\pi }{p}}.}$

Para un elemento de Coxeter dado w , existe un único plano P en el que w actúa por rotación por ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2\pi }{h}}.}$ Este se llama plano de Coxeter ^[6] y es el plano en el que P tiene valores propios y ^[7] Este plano se estudió sistemáticamente por primera vez en (Coxeter 1948), ^[8] y posteriormente se utilizó en (Steinberg 1959) para proporcionar pruebas uniformes sobre las propiedades de los elementos de Coxeter. ^[8]${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {1}{h}}}}$${\displaystyle e^{-2\pi i{\frac {1}{h}}}=e^{2\pi i{\frac {h-1}{h}}}.}$

El plano de Coxeter se utiliza a menudo para dibujar diagramas de politopos de dimensiones superiores y sistemas de raíces: los vértices y los bordes del politopo, o raíces (y algunos bordes que los conectan) se proyectan ortogonalmente sobre el plano de Coxeter, lo que produce un polígono de Petrie con simetría rotacional de h -fold. ^[9] Para los sistemas de raíces, ninguna raíz se asigna a cero, lo que corresponde al elemento de Coxeter que no fija ninguna raíz o eje (no tiene valor propio 1 o −1), por lo que las proyecciones de órbitas bajo w forman arreglos circulares de h -fold ^[9] y hay un centro vacío, como en el diagrama E ₈ arriba a la derecha. Para los politopos, un vértice puede asignarse a cero, como se muestra a continuación. Las proyecciones sobre el plano de Coxeter se muestran a continuación para los sólidos platónicos .

En tres dimensiones, la simetría de un poliedro regular , { p , q }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, definido como un compuesto de 3 reflexiones, tiene simetría rotoinvertida S _h , [2 ⁺ , h ⁺ ] , orden h . Añadiendo un espejo, la simetría puede duplicarse a simetría antiprismática, D _{h d} , [2 ⁺ , h ] , orden 2 h . En proyección ortogonal 2D, esto se convierte en simetría diedral , Dih _h , [ h ] , orden 2 h .

Grupo Coxeter	Un 3 T d	B3OH​ ​​		Yo soy ​​
Poliedro regular	Tetraedro {3,3}	Cubo {4,3}	Octaedro {3,4}	Dodecaedro {5,3}	Icosaedro {3,5}
Simetría	S 4 , [2 + ,4 + ], (2×) D 2d , [2 + ,4], (2*2)	S 6 , [2 + ,6 + ], (3×) D 3d , [2 + ,6], (2*3)		S 10 , [2 + ,10 + ], (5×) D 5d , [2 + ,10], (2*5)
Simetría del plano de Coxeter	Di 4 , [4], (*4•)	Di 6 , [6], (*6•)		Di 10 , [10], (*10•)
Polígonos de Petrie de los sólidos platónicos, que muestran simetría cuádruple, séxtuple y décuple.

En cuatro dimensiones, la simetría de un policoron regular , { p , q , r }, con un polígono de Petrie dirigido marcado es una rotación doble , definida como un compuesto de 4 reflexiones, con simetría + ¹ / _h [C _h ×C _h ] ^[10] ( John H. Conway ), (C _2h /C ₁ ;C _2h /C ₁ ) (#1', Patrick du Val (1964) ^[11] ), orden h .

Grupo Coxeter	Un 4	B4​		F4​	H4​
Policoron regular	5 celdas {3,3,3}	16 celdas {3,3,4}	Teseracto {4,3,3}	24 celdas {3,4,3}	120 celdas {5,3,3}	600 celdas {3,3,5}
Simetría	+ 1 / 5 [C 5 × C 5 ]	+ 1 / 8 [C 8 × C 8 ]		+ 1 / 12 [C 12 × C 12 ]	+ 1 / 30 [C 30 × C 30 ]
Simetría del plano de Coxeter	Di 5 , [5], (*5•)	Di 8 , [8], (*8•)		Día 12 , [12], (*12•)	Día 30 , [30], (*30•)
Polígonos de Petrie de los sólidos regulares 4D, que muestran simetría quíntuple, óctuple, 12 veces y 30 veces.

En cinco dimensiones, la simetría de un 5-politopo regular , { p , q , r , s }, con un polígono de Petrie dirigido marcado, está representada por la composición de 5 reflexiones.

Grupo Coxeter	Un 5	B 5		D 5
Politerón regular	5-símplex {3,3,3,3}	5-ortoplex {3,3,3,4}	5 cubos {4,3,3,3}	5-demicubeo h{4,3,3,3}
Simetría del plano de Coxeter	Di 6 , [6], (*6•)	Di 10 , [10], (*10•)		Di 8 , [8], (*8•)

En las dimensiones 6 a 8 hay 3 grupos de Coxeter excepcionales; un politopo uniforme de cada dimensión representa las raíces de los grupos de Lie excepcionales E _n . Los elementos de Coxeter son 12, 18 y 30 respectivamente.

E _n grupos

Grupo Coxeter	E6​	E7​	E8​
Gráfico	1 22	2 31	4 21
Simetría del plano de Coxeter	Día 12 , [12], (*12•)	Día 18 , [18], (*18•)	Día 30 , [30], (*30•)

• Elemento más largo de un grupo de Coxeter