Desplazamiento

El roll-off es la inclinación de una función de transferencia con la frecuencia , particularmente en el análisis de redes eléctricas , y más especialmente en conexión con circuitos de filtro en la transición entre una banda de paso y una banda de rechazo . Se aplica más típicamente a la pérdida de inserción de la red, pero, en principio, se puede aplicar a cualquier función relevante de frecuencia, y a cualquier tecnología, no solo a la electrónica. Es habitual medir el roll-off como una función de la frecuencia logarítmica ; en consecuencia, las unidades de roll-off son decibeles por década (dB/década), donde una década es un aumento de diez veces en la frecuencia, o decibeles por octava (dB/8ve), donde una octava es un aumento de dos veces en la frecuencia.

El concepto de reducción gradual surge del hecho de que en muchas redes la reducción gradual tiende hacia un gradiente constante en frecuencias muy alejadas del punto de corte de la curva de frecuencia. La reducción gradual permite que el rendimiento de corte de una red de filtros de este tipo se reduzca a un solo número. Tenga en cuenta que la reducción gradual puede ocurrir con una frecuencia decreciente así como con una frecuencia creciente, dependiendo de la forma de banda del filtro que se esté considerando: por ejemplo, un filtro de paso bajo reducirá su frecuencia con un aumento de la frecuencia, pero un filtro de paso alto o la banda de rechazo inferior de un filtro de paso de banda reducirá su frecuencia con una frecuencia decreciente. Para abreviar, este artículo describe solo filtros de paso bajo. Esto debe tomarse en el espíritu de los filtros prototipo ; los mismos principios pueden aplicarse a los filtros de paso alto intercambiando frases como "por encima de la frecuencia de corte" y "por debajo de la frecuencia de corte".

Una red simple de primer orden, como un circuito RC, tendrá una atenuación de 20 dB/década. Esto es un poco más de 6 dB/octava y es la descripción más habitual que se da para esta atenuación. Esto se puede demostrar considerando la función de transferencia de voltaje , A , de la red RC: ^[1]

${\displaystyle A={\frac {V_{o}}{V_{i}}}={\frac {1}{1+i\omega RC}}}$

Al escalar la frecuencia a ω _c  = 1/ RC  = 1 y formar la relación de potencia, se obtiene,

${\displaystyle |A|^{2}={\frac {1}{1+\left({\omega \over \omega _{c}}\right)^{2}}}={\frac {1}{1+\omega ^{2}}}}$

En decibeles esto se convierte en,

${\displaystyle 10\log \left({\frac {1}{1+\omega ^{2}}}\right)}$

o expresado como una pérdida,

${\displaystyle L=10\log \left({1+\omega ^{2}}\right)\ \mathrm {dB} }$

A frecuencias muy superiores a ω = 1, esto se simplifica a:

${\displaystyle L\approx 10\log \left(\omega ^{2}\right)=20\log \omega \ \mathrm {dB} }$

El roll-off viene dado por,

${\displaystyle \Delta L=20\log \left({\omega _{2} \sobre \omega _{1}}\right)\ \mathrm {dB/intervalo_{2,1}} }$

Desde hace una década esto es;

${\displaystyle \Delta L=20\log 10=20\ \mathrm {dB/década} }$

y por una octava,

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\aproximadamente 6,0206\ \mathrm {dB/8ve} }$

Se puede construir una red de orden superior conectando en cascada secciones de primer orden. Si se coloca un amplificador de búfer con ganancia unitaria entre cada sección (o se utiliza alguna otra topología activa ), no hay interacción entre las etapas. En esa circunstancia, para n secciones de primer orden idénticas en cascada, la función de transferencia de voltaje de la red completa está dada por: ^[1]

${\displaystyle A_{\mathrm {T}}=A^{n}\ }$

En consecuencia, la caída total viene dada por,

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=20n{\text{ dB/octava}}\aprox 6n{\text{ dB/8ve}}}$

Se puede lograr un efecto similar en el dominio digital aplicando repetidamente el mismo algoritmo de filtrado a la señal. ^[2]

El cálculo de la función de transferencia se vuelve algo más complicado cuando las secciones no son todas idénticas, o cuando se utiliza la popular construcción de topología de escalera para realizar el filtro. En un filtro de escalera, cada sección del filtro tiene un efecto sobre sus vecinas inmediatas y un efecto menor sobre las secciones más remotas, por lo que la respuesta no es una simple A ⁿ incluso cuando todas las secciones son idénticas. Para algunas clases de filtros, como el filtro Butterworth , la pérdida de inserción sigue aumentando monótonamente con la frecuencia y converge rápidamente de manera asintótica a una caída de 20 n  dB/década, pero en otras, como el filtro Chebyshev o elíptico, la caída cerca de la frecuencia de corte es mucho más rápida y en el resto del filtro la respuesta es todo menos monótona. Sin embargo, todas las clases de filtros convergen finalmente a una caída de 20 n  dB/década teóricamente a alguna frecuencia arbitrariamente alta, pero en muchas aplicaciones esto ocurrirá en una banda de frecuencia que no tiene interés para la aplicación y los efectos parásitos pueden comenzar a dominar mucho antes de que esto suceda. ^[3]

Los filtros con una alta atenuación se desarrollaron inicialmente para evitar la diafonía entre canales adyacentes en sistemas telefónicos FDM . ^[4] La atenuación también es significativa en los filtros de cruce de altavoces de audio : aquí la necesidad no es tanto de una alta atenuación, sino que las atenuaciones de las secciones de alta y baja frecuencia sean simétricas y complementarias. Una necesidad interesante de una alta atenuación surge en las máquinas de EEG . Aquí los filtros se conforman principalmente con una atenuación básica de 20 dB/década, sin embargo, algunos instrumentos proporcionan un filtro conmutable de 35 Hz en el extremo de alta frecuencia con una atenuación más rápida para ayudar a filtrar el ruido generado por la actividad muscular. ^[5]

• Diagrama de Bode

• J. William Helton, Orlando Merino, Control clásico utilizando métodos H [infinito]: una introducción al diseño , páginas 23–25, Society for Industrial and Applied Mathematics 1998 ISBN 0-89871-424-9 . 
• Todd C. Handy, Potenciales relacionados con eventos: un manual de métodos , páginas 89–92, 107–109, MIT Press 2004 ISBN 0-262-08333-7 . 
• Fay S. Tyner, John Russell Knott, W. Brem Mayer (ed.), Fundamentos de la tecnología EEG: conceptos y métodos básicos , páginas 101–102, Lippincott Williams & Wilkins 1983 ISBN 0-89004-385-X .