Verdadera anomalía

Parte de una serie sobre
Astrodinámica
Mecánica orbital
Elementos orbitales Ápside Argumento de periapsis Excentricidad Inclinación Anomalía media Nodos orbitales Semieje mayor Verdadera anomalía
Tipos de órbitas de dos cuerpos según excentricidad Órbita circular Órbita elíptica Órbita de transferencia ( órbita de transferencia de Hohmann Órbita de transferencia bielíptica ) Órbita parabólica Órbita hiperbólica Órbita radial Órbita en decadencia
Ecuaciones Fricción dinámica Velocidad de escape Ecuación de Kepler Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario Periodo orbital Velocidad orbital Gravedad superficial Energía orbital específica Ecuación vis-viva
Mecánica celeste
Influencias gravitacionales Baricentro Esfera de colina Perturbaciones Esfera de influencia
Órbitas de N cuerpos Puntos de Lagrangian ( Órbitas de halo ) Órbitas de Lissajous Órbitas de Lyapunov
Ingeniería y eficiencia
Ingeniería de pre-vuelo Relación de masa Fracción de carga útil Fracción de masa del propulsor Ecuación del cohete de Tsiolkovsky
Medidas de eficiencia Asistencia de gravedad Efecto Oberth
Maniobras propulsivas Maniobra orbital Inserción en órbita
en a mi

En mecánica celeste , la anomalía verdadera es un parámetro angular que define la posición de un cuerpo que se mueve a lo largo de una órbita kepleriana . Es el ángulo entre la dirección del periapsis y la posición actual del cuerpo, tal como se ve desde el foco principal de la elipse (el punto alrededor del cual orbita el objeto).

La verdadera anomalía suele denotarse con las letras griegas ν o θ , o con la letra latina f , y suele estar restringida al rango de 0 a 360° (0 a 2π rad).

La anomalía verdadera f es uno de los tres parámetros angulares ( anomalías ) que definen una posición a lo largo de una órbita, siendo los otros dos la anomalía excéntrica y la anomalía media .

Para órbitas elípticas, la anomalía verdadera ν se puede calcular a partir de vectores de estado orbital como:

${\displaystyle \nu =\arccos {{\mathbf {e} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|e\right|} \mathbf {\left|r\right|} }} }$

(si r ⋅ v < 0 entonces reemplaza ν por 2 π − ν )

dónde:

• v es el vector de velocidad orbital del cuerpo en órbita,
• e es el vector de excentricidad ,
• r es el vector de posición orbital (segmento FP en la figura) del cuerpo en órbita.

En el caso de las órbitas circulares, la anomalía verdadera no está definida, ya que las órbitas circulares no tienen un periapsis determinado de forma única. En su lugar, se utiliza el argumento de la latitud u :

${\displaystyle u=\arccos {{\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} } \over {\mathbf {\left|n\right|} \mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si r _z < 0 entonces reemplace u por 2 π − u )

dónde:

• n es un vector que apunta hacia el nodo ascendente (es decir, el componente z de n es cero).
• r _z es el componente z del vector de posición orbital r

En el caso de órbitas circulares con inclinación cero, el argumento de la latitud tampoco está definido, porque no existe una línea de nodos determinada de forma única. En su lugar, se utiliza la longitud verdadera :

${\displaystyle l=\arccos {r_{x} \sobre {\mathbf {\left|r\right|} }}}$

(si v _x > 0 entonces reemplace l por 2 π − l )

dónde:

• r _x es el componente x del vector de posición orbital r
• v _x es el componente x del vector de velocidad orbital v .

La relación entre la anomalía verdadera ν y la anomalía excéntrica es:${\estilo de visualización E}$

${\displaystyle \cos {\nu }={{\cos {E}-e} \over {1-e\cos {E}}}}$

o usando el seno ^[1] y la tangente :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\nu }&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {1-e\cos {E}}}\\[4pt]\tan {\nu }={{\sin {\nu }} \over {\cos {\nu }}}&={{{\sqrt {1-e^{2}\,}}\sin {E}} \over {\cos {E}-e}}\end{aligned}}}$

o equivalentemente:

${\displaystyle \tan {\nu \over 2}={\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}}$

entonces

${\displaystyle \nu =2\,\operatorname {arctan} \left(\,{\sqrt {{1+e\,} \over {1-e\,}}}\tan {E \over 2}\,\right)}$

^{Como alternativa, [2]} derivó una forma de esta ecuación que evita problemas numéricos cuando los argumentos están cerca de , ya que las dos tangentes se vuelven infinitas. Además, dado que y siempre están en el mismo cuadrante, no habrá problemas de signos. ${\displaystyle \pm \pi }$${\displaystyle {\frac {E}{2}}}$${\displaystyle {\frac {\nu }{2}}}$

${\displaystyle \tan {{\frac {1}{2}}(\nu -E)}={\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}}$dónde${\displaystyle \beta ={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}}}$

entonces

${\displaystyle \nu =E+2\operatorname {arctan} \left(\,{\frac {\beta \sin {E}}{1-\beta \cos {E}}}\,\right)}$

La anomalía verdadera se puede calcular directamente a partir de la anomalía media mediante una expansión de Fourier : ^[3]${\displaystyle M}$

${\displaystyle \nu =M+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(-ke)\beta ^{|k+n|}\right]\sin {kM}}$

con funciones de Bessel y parámetro .${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle \beta ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}}$

Omitiendo todos los términos de orden o superior (indicados por ), se puede escribir como ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle e^{4}}$${\displaystyle \operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right)}$

${\displaystyle \nu =M+\left(2e-{\frac {1}{4}}e^{3}\right)\sin {M}+{\frac {5}{4}}e^{2}\sin {2M}+{\frac {13}{12}}e^{3}\sin {3M}+\operatorname {\mathcal {O}} \left(e^{4}\right).}$

Téngase en cuenta que, por razones de precisión, esta aproximación suele estar limitada a órbitas donde la excentricidad es pequeña.${\displaystyle e}$

La expresión se conoce como ecuación del centro , donde se dan más detalles sobre la expansión.${\displaystyle \nu -M}$

El radio (distancia entre el foco de atracción y el cuerpo en órbita) está relacionado con la anomalía real mediante la fórmula

${\displaystyle r(t)=a\,{1-e^{2} \over 1+e\cos \nu (t)}\,\!}$

donde a es el semieje mayor de la órbita .

• Leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
• Anomalía excéntrica
• Anomalía media
• Elipse
• Hipérbola

• Murray, CD y Dermott, SF, 1999, Dinámica del sistema solar , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-57597-4 
• Plummer, HC, 1960, An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy , Dover Publications, Nueva York. OCLC  1311887 (reimpresión de la edición de 1918 de Cambridge University Press).

• Administración Federal de Aviación: descripción de las órbitas