Endecágono
Figura con once lados

Endecágono regular
Un endecágono regular
TipoPolígono regular
Aristas y vértices11
Símbolo de Schläfli{11}
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Grupo de simetríaDiédrico (D 11 ), orden 2×11
Angulo interno ( grados )≈147.273°
PropiedadesConvexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal
Polígono dualSer

En geometría , un endecágono (también undecágono [1] [2] o endecágono [3] ) u 11-gono es un polígono de once lados . (El nombre endecágono , del griego hendeka "once" y –gon "esquina", se prefiere a menudo al híbrido undecágono , cuya primera parte se forma del latín undecim "once". [4] )

Endecágono regular

Un endecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {11}.

Un endecágono regular tiene ángulos internos de 147,27 grados ( =147 grados). [5] El área de un endecágono regular con una longitud de lado a está dada por [2] 3 11 {\displaystyle {\frac {3}{11}}}

A = 11 4 a 2 cuna ⁡ π 11 ≃ 9.36564 a 2 . {\displaystyle A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}.}

Como 11 no es un primo de Fermat , el endecágono regular no se puede construir con compás y regla . [6] Debido a que 11 no es un primo de Pierpont , la construcción de un endecágono regular sigue siendo imposible incluso con el uso de un trisector de ángulos .

Se pueden construir aproximaciones cercanas al endecágono regular. Por ejemplo, los antiguos matemáticos griegos calcularon que la longitud del lado de un endecágono inscrito en un círculo unitario era de 14/25 unidades. [7]

El endecágono se puede construir exactamente mediante la construcción de neusis [8] y también mediante origami doble. [9]

Construcción aproximada

La siguiente descripción de la construcción la da T. Drummond en 1800: [10]

" Traza el radio AB , bisécalo en C —con una abertura del compás igual a la mitad del radio, sobre A y C como centros describe los arcos CDI y AD —con la distancia ID sobre I describe el arco DO y traza la línea CO , que será la medida de un lado de un endecágono suficientemente exacta para la práctica. "

En un círculo unitario:

  • Longitud lateral del endecágono construido b = 0,563692 … {\displaystyle b=0,563692\lpuntos}
  • Longitud teórica del lado del endecágono a = 2 pecado ⁡ ( π 11 ) = 0,563465 … {\displaystyle a=2\sin({\frac {\pi }{11}})=0,563465\ldots }
  • Error absoluto : si AB es 10 m, entonces este error es aproximadamente 2,3 mm. del = b − a = 2.27 … ⋅ 10 − 4 {\displaystyle \delta =ba=2,27\ldots \cdot 10^{-4}}

Simetría

Simetrías de un endecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Se dibujan líneas de espejo azules a través de los vértices y las aristas. Los órdenes de giro se dan en el centro.

El endecágono regular tiene simetría Dih 11 , orden 22. Como 11 es un número primo , existe un subgrupo con simetría diedral: Dih 1 , y 2 simetrías de grupo cíclicas : Z 11 , y Z 1 .

Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el endecágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. [11] La simetría completa de la forma regular es r22 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.

Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g11 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .

Uso en acuñación de monedas

La moneda de dólar canadiense , el loonie , es similar, aunque no exactamente, a un prisma hendecagonal regular , [12] al igual que la moneda india de 2 rupias [13] y varias otras monedas menos utilizadas de otras naciones. [14] La sección transversal de un loonie es en realidad un endecágono de Reuleaux . El dólar estadounidense Susan B. Anthony tiene un contorno hendecagonal a lo largo del interior de sus bordes. [15]

El endecágono comparte el mismo conjunto de 11 vértices con cuatro endecagramas regulares :


{11/2}
{11/3}
{11/4}
{11/5}

Véase también

  • 10-simplex : puede verse como un gráfico completo en una proyección ortogonal endecagonal regular

Referencias

  1. ^ Haldeman, Cyrus B. (1922), "Construcción del undecágono regular mediante una curva séxtica", Discusiones, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi :10.2307/2299029, JSTOR  2299029.
  2. ^ ab Loomis, Elias (1859), Elementos de trigonometría plana y esférica: con sus aplicaciones a la medición, la topografía y la navegación, Harper, pág. 65.
  3. ^ Brewer, Ebenezer Cobham (1877), Errores de habla y ortografía, Londres: W. Tegg and co., p. iv.
  4. ^ Endecágono - de Wolfram MathWorld
  5. ^ McClain, Kay (1998), Matemáticas de Glencoe: aplicaciones y conexiones, Glencoe/McGraw-Hill, pág. 357, ISBN 9780028330549.
  6. ^ Como demostró Gauss , se puede construir un polígono con un número primo p de lados si y solo si p  − 1 es una potencia de dos , lo que no es cierto para 11. Véase Kline, Morris (1990), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, vol. 2, Oxford University Press, pp. 753–754, ISBN 9780199840427.
  7. ^ Heath, Sir Thomas Little (1921), Una historia de las matemáticas griegas, vol. II: De Aristarco a Diofanto, The Clarendon Press, pág. 329.
  8. ^ Benjamin, Elliot; Snyder, C. Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 156.3 (mayo de 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
  9. ^ Lucero, JC (2018). «Construcción de un endecágono regular mediante papiroflexia doble». Crux Mathematicorum . 44 : 207–213. Archivado desde el original el 20 de junio de 2018. Consultado el 20 de junio de 2018 .
  10. ^ T. Drummond, (1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, en Taking Heights and Distances ..., Descripción de la construcción, págs. 15-16 Fig. 40: desplácese desde la página 69 ... hasta la página 76 Parte I. Segunda edición, recuperado el 26 de marzo de 2016
  11. ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278) 
  12. ^ Mossinghoff, Michael J. (2006), "Un problema de $1" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi :10.2307/27641947, JSTOR  27641947
  13. ^ Cuhaj, George S.; Michael, Thomas (2012), Catálogo estándar de monedas mundiales de 2013 desde 2001 hasta la fecha, Publicaciones Krause, p. 402, ISBN 9781440229657.
  14. ^ Cuhaj, George S.; Michael, Thomas (2011), Unusual World Coins (6ª ed.), Krause Publications, págs. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128.
  15. ^ Cámara de Representantes de Estados Unidos, 1978, pág. 7.

Obras citadas

  • Cámara de Representantes de los Estados Unidos (1978). Propuesta de moneda de un dólar más pequeña . Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno.
  • Propiedades de un undecágono (hendecágono) Con animación interactiva
  • Weisstein, Eric W. "Endecágono". MathWorld .
  • Endecágonos regulares
  • Endecágono regular, una construcción aproximada
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