Desigualdad (matemáticas)

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En matemáticas , una desigualdad es una relación que establece una comparación no igual entre dos números u otras expresiones matemáticas. ^[1] Se utiliza con mayor frecuencia para comparar dos números en la recta numérica por su tamaño. Los principales tipos de desigualdad son menor que (<) y mayor que (>).

Existen varias notaciones diferentes que se utilizan para representar distintos tipos de desigualdades:

• La notación a < b significa que a es menor que b .
• La notación a > b significa que a es mayor que b .

En cualquier caso, a no es igual a b . Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas , ^[1] lo que significa que a es estrictamente menor o estrictamente mayor que b . Se excluye la igualdad.

A diferencia de las desigualdades estrictas, hay dos tipos de relaciones de desigualdad que no son estrictas:

• La notación a ≤ b o a ⩽ b o a ≦ b significa que a es menor o igual que b (o, equivalentemente, como máximo b , o no mayor que b ).
• La notación a ≥ b o a ⩾ b o a ≧ b significa que a es mayor o igual que b (o, equivalentemente, al menos b , o no menor que b ).

En los siglos XVII y XVIII, se utilizaban notaciones personales o signos mecanografiados para señalar desigualdades. ^[2] Por ejemplo, en 1670, John Wallis utilizó una única barra horizontal encima en lugar de debajo de < y >. Más tarde, en 1734, ≦ y ≧, conocidos como "menor que (mayor que) sobre igual a" o "menor que (mayor que) o igual a con barras horizontales dobles", aparecieron por primera vez en la obra de Pierre Bouguer . ^[3] Después de eso, los matemáticos simplificaron el símbolo de Bouguer a "menor que (mayor que) o igual a con una barra horizontal" (≤), o "menor que (mayor que) o inclinado igual a" (⩽).

La relación no mayor que también se puede representar con el símbolo de "mayor que" dividido por una barra, "no". Lo mismo es válido para no menor que ,${\displaystyle a\ngtr b,}$${\displaystyle a\nmenos b.}$

La notación a ≠ b significa que a no es igual a b ; esta inecuación a veces se considera una forma de desigualdad estricta. ^[4] No dice que uno sea mayor que el otro; ni siquiera requiere que a y b sean miembros de un conjunto ordenado .

En las ciencias de la ingeniería, un uso menos formal de la notación es indicar que una cantidad es "mucho mayor" que otra, ^[5] normalmente por varios órdenes de magnitud .

• La notación a ≪ b significa que a es mucho menor que b . ^[6]
• La notación a ≫ b significa que a es mucho mayor que b . ^[7]

Esto implica que el valor menor puede descuidarse con poco efecto en la precisión de una aproximación (tal como el caso del límite ultrarelativista en física).

En todos los casos anteriores, dos símbolos que se reflejan entre sí son simétricos; a < b y b > a son equivalentes, etc.

Las desigualdades se rigen por las siguientes propiedades . Todas estas propiedades también se cumplen si todas las desigualdades no estrictas (≤ y ≥) se reemplazan por sus correspondientes desigualdades estrictas (< y >) y, en el caso de aplicar una función, las funciones monótonas se limitan a funciones estrictamente monótonas .

Las relaciones ≤ y ≥ son recíprocas entre sí , lo que significa que para cualquier número real a y b :

La propiedad transitiva de la desigualdad establece que para cualquier número real a , b , c : ^[8]

Si cualquiera de las premisas es una desigualdad estricta, entonces la conclusión es una desigualdad estricta:

Se puede sumar o restar una constante común c a ambos lados de una desigualdad. ^[4] Entonces, para cualquier número real a , b , c :

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva bajo la suma (o resta) y los números reales son un grupo ordenado bajo la suma.

Las propiedades que tratan la multiplicación y la división establecen que para cualquier número real, a , b y c distinto de cero :

En otras palabras, la relación de desigualdad se conserva en la multiplicación y división con una constante positiva, pero se invierte cuando se trata de una constante negativa. En términos más generales, esto se aplica a un cuerpo ordenado . Para obtener más información, consulte § Cuerpos ordenados .

La propiedad del inverso aditivo establece que para cualquier número real a y b :

Si ambos números son positivos, entonces la relación de desigualdad entre los inversos multiplicativos es opuesta a la que existe entre los números originales. Más específicamente, para cualquier número real a y b distinto de cero que sea positivo (o negativo ):

Todos los casos de los signos de a y b también se pueden escribir en notación encadenada, de la siguiente manera:

Cualquier función monótonamente creciente , por su definición, ^[9] puede aplicarse a ambos lados de una desigualdad sin romper la relación de desigualdad (siempre que ambas expresiones estén en el dominio de esa función). Sin embargo, aplicar una función monótonamente decreciente a ambos lados de una desigualdad significa que la relación de desigualdad se invertiría. Las reglas para el inverso aditivo y el inverso multiplicativo para números positivos son ejemplos de aplicación de una función monótonamente decreciente.

Si la desigualdad es estricta ( a < b , a > b ) y la función es estrictamente monótona, entonces la desigualdad sigue siendo estricta. Si solo una de estas condiciones es estricta, entonces la desigualdad resultante no es estricta. De hecho, las reglas para inversas aditivas y multiplicativas son ejemplos de aplicación de una función estrictamente monótona decreciente.

Algunos ejemplos de esta regla son:

• Elevando ambos lados de una desigualdad a una potencia n > 0 (equiv., − n < 0), cuando a y b son números reales positivos:
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ .
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0.
• Tomando el logaritmo natural en ambos lados de una desigualdad, cuando a y b son números reales positivos:
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b ).
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b ).
  (Esto es cierto porque el logaritmo natural es una función estrictamente creciente).

Un orden parcial (no estricto) es una relación binaria ≤ sobre un conjunto P que es reflexiva , antisimétrica y transitiva . ^[10] Es decir, para todos a , b y c en P , debe satisfacer las tres cláusulas siguientes:

• a ≤ a ( reflexividad )
• Si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b ( antisimetría )
• Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c ( transitividad )

Un conjunto con un orden parcial se denomina conjunto parcialmente ordenado . ^[11] Estos son los axiomas básicos que todo tipo de orden debe satisfacer.

Un orden parcial estricto es una relación < que satisface:

• a < a ( irreflexividad )
• Si a < b , entonces b < a ( asimetría )
• Si a < b y b < c , entonces a < c ( transitividad )

Algunos tipos de órdenes parciales se especifican añadiendo más axiomas, como:

• Orden total : Para cada a y b en P , a ≤ b o b ≤ a .
• Orden denso : Para todos a y b en P para los cuales a < b , hay un c en P tal que a < c < b .
• Propiedad de límite superior mínimo : cada subconjunto no vacío de P con un límite superior tiene un límite superior mínimo (supremo) en P.

Si ( F , +, ×) es un campo y ≤ es un orden total en F , entonces ( F , +, ×, ≤) se llama un campo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c ;
• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b .

Tanto ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ,\leq )}$ como ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\leq )}$ son campos ordenados , pero ≤ no se puede definir para hacer ⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ un campo ordenado , ^[12] porque −1 es el cuadrado de i y, por lo tanto, sería positivo.

Además de ser un cuerpo ordenado, R también tiene la propiedad de límite superior mínimo . De hecho, R puede definirse como el único cuerpo ordenado con esa cualidad. ^[13]

La notación a < b < c significa " a < b y b < c ", de lo que, por la propiedad de transitividad anterior, también se deduce que a < c . Por las leyes anteriores, se puede sumar o restar el mismo número a los tres términos, o multiplicar o dividir los tres términos por el mismo número distinto de cero e invertir todas las inecuaciones si ese número es negativo. Por lo tanto, por ejemplo, a < b + e < c es equivalente a a − e < b < c − e .

Esta notación se puede generalizar a cualquier número de términos: por ejemplo, a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _n significa que a _i ≤ a _{i +1} para i = 1, 2, ..., n − 1. Por transitividad, esta condición es equivalente a a _i ≤ a _j para cualquier 1 ≤ i ≤ j ≤ n .

Al resolver desigualdades utilizando notación encadenada, es posible y a veces necesario evaluar los términos de forma independiente. Por ejemplo, para resolver la desigualdad 4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2, no es posible aislar x en ninguna parte de la desigualdad mediante la suma o la resta. En cambio, las desigualdades deben resolverse de forma independiente, lo que da como resultado x < ⁠1/2⁠ y x ≥ −1 respectivamente, que pueden combinarse en la solución final −1 ≤ x < ⁠1/2⁠ .

Ocasionalmente, la notación encadenada se utiliza con desigualdades en diferentes direcciones, en cuyo caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre términos adyacentes. Por ejemplo, la condición definitoria de un conjunto de posiciones en zigzag se escribe como a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ... . La notación encadenada mixta se utiliza más a menudo con relaciones compatibles, como <, =, ≤. Por ejemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b , b = c y c ≤ d . Esta notación existe en algunos lenguajes de programación como Python . En contraste, en lenguajes de programación que proporcionan un ordenamiento en el tipo de resultados de comparación, como C , incluso las cadenas homogéneas pueden tener un significado completamente diferente. ^[14]

Se dice que una desigualdad es aguda si no se puede relajar y seguir siendo válida en general. Formalmente, una desigualdad cuantificada universalmente φ se llama aguda si, para cada desigualdad cuantificada universalmente válida ψ , si ψ ⇒ φ se cumple, entonces ψ ⇔ φ también se cumple. Por ejemplo, la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ 0 es aguda, mientras que la desigualdad ∀ a ∈ R . a ² ≥ −1 no es aguda. ^{[ cita requerida ]}

Existen muchas desigualdades entre medias. Por ejemplo, para cualquier número positivo a ₁ , a ₂ , ..., a _n tenemos H ≤ G ≤ A ≤ Q , donde representan las siguientes medias de la sucesión:

• Media armónica  :${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• Media geométrica  :${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• Media aritmética  :${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• Media cuadrática  :${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para todos los vectores u y v de un espacio de producto interno es cierto que donde es el producto interno . Ejemplos de productos internos incluyen el producto escalar real y complejo ; En el espacio euclidiano R ⁿ con el producto interno estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right).}$$

Una desigualdad de potencia es una desigualdad que contiene términos de la forma a ^b , donde a y b son números reales positivos o expresiones variables. Suelen aparecer en ejercicios de olimpiadas matemáticas .

Ejemplos:

• Para cualquier x real ,$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• Si x > 0 y p > 0, entonces En el límite de p → 0, los límites superior e inferior convergen a ln( x ).$${\displaystyle {\frac {x^{p}-1}{p}}\geq \ln(x)\geq {\frac {1-{\frac {1}{x^{p}}}}{p}}.}$$
• Si x > 0, entonces$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• Si x > 0, entonces$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• Para cualesquiera números reales distintos a y b ,$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• Si x , y > 0 y 0 < p < 1, entonces$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• Si x , y , z > 0, entonces$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^[15] $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces ^[16] $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• Si a , b , c > 0, entonces$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• Si a , b > 0, entonces$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

Los matemáticos suelen utilizar desigualdades para delimitar cantidades para las que no es fácil calcular fórmulas exactas. Algunas desigualdades se utilizan con tanta frecuencia que tienen nombres:

El conjunto de los números complejos con sus operaciones de adición y multiplicación es un cuerpo , pero es imposible definir ninguna relación ≤ de forma que se convierta en un cuerpo ordenado . Para que fuera un cuerpo ordenado , tendría que satisfacer las dos propiedades siguientes:${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c ;
• si 0 ≤ a y 0 ≤ b , entonces 0 ≤ ab .

Como ≤ es un orden total , para cualquier número a , o bien 0 ≤ a o bien a ≤ 0 (en cuyo caso la primera propiedad anterior implica que 0 ≤ − a ). En cualquier caso, 0 ≤ a ² ; esto significa que i ² > 0 y 1 ² > 0 ; por lo tanto, −1 > 0 y 1 > 0 , lo que significa (−1 + 1) > 0; contradicción.

Sin embargo, una operación ≤ puede definirse de modo que satisfaga únicamente la primera propiedad (es decir, "si a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c "). A veces se utiliza la definición del orden lexicográfico :

• a ≤ b , si
  • Re( a ) < Re( b ) , o
  • Re( a ) = Re( b ) y Im( a ) ≤ Im( b )

Se puede demostrar fácilmente que para esta definición a ≤ b implica a + c ≤ b + c .

Los sistemas de desigualdades lineales se pueden simplificar mediante la eliminación de Fourier-Motzkin . ^[17]

La descomposición algebraica cilíndrica es un algoritmo que permite comprobar si un sistema de ecuaciones e inecuaciones polinómicas tiene solución y, en caso de que existan, describirlas. La complejidad de este algoritmo es doblemente exponencial en el número de variables. Es un campo de investigación activo para diseñar algoritmos que sean más eficientes en casos específicos.

• Relación binaria
• Corchete (matemáticas) , para el uso de signos ‹ y › similares como corchetes
• Inclusión (teoría de conjuntos)
• Inecuación
• Intervalo (matemáticas)
• Lista de desigualdades
• Lista de desigualdades triangulares
• Conjunto parcialmente ordenado
• Operadores relacionales , utilizados en lenguajes de programación para denotar desigualdad.

• Hardy, G., Littlewood JE, Pólya, G. (1999). Desigualdades . Biblioteca Matemática de Cambridge, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Beckenbach, EF, Bellman, R. (1975). Introducción a las desigualdades . Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Desigualdades: con aplicaciones a la ingeniería . Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Grinshpan, AZ (2005), "Desigualdades generales, consecuencias y aplicaciones", Advances in Applied Mathematics , 34 (1): 71–100, doi :10.1016/j.aam.2004.05.001
• Murray S. Klamkin. "Desigualdades 'rápidas'" (PDF) . Estrategias matemáticas . Archivado (PDF) del original el 2022-10-09.
• Arthur Lohwater (1982). "Introducción a las desigualdades". Libro electrónico online en formato PDF.
• Harold Shapiro (2005). "Resolución de problemas matemáticos". El seminario del viejo problema . Kungliga Tekniska högskolan.
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• Pachpatte, BG (2005). Desigualdades matemáticas . Biblioteca matemática de Holanda Septentrional. Vol. 67 (primera edición). Ámsterdam, Países Bajos: Elsevier . ISBN. 0-444-51795-2. ISSN  0924-6509. SEÑOR  2147066. Zbl  1091.26008.
• Ehrgott, Matthias (2005). Optimización multicriterio . Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
• Steele, J. Michael (2004). La clase magistral de Cauchy-Schwarz: Introducción al arte de las desigualdades matemáticas. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Desigualdades (matemáticas) .

• "Desigualdad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Gráfica de desigualdades por Ed Pegg, Jr.
• Entrada de la Wiki de AoPS sobre desigualdades