Teorema π de Buckingham

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En ingeniería , matemáticas aplicadas y física , el teorema π de Buckingham es un teorema clave en el análisis dimensional . Es una formalización del método de análisis dimensional de Rayleigh . En términos generales, el teorema establece que si existe una ecuación físicamente significativa que involucra una cierta cantidad n de variables físicas, entonces la ecuación original puede reescribirse en términos de un conjunto de p  =  n  −  k parámetros adimensionales π ₁ , π ₂ , ..., π _p construidos a partir de las variables originales, donde k es la cantidad de dimensiones físicas involucradas; se obtiene como el rango de una matriz particular .

El teorema proporciona un método para calcular conjuntos de parámetros adimensionales a partir de las variables dadas, o no dimensionalización , incluso si la forma de la ecuación aún es desconocida.

El teorema π de Buckingham indica que la validez de las leyes de la física no depende de un sistema de unidades específico . Una afirmación de este teorema es que cualquier ley física puede expresarse como una identidad que involucra solo combinaciones adimensionales (cocientes o productos) de las variables vinculadas por la ley (por ejemplo, la presión y el volumen están vinculados por la ley de Boyle : son inversamente proporcionales ). Si los valores de las combinaciones adimensionales cambiaran con los sistemas de unidades, entonces la ecuación no sería una identidad y el teorema no se cumpliría.

Aunque el teorema π debe su nombre a Edgar Buckingham , fue demostrado por primera vez por el matemático francés Joseph Bertrand en 1878. ^[1] Bertrand consideró solo casos especiales de problemas de electrodinámica y conducción de calor, pero su artículo contiene, en términos distintos, todas las ideas básicas de la prueba moderna del teorema e indica claramente la utilidad del teorema para modelar fenómenos físicos. La técnica de usar el teorema ("el método de dimensiones") se hizo ampliamente conocida debido a los trabajos de Rayleigh . La primera aplicación del teorema π en el caso general ^{[nota 1]} a la dependencia de la caída de presión en una tubería con respecto a los parámetros que la gobiernan probablemente se remonta a 1892, ^[2] una prueba heurística con el uso de expansiones en serie, a 1894. ^[3]

La generalización formal del teorema π para el caso de un número arbitrario de cantidades fue dada primero por A. Vaschy  [fr] en 1892, ^{[4] [5]} luego en 1911—aparentemente de forma independiente—por A. Federman ^[6] y D. Riabouchinsky , ^[7] y nuevamente en 1914 por Buckingham. ^[8] Fue el artículo de Buckingham el que introdujo el uso del símbolo " " para las variables adimensionales (o parámetros), y esta es la fuente del nombre del teorema.$estilo de visualización {\pi _{i}}$

Más formalmente, el número de términos adimensionales que se pueden formar es igual a la nulidad de la matriz dimensional, y es el rango . Para fines experimentales, los diferentes sistemas que comparten la misma descripción en términos de estos números adimensionales son equivalentes.${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización k}$

En términos matemáticos, si tenemos una ecuación físicamente significativa como donde hay variables físicas cualesquiera , y hay un subconjunto dimensionalmente independiente máximo de tamaño , ^{[nota 2]} entonces la ecuación anterior puede reformularse como donde son parámetros adimensionales construidos a partir de mediante ecuaciones adimensionales —los llamados grupos Pi— de la forma donde los exponentes son números racionales. (Siempre pueden tomarse como números enteros al redefinirlos como elevados a una potencia que borra todos los denominadores). Si hay unidades fundamentales en juego, entonces .$${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,}$$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización k}$$${\displaystyle F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,}$$${\displaystyle \pi _{1},\ldots ,\pi _{p}}$$estilo de visualización q_{i}}$${\displaystyle p=nk}$$${\displaystyle \pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},}$$$Estilo de visualización ai$$estilo de visualización {\pi _{i}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle p\geq n-\ell}$

El teorema π de Buckingham proporciona un método para calcular conjuntos de parámetros adimensionales a partir de variables dadas, incluso si la forma de la ecuación permanece desconocida. Sin embargo, la elección de parámetros adimensionales no es única; el teorema de Buckingham solo proporciona una manera de generar conjuntos de parámetros adimensionales y no indica el más "significativo desde el punto de vista físico".

Dos sistemas en los que estos parámetros coinciden se denominan semejantes (como en el caso de los triángulos semejantes , difieren sólo en la escala); son equivalentes a los efectos de la ecuación, y el experimentalista que desee determinar la forma de la ecuación puede elegir la que más le convenga. Lo más importante es que el teorema de Buckingham describe la relación entre el número de variables y las dimensiones fundamentales.

Para simplificar, se supondrá que el espacio de unidades físicas fundamentales y derivadas forma un espacio vectorial sobre los números reales , con las unidades fundamentales como vectores base, y con la multiplicación de unidades físicas como la operación de "suma vectorial", y la elevación a potencias como la operación de "multiplicación escalar": representar una variable dimensional como el conjunto de exponentes necesarios para las unidades fundamentales (con una potencia de cero si la unidad fundamental particular no está presente). Por ejemplo, la gravedad estándar tiene unidades de (longitud sobre tiempo al cuadrado), por lo que se representa como el vector con respecto a la base de unidades fundamentales (longitud, tiempo). También podríamos requerir que los exponentes de las unidades fundamentales sean números racionales y modificar la prueba en consecuencia, en cuyo caso los exponentes en los grupos pi siempre pueden tomarse como números racionales o incluso enteros.${\estilo de visualización g}$${\displaystyle {\mathsf {L}}/{\mathsf {T}}^{2}={\mathsf {L}}^{1}{\mathsf {T}}^{-2}}$${\estilo de visualización (1,-2)}$

Supongamos que tenemos cantidades , donde las unidades de contienen la longitud elevada a la potencia . Si originalmente medimos la longitud en metros pero luego cambiamos a centímetros, entonces el valor numérico de se reescalará por un factor de . Cualquier ley físicamente significativa debería ser invariante bajo un reescalamiento arbitrario de cada unidad fundamental; este es el hecho en el que se basa el teorema pi. ${\displaystyle q_{1},q_{2},\puntos ,q_{n}}$$estilo de visualización q_{i}}$$Estilo de visualización c_{i}$$estilo de visualización q_{i}}$${\displaystyle 100^{c_{i}}}$

Dado un sistema de variables dimensionales en dimensiones fundamentales (base), la matriz dimensional es la matriz cuyas filas corresponden a las dimensiones fundamentales y cuyas columnas son las dimensiones de las variables: la entrada n (donde y ) es la potencia de la n dimensión fundamental en la variable n. La matriz puede interpretarse como si tomara una combinación de las cantidades variables y diera las dimensiones de la combinación en términos de las dimensiones fundamentales. Por lo tanto, el vector (columna) que resulta de la multiplicación consiste en las unidades de en términos de las unidades fundamentales independientes (base). ^{[nota 3]}${\estilo de visualización n}$${\displaystyle q_{1},\ldots ,q_{n}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell \times n}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \ell}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización (i,j)}$${\displaystyle 1\leq i\leq \ell}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización j}$${\displaystyle \ell \times 1}$$${\displaystyle M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}}$$${\displaystyle \ell }$

Si reescalamos la unidad fundamental n por un factor de , entonces se reescala por , donde es la entrada n de la matriz dimensional. Para convertir esto en un problema de álgebra lineal, tomamos logaritmos (la base es irrelevante), lo que da como resultado que es una acción de sobre . Definimos una ley física como una función arbitraria tal que es un conjunto permisible de valores para el sistema físico cuando . Además, requerimos que sea invariante bajo esta acción. Por lo tanto, desciende a una función . Todo lo que queda es exhibir un isomorfismo entre y , el espacio (logarítmico) de grupos pi .${\displaystyle i}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle \alpha _{1}^{-m_{1j}}\,\alpha _{2}^{-m_{2j}}\cdots \alpha _{\ell }^{-m_{\ell j}}}$${\displaystyle m_{ij}}$${\displaystyle (i,j)}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}\log {q_{1}}\\\vdots \\\log {q_{n}}\end{bmatrix}}-M^{\operatorname {T} }{\begin{bmatrix}\log {\alpha _{1}}\\\vdots \\\log {\alpha _{\ell }}\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\colon (\mathbb {R} ^{+})^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$${\displaystyle f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\operatorname {im} {M^{\operatorname {T} }}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle (\log {\pi _{1}},\log {\pi _{2}},\dots ,\log {\pi _{p}})}$

Construimos una matriz cuyas columnas son la base de . Nos indica cómo incrustar en como núcleo de . Es decir, tenemos una secuencia exacta${\displaystyle n\times p}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \ker {M}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} ^{p}\xrightarrow {\ K\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ M\ } \mathbb {R} ^{\ell }.}$

Tomando transposiciones se obtiene otra secuencia exacta

${\displaystyle \mathbb {R} ^{\ell }\xrightarrow {\ M^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{n}\xrightarrow {\ K^{\operatorname {T} }\ } \mathbb {R} ^{p}\to 0.}$

El primer teorema de isomorfismo produce el isomorfismo deseado, que envía la clase lateral a . Esto corresponde a reescribir la tupla en los grupos pi que provienen de las columnas de .${\displaystyle v+M^{\operatorname {T} }\mathbb {R} ^{\ell }}$${\displaystyle K^{\operatorname {T} }v}$${\displaystyle (\log q_{1},\log q_{2},\dots ,\log q_{n})}$${\displaystyle (\log \pi _{1},\log \pi _{2},\dots ,\log \pi _{p})}$${\displaystyle K}$

El Sistema Internacional de Unidades define siete unidades básicas, que son el amperio , el kelvin , el segundo , el metro , el kilogramo , la candela y el mol . A veces resulta ventajoso introducir unidades básicas y técnicas adicionales para refinar la técnica del análisis dimensional. (Véase análisis orientacional y referencia. ^[9] )

Este ejemplo es elemental pero sirve para demostrar el procedimiento.

Supongamos que un automóvil circula a 100 km/h; ¿cuánto tiempo tarda en recorrer 200 km?

Esta pregunta considera variables dimensionadas: distancia, tiempo y velocidad , y buscamos una ley de la forma Dos de estas variables son dimensionalmente independientes, pero las tres en conjunto no lo son. Por lo tanto, existe una cantidad adimensional.${\displaystyle n=3}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d).}$${\displaystyle p=n-k=3-2=1}$

La matriz dimensional es aquella en la que las filas corresponden a las dimensiones base y las columnas a las dimensiones consideradas, donde estas últimas representan la dimensión de velocidad. Los elementos de la matriz corresponden a las potencias a las que se deben elevar las respectivas dimensiones. Por ejemplo, la tercera columna indica que representado por el vector columna es expresable en términos de las dimensiones base como$${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle L,T,{\text{ and }}V,}$${\displaystyle (1,-1),}$${\displaystyle V=L^{0}T^{0}V^{1},}$${\displaystyle \mathbf {v} =[0,0,1],}$${\displaystyle V=L^{1}T^{-1}=L/T,}$${\displaystyle M\mathbf {v} =[1,-1].}$

Para una constante adimensional, buscamos vectores tales que el producto matriz-vector sea igual al vector cero. En álgebra lineal, el conjunto de vectores con esta propiedad se conoce como el núcleo (o espacio nulo) de la matriz dimensional. En este caso particular, su núcleo es unidimensional. La matriz dimensional, como se escribió anteriormente, está en forma escalonada reducida por filas , por lo que se puede leer un vector de núcleo distinto de cero dentro de una constante multiplicativa:${\displaystyle \pi =L^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}},}$${\displaystyle \mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]}$${\displaystyle M\mathbf {a} }$${\displaystyle [0,0].}$$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.}$$

Si la matriz dimensional no estuviera ya reducida, se podría realizar la eliminación de Gauss-Jordan sobre la matriz dimensional para determinar más fácilmente el núcleo. De ello se deduce que la constante adimensional, reemplazando las dimensiones por las variables adimensionales correspondientes, se puede escribir:$${\displaystyle \pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.}$$

Dado que el núcleo solo está definido dentro de una constante multiplicativa, la constante adimensional anterior elevada a cualquier potencia arbitraria produce otra constante adimensional (equivalente).

El análisis dimensional ha proporcionado así una ecuación general que relaciona las tres variables físicas: o bien, dejando denotar un cero de función que puede escribirse en la forma deseada (que recordemos era ) como$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$${\displaystyle C}$${\displaystyle F,}$$${\displaystyle \pi =C,}$$${\displaystyle t=\operatorname {Duration} (v,d)}$$${\displaystyle t=C{\frac {d}{v}}.}$$

La relación real entre las tres variables es simplemente En otras palabras, en este caso tiene una raíz físicamente relevante, y es la unidad. El hecho de que sólo un único valor de sea suficiente y que sea igual a 1 no se revela mediante la técnica del análisis dimensional.${\displaystyle d=vt.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C}$

Deseamos determinar el período de pequeñas oscilaciones en un péndulo simple . Se supondrá que es una función de la longitud, la masa y la aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra , que tiene dimensiones de longitud dividida por el cuadrado del tiempo. El modelo tiene la forma${\displaystyle T}$${\displaystyle L,}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle g,}$$${\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}$$

(Tenga en cuenta que está escrito como una relación, no como una función: no está escrito aquí como una función de )${\displaystyle T}$${\displaystyle M,L,{\text{ and }}g.}$

El período, la masa y la longitud son dimensionalmente independientes, pero la aceleración se puede expresar en términos de tiempo y longitud, lo que significa que las cuatro variables tomadas en conjunto no son dimensionalmente independientes. Por lo tanto, solo necesitamos un parámetro adimensional, denotado por y el modelo se puede reexpresar como donde se da por para algunos valores de${\displaystyle p=n-k=4-3=1}$${\displaystyle \pi ,}$$${\displaystyle F(\pi )=0,}$$${\displaystyle \pi }$$${\displaystyle \pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}}$$${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}.}$

Las dimensiones de las magnitudes dimensionales son:$${\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}$$

La matriz dimensional es:$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}$$

(Las filas corresponden a las dimensiones y las columnas a las variables dimensionales. Por ejemplo, la cuarta columna indica que la variable tiene dimensiones de )${\displaystyle t,m,}$${\displaystyle \ell ,}$${\displaystyle T,M,L,{\text{ and }}g.}$${\displaystyle (-2,0,1),}$${\displaystyle g}$${\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}.}$

Estamos buscando un vector kernel tal que el producto matricial de uno dé como resultado el vector cero . La matriz dimensional escrita arriba está en forma escalonada reducida, por lo que se puede leer un vector kernel dentro de una constante multiplicativa:${\displaystyle a=\left[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\right]}$${\displaystyle \mathbf {M} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle [0,0,0].}$$${\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}$$

Si no se hubiera reducido ya, se podría realizar la eliminación de Gauss-Jordan en la matriz dimensional para determinar más fácilmente el núcleo. De ello se deduce que la constante adimensional puede escribirse: En términos fundamentales: que es adimensional. Dado que el núcleo solo se define dentro de una constante multiplicativa, si la constante adimensional anterior se eleva a cualquier potencia arbitraria, producirá otra constante adimensional equivalente.$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}$$$${\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}\left(\ell /t^{2}\right)^{1}=1,}$$

En este ejemplo, tres de las cuatro magnitudes dimensionales son unidades fundamentales, por lo que la última (que es ) debe ser una combinación de las anteriores. Nótese que si (el coeficiente de ) no hubiera sido cero, entonces no habría forma de cancelar el valor; por lo tanto, debe ser cero. El análisis dimensional nos ha permitido concluir que el período del péndulo no es una función de su masa (en el espacio 3D de potencias de masa, tiempo y distancia, podemos decir que el vector de masa es linealmente independiente de los vectores de las otras tres variables. Hasta un factor de escala, es la única forma no trivial de construir un vector de un parámetro adimensional).${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle M.}$${\displaystyle {\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}}$

El modelo ahora se puede expresar como:$${\displaystyle F\left(gT^{2}/L\right)=0.}$$

Entonces esto implica que para algún cero de la función Si solo hay un cero, llámelo entonces Se requiere más conocimiento físico o un experimento para demostrar que de hecho solo hay un cero y que la constante de hecho está dada por${\displaystyle gT^{2}/L=C_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle F.}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle gT^{2}/L=C.}$${\displaystyle C=4\pi ^{2}.}$

En el caso de grandes oscilaciones de un péndulo, el análisis se complica por un parámetro adimensional adicional: el ángulo de oscilación máximo. El análisis anterior es una buena aproximación, ya que el ángulo se acerca a cero .

Para demostrar la aplicación del teorema π , considere el consumo de energía de un agitador con una forma dada. La potencia, P , en dimensiones [M · L ² /T ³ ], es una función de la densidad , ρ [M/L ³ ], y la viscosidad del fluido a agitar, μ [M/(L · T)], así como el tamaño del agitador dado por su diámetro , D [L], y la velocidad angular del agitador, n [1/T]. Por lo tanto, tenemos un total de n = 5 variables que representan nuestro ejemplo. Esas n = 5 variables se construyen a partir de k = 3 dimensiones independientes, por ejemplo, longitud: L ( unidades SI : m ), tiempo: T ( s ), y masa: M ( kg ).

Según el teorema π , las variables n = 5 se pueden reducir a las dimensiones k = 3 para formar p = n − k = 5 − 3 = 2 números adimensionales independientes. Por lo general, estas cantidades se eligen como , comúnmente llamado el número de Reynolds que describe el régimen de flujo del fluido, y , el número de potencia , que es la descripción adimensional del agitador.${\textstyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho nD^{2}}{\mu }}}$${\textstyle N_{\mathrm {p} }={\frac {P}{\rho n^{3}D^{5}}}}$

Nótese que las dos cantidades adimensionales no son únicas y dependen de cuál de las n = 5 variables se elija como las k = 3 variables base dimensionalmente independientes, que, en este ejemplo, aparecen en ambas cantidades adimensionales. El número de Reynolds y el número de potencia caen del análisis anterior si se eligen , n y D como variables base. Si, en cambio, se seleccionan , n y D , se recupera el número de Reynolds mientras que la segunda cantidad adimensional se convierte en . Nótese que es el producto del número de Reynolds y el número de potencia.${\textstyle \rho }$${\textstyle \mu }$${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }={\frac {P}{\mu D^{3}n^{2}}}}$${\textstyle N_{\mathrm {Rep} }}$

Un ejemplo de análisis dimensional se puede encontrar en el caso de la mecánica de un disco giratorio delgado, sólido y de lados paralelos. Hay cinco variables involucradas que se reducen a dos grupos adimensionales. La relación entre ellas se puede determinar mediante un experimento numérico utilizando, por ejemplo, el método de elementos finitos. ^[10]

El teorema también se ha utilizado en campos distintos a la física, por ejemplo en la ciencia del deporte . ^[11]

• Onda explosiva
• Cantidad adimensional
• Unidades naturales
• Similitud (modelo)
• Número de Reynolds

• Algunas reseñas y fuentes originales sobre la historia del teorema Pi y la teoría de la similitud (en ruso)