Pi

Parte de una serie de artículos sobre el
constante matemática π
3.1415926535897932384626433...
Uses
Area of a circle Circumference Use in other formulae
Properties
Irrationality Transcendence
Value
Less than 22/7 Approximations Madhava's correction term Memorization
People
Archimedes Liu Hui Zu Chongzhi Aryabhata Madhava Jamshīd al-Kāshī Ludolph van Ceulen François Viète Seki Takakazu Takebe Kenko William Jones John Machin William Shanks Srinivasa Ramanujan John Wrench Chudnovsky brothers Yasumasa Kanada
History
Chronology A History of Pi
In culture
Indiana pi bill Pi Day
Related topics
Squaring the circle Basel problem Six nines in π Other topics related to π
v t e

El número π ( / p aɪ / ; escrito como " pi ") es una constante matemática que es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro , aproximadamente igual a 3,14159. El número π aparece en muchas fórmulas en matemáticas y física . Es un número irracional , lo que significa que no se puede expresar exactamente como una relación de dos números enteros, aunque se utilizan comúnmente fracciones como para aproximarlo . En consecuencia, su representación decimal nunca termina ni entra en un patrón que se repite permanentemente . Es un número trascendental , lo que significa que no puede ser una solución de una ecuación que involucra solo sumas, productos, potencias y números enteros finitos. La trascendencia de π implica que es imposible resolver el antiguo desafío de cuadrar el círculo con un compás y una regla . Los dígitos decimales de π parecen estar distribuidos aleatoriamente , ^[a] pero no se ha encontrado ninguna prueba de esta conjetura .${\displaystyle {\tfrac {22}{7}}}$

Durante miles de años, los matemáticos han intentado ampliar su comprensión de π , a veces calculando su valor con un alto grado de precisión. Las civilizaciones antiguas, incluidas la egipcia y la babilónica , requerían aproximaciones bastante precisas de π para cálculos prácticos. Alrededor del año 250  a. C., el matemático griego Arquímedes creó un algoritmo para aproximar π con precisión arbitraria. En el siglo V d. C., los matemáticos chinos aproximaron π a siete dígitos, mientras que los matemáticos indios hicieron una aproximación de cinco dígitos, ambos utilizando técnicas geométricas. La primera fórmula computacional para π , basada en series infinitas , fue descubierta un milenio después. ^{[1] [2]} El primer uso conocido de la letra griega π para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en 1706. ^[3]

La invención del cálculo pronto condujo al cálculo de cientos de dígitos de π , suficientes para todos los cálculos científicos prácticos. Sin embargo, en los siglos XX y XXI, los matemáticos y los científicos informáticos han buscado nuevos enfoques que, cuando se combinan con un poder computacional creciente, extendieron la representación decimal de π a muchos billones de dígitos. ^{[4] [5]} Estos cálculos están motivados por el desarrollo de algoritmos eficientes para calcular series numéricas, así como por la búsqueda humana de romper récords. ^{[6] [7]} Los extensos cálculos involucrados también se han utilizado para probar supercomputadoras , así como para realizar pruebas de estrés en el hardware de las computadoras de consumo.

Debido a que su definición se relaciona con el círculo, π se encuentra en muchas fórmulas en trigonometría y geometría , especialmente aquellas que se refieren a círculos, elipses y esferas. También se encuentra en fórmulas de otros temas de la ciencia, como la cosmología , los fractales , la termodinámica , la mecánica y el electromagnetismo . También aparece en áreas que tienen poco que ver con la geometría, como la teoría de números y la estadística , y en el análisis matemático moderno se puede definir sin ninguna referencia a la geometría. La ubicuidad de π lo convierte en una de las constantes matemáticas más conocidas dentro y fuera de la ciencia. Se han publicado varios libros dedicados a π , y los cálculos récord de los dígitos de π a menudo dan lugar a titulares de noticias.

El símbolo utilizado por los matemáticos para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es la letra griega minúscula π , a veces escrita como pi. ^[8] En inglés, π se pronuncia como "pie" ( / p aɪ / PY ). ^[9] En el uso matemático, la letra minúscula π se distingue de su contraparte mayúscula y agrandada Π , que denota un producto de una secuencia , de manera análoga a cómo Σ denota suma .

La elección del símbolo π se analiza en la sección Adopción del símbolo π.

π se define comúnmente como la relación entre la circunferencia de un círculo C y su diámetro d : ^[10] $${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}}$$

La razón es constante, independientemente del tamaño del círculo. Por ejemplo, si un círculo tiene el doble del diámetro de otro círculo, también tendrá el doble de la circunferencia, conservando la razón . Esta definición de π hace uso implícito de la geometría plana (euclidiana) ; aunque la noción de círculo se puede extender a cualquier geometría curva (no euclidiana) , estos nuevos círculos ya no satisfarán la fórmula . ^[10]${\textstyle {\frac {C}{d}}}$${\textstyle {\frac {C}{d}}}$${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$

Aquí, la circunferencia de un círculo es la longitud del arco alrededor del perímetro del círculo, una cantidad que se puede definir formalmente independientemente de la geometría utilizando límites , un concepto en cálculo . ^[11] Por ejemplo, uno puede calcular directamente la longitud del arco de la mitad superior del círculo unitario, dada en coordenadas cartesianas por la ecuación , como la integral : ^[12]${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$$${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

Una integral como ésta fue propuesta como definición de π por Karl Weierstrass , quien la definió directamente como una integral en 1841. ^[b]

La integración ya no se utiliza comúnmente en una primera definición analítica porque, como explica Remmert 2012, el cálculo diferencial suele preceder al cálculo integral en el plan de estudios universitario, por lo que es deseable tener una definición de π que no dependa de este último. Una de esas definiciones, debida a Richard Baltzer ^[14] y popularizada por Edmund Landau ^[15], es la siguiente: π es el doble del número positivo más pequeño en el que la función coseno es igual a 0. ^{[10] [12] [16]} π es también el número positivo más pequeño en el que la función seno es igual a cero, y la diferencia entre ceros consecutivos de la función seno. El coseno y el seno se pueden definir independientemente de la geometría como una serie de potencias [ ^17] o como la solución de una ecuación diferencial ^[16] .

De manera similar, π se puede definir utilizando propiedades de la exponencial compleja , exp z , de una variable compleja z . Al igual que el coseno, la exponencial compleja se puede definir de varias maneras. El conjunto de números complejos en los que exp z es igual a uno es entonces una progresión aritmética (imaginaria) de la forma: y existe un único número real positivo π con esta propiedad. ^{[12] [18]}$${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$$

Una variación de la misma idea, haciendo uso de sofisticados conceptos matemáticos de topología y álgebra , es el siguiente teorema: ^[19] existe un único ( salvo automorfismo ) isomorfismo continuo del grupo R / Z de números reales bajo adición módulo enteros (el grupo del círculo ), sobre el grupo multiplicativo de números complejos de valor absoluto uno. El número π se define entonces como la mitad de la magnitud de la derivada de este homomorfismo. ^[20]

π es un número irracional , lo que significa que no se puede escribir como el cociente de dos números enteros . Fracciones como ⁠22/7⁠ y ⁠355/113⁠ se utilizan comúnmente para aproximar π , pero ninguna fracción común (razón de números enteros) puede ser su valor exacto. ^[21] Debido a que π es irracional, tiene un número infinito de dígitos en su representación decimal y no se establece en un patrón de dígitos que se repite infinitamente. Hay varias pruebas de que π es irracional ; generalmente requieren cálculo y se basan en la técnica de reductio ad absurdum . El grado en el que π puede aproximarse mediante números racionales (llamado medida de irracionalidad ) no se conoce con precisión; las estimaciones han establecido que la medida de irracionalidad es mayor o al menos igual a la medida de e pero menor que la medida de los números de Liouville . ^[22]

Los dígitos de π no tienen un patrón aparente y han pasado pruebas de aleatoriedad estadística , incluidas pruebas de normalidad ; un número de longitud infinita se denomina normal cuando todas las posibles secuencias de dígitos (de cualquier longitud dada) aparecen con la misma frecuencia. La conjetura de que π es normal no ha sido probada ni refutada. ^[23]

Desde la llegada de las computadoras, se ha podido disponer de una gran cantidad de dígitos de π sobre los cuales realizar análisis estadísticos. Yasumasa Kanada ha realizado análisis estadísticos detallados sobre los dígitos decimales de π y los ha encontrado consistentes con la normalidad; por ejemplo, las frecuencias de los diez dígitos del 0 al 9 se sometieron a pruebas de significación estadística y no se encontró evidencia de un patrón. ^[24] Cualquier secuencia aleatoria de dígitos contiene subsecuencias arbitrariamente largas que parecen no aleatorias, por el teorema del mono infinito . Por lo tanto, debido a que la secuencia de dígitos de π pasa las pruebas estadísticas de aleatoriedad, contiene algunas secuencias de dígitos que pueden parecer no aleatorias, como una secuencia de seis 9 consecutivos que comienza en el lugar decimal 762 de la representación decimal de π . ^[25] Esto también se llama el "punto de Feynman" en el folclore matemático , en honor a Richard Feynman , aunque no se conoce ninguna conexión con Feynman.

Además de ser irracional, π también es un número trascendental , lo que significa que no es la solución de ninguna ecuación polinómica no constante con coeficientes racionales , como . ^{[26] [c]}${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$

La trascendencia de π tiene dos consecuencias importantes: primero, π no puede expresarse utilizando cualquier combinación finita de números racionales y raíces cuadradas o raíces n -ésimas (como o ). Segundo, dado que ningún número trascendental puede construirse con compás y regla , no es posible " cuadrar el círculo ". En otras palabras, es imposible construir, utilizando solo compás y regla, un cuadrado cuya área sea exactamente igual al área de un círculo dado. ^[27] La ​​cuadratura de un círculo fue uno de los problemas de geometría importantes de la antigüedad clásica . ^[28] Los matemáticos aficionados en los tiempos modernos a veces han intentado cuadrar el círculo y afirman haber tenido éxito, a pesar del hecho de que es matemáticamente imposible. ^{[29] [30]}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{31}}}$${\displaystyle {\sqrt {10}}}$

Como número irracional, π no se puede representar como una fracción común . Pero cada número, incluido π , se puede representar mediante una serie infinita de fracciones anidadas, denominada fracción continua :$${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

Truncando la fracción continua en cualquier punto se obtiene una aproximación racional para π ; las primeras cuatro de estas son 3 , ⁠22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , y ⁠355/113⁠ . Estos números se encuentran entre las aproximaciones históricas más conocidas y más utilizadas de la constante. Cada aproximación generada de esta manera es una mejor aproximación racional; es decir, cada una está más cerca de π que cualquier otra fracción con el mismo denominador o uno menor. ^[31] Debido a que π es trascendental, por definición no es algebraico y, por lo tanto, no puede ser un irracional cuadrático . Por lo tanto, π no puede tener una fracción continua periódica . Aunque la fracción continua simple para π (mostrada arriba) tampoco exhibe ningún otro patrón obvio, ^{[32] [33]} varias fracciones continuas generalizadas sí lo hacen, como: ^[34]$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

La mitad de éstas se debe al matemático de mediados del siglo XVII William Brouncker , véase § Fórmula de Brouncker .

Algunas aproximaciones de pi incluyen:

• Números enteros : 3
• Fracciones : Las fracciones aproximadas incluyen (en orden de precisión creciente )22/7⁠ , ⁠333/106⁠ , ⁠355/113⁠ , ⁠52163/16604⁠ , ⁠103993/33102⁠ , ⁠104348/33215⁠ , y ⁠245850922/78256779⁠ . ^[31] (La lista son términos seleccionados de OEIS : A063674 y OEIS : A063673 ).
• Dígitos : Los primeros 50 dígitos decimales son 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ^[35] (ver OEIS : A000796 )

Dígitos en otros sistemas numéricos

• Los primeros 48 dígitos binarios ( base 2) (llamados bits ) son 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (ver OEIS : A004601 )
• Los primeros 36 dígitos del sistema ternario (base 3) son 10.010 211 012 222 010 211 002 111 110 221 222 220... (ver OEIS : A004602 )
• Los primeros 20 dígitos en hexadecimal (base 16) son 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... ^[36] (ver OEIS : A062964 )
• Los primeros cinco dígitos sexagesimales (base 60) son 3; 8, 29, 44, 0, 47 ^[37] (ver OEIS : A060707 )

Cualquier número complejo , digamos z , puede expresarse usando un par de números reales . En el sistema de coordenadas polares , un número ( radio o r ) se usa para representar la distancia de z desde el origen del plano complejo , y el otro (ángulo o φ ) la rotación en sentido antihorario desde la línea real positiva: ^[38] donde i es la unidad imaginaria que satisface . La frecuente aparición de π en el análisis complejo puede relacionarse con el comportamiento de la función exponencial de una variable compleja, descrita por la fórmula de Euler : ^[39] donde la constante e es la base del logaritmo natural . Esta fórmula establece una correspondencia entre potencias imaginarias de e y puntos en el círculo unitario centrado en el origen del plano complejo. La configuración en la fórmula de Euler da como resultado la identidad de Euler , celebrada en matemáticas debido a que contiene cinco constantes matemáticas importantes: ^{[39] [40]}$${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$$${\displaystyle i^{2}=-1}$$${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$$${\displaystyle \varphi =\pi }$$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$$

Hay n números complejos diferentes z que satisfacen , y estos se denominan " raíces n -ésimas de la unidad " ^[41] y se dan mediante la fórmula:${\displaystyle z^{n}=1}$$${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$$

Las aproximaciones más conocidas para la datación de π antes de la era común tenían una precisión de dos decimales; esto se mejoró en las matemáticas chinas, en particular a mediados del primer milenio, hasta una precisión de siete decimales. Después de esto, no se hicieron más avances hasta finales del período medieval.

Las primeras aproximaciones escritas de π se encuentran en Babilonia y Egipto, ambas con un margen de error del uno por ciento respecto del valor real. En Babilonia, una tablilla de arcilla que data de 1900 a 1600 a. C. contiene una declaración geométrica que, por implicación, trata a π como ⁠25/8⁠  = 3,125. ^[42] En Egipto, el Papiro Rhind , que data de alrededor de 1650 a. C. pero que fue copiado de un documento que data de 1850 a. C., tiene una fórmula para el área de un círculo que trata a π como . ^{[33] [42]} Aunque algunos piramidólogos han teorizado que la Gran Pirámide de Giza fue construida con proporciones relacionadas con π , esta teoría no es ampliamente aceptada por los académicos. ^[43] En los Shulba Sutras de las matemáticas indias , que datan de una tradición oral del primer o segundo milenio a. C., se dan aproximaciones que se han interpretado de diversas formas como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 o 3,125. ^[44]${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$

El primer algoritmo registrado para calcular rigurosamente el valor de π fue un enfoque geométrico que utilizaba polígonos, ideado alrededor del 250 a. C. por el matemático griego Arquímedes , que implementaba el método de agotamiento . ^[45] Este algoritmo poligonal dominó durante más de 1000 años y, como resultado, a π a veces se lo denomina la constante de Arquímedes. ^[46] Arquímedes calculó los límites superior e inferior de π dibujando un hexágono regular dentro y fuera de un círculo, y duplicando sucesivamente el número de lados hasta llegar a un polígono regular de 96 lados. Al calcular los perímetros de estos polígonos, demostró que ⁠223/71⁠ < π < ⁠22/7⁠ (es decir, 3,1408 < π < 3,1429 ). ^[47] Límite superior de Arquímedes de ⁠22/7⁠ puede haber llevado a una creencia popular generalizada de que π es igual a ⁠22/7⁠ . ^[48] Alrededor de 150 d. C., el científico greco-romano Ptolomeo , en su Almagesto , dio un valor para π de 3,1416, que pudo haber obtenido de Arquímedes o de Apolonio de Perge . ^{[49] [50]} Los matemáticos que usaban algoritmos poligonales alcanzaron 39 dígitos de π en 1630, un récord que solo se rompió en 1699 cuando se usaron series infinitas para alcanzar 71 dígitos. ^[51]

En la antigua China , los valores de π incluían 3,1547 (alrededor del año 1 d. C.), (100 d. C., aproximadamente 3,1623) y${\displaystyle {\sqrt {10}}}$142/45⁠ (Siglo III, aproximadamente 3,1556). ^[52] Alrededor del año 265 d. C., elmatemático del Reino Wei Liu Hui creó un algoritmo iterativo basado en polígonos y lo utilizó con un polígono de 3072 lados para obtener un valor de π de 3,1416. ^{[53] [54]} Liu inventó más tarde un método más rápido para calcular π y obtuvo un valor de 3,14 con un polígono de 96 lados, aprovechando el hecho de que las diferencias en el área de polígonos sucesivos forman una serie geométrica con un factor de 4. ^[53] El matemático chino Zu Chongzhi , alrededor del 480 d. C., calculó quey sugirió las aproximacionesy, que denominó Milü (''ratio cercano'') y Yuelü ("ratio aproximado"), respectivamente, utilizando el algoritmo de Liu Hui aplicado a un polígono de 12.288 lados. Con un valor correcto para sus siete primeros dígitos decimales, este valor siguió siendo la aproximación más precisa de π disponible durante los siguientes 800 años. ^[55]${\displaystyle 3.1415926<\pi <3.1415927}$${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$

El astrónomo indio Aryabhata utilizó un valor de 3,1416 en su Āryabhaṭīya (499 d. C.). ^[56] Fibonacci en c.  1220 calculó 3,1418 utilizando un método poligonal, independiente de Arquímedes. ^[57] El autor italiano Dante aparentemente empleó el valor . ^[57]${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$

El astrónomo persa Jamshīd al-Kāshī produjo nueve dígitos sexagesimales , aproximadamente el equivalente a 16 dígitos decimales, en 1424, utilizando un polígono con lados, ^{[58] [59]} que se mantuvo como el récord mundial durante unos 180 años. ^[60] El matemático francés François Viète en 1579 logró nueve dígitos con un polígono de lados. ^[60] El matemático flamenco Adriaan van Roomen llegó a 15 decimales en 1593. ^[60] En 1596, el matemático holandés Ludolph van Ceulen alcanzó los 20 dígitos, un récord que luego aumentó a 35 dígitos (como resultado, π fue llamado el "número ludolfo" en Alemania hasta principios del siglo XX). ^[61] El científico holandés Willebrord Snellius alcanzó los 34 dígitos en 1621, ^[62] y el astrónomo austríaco Christoph Grienberger llegó a los 38 dígitos en 1630 utilizando 10 ⁴⁰ lados. ^[63] Christiaan Huygens pudo llegar a 10 decimales en 1654 utilizando un método ligeramente diferente equivalente a la extrapolación de Richardson . ^{[64] [65]}${\textstyle 3\times 2^{28}}$${\textstyle 3\times 2^{17}}$

El cálculo de π fue revolucionado por el desarrollo de técnicas de series infinitas en los siglos XVI y XVII. Una serie infinita es la suma de los términos de una secuencia infinita . Las series infinitas permitieron a los matemáticos calcular π con mucha mayor precisión que Arquímedes y otros que usaban técnicas geométricas. ^[66] Aunque las series infinitas fueron explotadas para π sobre todo por matemáticos europeos como James Gregory y Gottfried Wilhelm Leibniz , el enfoque también apareció en la escuela de Kerala en algún momento del siglo XIV o XV. ^{[67] [68]} Alrededor de 1500 d. C., Nilakantha Somayaji presentó en verso sánscrito una descripción escrita de una serie infinita que podía usarse para calcular π en Tantrasamgraha . ^[67] Las series se presentan sin prueba, pero las pruebas se presentan en una obra posterior, Yuktibhāṣā , de alrededor de 1530 d. C. Se describen varias series infinitas, incluidas las series del seno (que Nilakantha atribuye a Madhava de Sangamagrama ), del coseno y de la arcotangente, que ahora se denominan a veces series de Madhava . La serie de la arcotangente se denomina a veces serie de Gregory o serie de Gregory-Leibniz. ^[67] Madhava utilizó series infinitas para estimar π con 11 dígitos alrededor de 1400. ^[69]

En 1593, François Viète publicó lo que ahora se conoce como la fórmula de Viète , un producto infinito (en lugar de una suma infinita , que se utiliza más típicamente en los cálculos de π ): ^{[70] [71] [72]}$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$$

En 1655, John Wallis publicó lo que ahora se conoce como producto Wallis , también un producto infinito: ^[70]$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$$

En la década de 1660, el científico inglés Isaac Newton y el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz descubrieron el cálculo , que condujo al desarrollo de muchas series infinitas para aproximar π . El propio Newton utilizó una serie de arcoseno para calcular una aproximación de 15 dígitos de π en 1665 o 1666, escribiendo: "Me avergüenza decirles a cuántas cifras llevé estos cálculos, ya que no tenía otro negocio en ese momento". ^[73]

En 1671, James Gregory y, de forma independiente, Leibniz en 1673, descubrieron la expansión de la serie de Taylor para el arcotangente : ^{[67] [74] [75]}$${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$$

Esta serie, a veces llamada serie de Gregory-Leibniz , es igual a cuando se evalúa con . ^[75] Pero para , converge de manera imprácticamente lenta (es decir, se aproxima a la respuesta muy gradualmente), y se necesitan aproximadamente diez veces más términos para calcular cada dígito adicional. ^[76]${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle z=1}$${\displaystyle z=1}$

En 1699, el matemático inglés Abraham Sharp utilizó la serie de Gregory-Leibniz para calcular π hasta 71 dígitos, rompiendo el récord anterior de 39 dígitos, que se había establecido con un algoritmo poligonal. ^[77]${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$

En 1706, John Machin utilizó la serie de Gregory-Leibniz para producir un algoritmo que convergía mucho más rápido: ^{[3] [78] [79]}$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$$

Machin alcanzó los 100 dígitos de π con esta fórmula. ^[80] Otros matemáticos crearon variantes, ahora conocidas como fórmulas similares a Machin , que se usaron para establecer varios récords sucesivos para calcular dígitos de π . ^{[81] [80]}

Isaac Newton aceleró la convergencia de la serie de Gregory-Leibniz en 1684 (en un trabajo inédito; otros descubrieron el resultado de forma independiente): ^[82]

${\displaystyle \arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots }$

Leonhard Euler popularizó esta serie en su libro de texto de cálculo diferencial de 1755, y más tarde la utilizó con fórmulas similares a las de Machin, incluida la que utilizó para calcular 20 dígitos de π en una hora. ^[83]${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$

Las fórmulas de tipo Machin siguieron siendo el método más conocido para calcular π hasta bien entrada la era de las computadoras, y se utilizaron para establecer récords durante 250 años, culminando en una aproximación de 620 dígitos en 1946 por Daniel Ferguson: la mejor aproximación lograda sin la ayuda de un dispositivo de cálculo. ^[84]

En 1844, Zacharias Dase estableció un récord al emplear una fórmula similar a la de Machin para calcular 200 decimales de π en su cabeza a instancias del matemático alemán Carl Friedrich Gauss . ^[85]

En 1853, el matemático británico William Shanks calculó π con 607 dígitos, pero cometió un error en el dígito 528, lo que hizo que todos los dígitos siguientes fueran incorrectos. Aunque calculó 100 dígitos adicionales en 1873, lo que elevó el total a 707, su error anterior hizo que todos los dígitos nuevos también fueran incorrectos. ^[86]

Algunas series infinitas para π convergen más rápido que otras. Dada la elección entre dos series infinitas para π , los matemáticos generalmente usarán la que converge más rápidamente porque una convergencia más rápida reduce la cantidad de cálculo necesario para calcular π con cualquier precisión dada. ^[87] Una serie infinita simple para π es la serie de Gregory-Leibniz : ^[88]$${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$$

A medida que se añaden a la suma los términos individuales de esta serie infinita, el total se va acercando gradualmente a π y, con una cantidad suficiente de términos, puede acercarse a π tanto como se desee. Sin embargo, converge con bastante lentitud: después de 500.000 términos, produce solo cinco dígitos decimales correctos de π . ^[89]

Una serie infinita para π (publicada por Nilakantha en el siglo XV) que converge más rápidamente que la serie de Gregory-Leibniz es: ^{[90] [91]}$${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$$

La siguiente tabla compara las tasas de convergencia de estas dos series:

Serie infinita para π	Después del 1er término	Después del segundo semestre	Después del tercer trimestre	Después del 4º trimestre	Después del quinto trimestre	Converge a:
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots }$	4.0000	2.6666...	3.4666...	2.8952...	3.3396 ...	π = 3,1415 ...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots }$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

Después de cinco términos, la suma de la serie de Gregory-Leibniz está dentro de 0,2 del valor correcto de π , mientras que la suma de la serie de Nilakantha está dentro de 0,002 del valor correcto. La serie de Nilakantha converge más rápido y es más útil para calcular dígitos de π . Las series que convergen aún más rápido incluyen la serie de Machin y la serie de Chudnovsky , esta última produce 14 dígitos decimales correctos por término. ^[87]

No todos los avances matemáticos relacionados con π apuntaban a aumentar la precisión de las aproximaciones. Cuando Euler resolvió el problema de Basilea en 1735, hallando el valor exacto de la suma de los cuadrados recíprocos, estableció una conexión entre π y los números primos que más tarde contribuyó al desarrollo y estudio de la función zeta de Riemann : ^[92]

$${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$$

En 1768, el científico suizo Johann Heinrich Lambert demostró que π es irracional , lo que significa que no es igual al cociente de dos números enteros. ^[21] La prueba de Lambert explotó una representación de fracción continua de la función tangente. ^[93] El matemático francés Adrien-Marie Legendre demostró en 1794 que π ² también es irracional. En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental , ^[94] confirmando una conjetura hecha tanto por Legendre como por Euler. ^{[95] [96]} Hardy y Wright afirman que "las pruebas fueron posteriormente modificadas y simplificadas por Hilbert, Hurwitz y otros escritores". ^[97]

En los primeros usos, la letra griega π se utilizaba para denotar el semiperímetro ( semiperipheria en latín) de un círculo ^[8] y se combinaba en proporciones con δ (para diámetro o semidiámetro) o ρ (para radio ) para formar constantes circulares. ^{[98] [99] [100] [101]} (Antes de eso, los matemáticos a veces usaban letras como c o p en su lugar. ^[102] ) El primer uso registrado es " " de Oughtred , para expresar la relación entre la periferia y el diámetro en las ediciones de 1647 y posteriores de Clavis Mathematicae . ^{[103] [102]} Barrow también usó " " para representar la constante 3,14... , ^[104] mientras que Gregory usó " " en su lugar para representar 6,28...  . ^{[105] [100]}${\displaystyle \delta .\pi }$ ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$

El primer uso conocido de la letra griega π sola para representar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro fue realizado por el matemático galés William Jones en su obra de 1706 Synopsis Palmariorum Matheseos ; o, una nueva introducción a las matemáticas . ^{[3] [106]} La letra griega aparece en la p. 243 en la frase " Periferia ( π )", calculada para un círculo con radio uno. Sin embargo, Jones escribe que sus ecuaciones para π son de la "pluma lista del verdaderamente ingenioso Sr. John Machin ", lo que lleva a la especulación de que Machin puede haber empleado la letra griega antes que Jones. ^[102] La notación de Jones no fue adoptada inmediatamente por otros matemáticos, y la notación fraccionaria todavía se usaba hasta 1767. ^{[98] [107]}${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$

Euler comenzó a utilizar la forma de una sola letra a partir de su Ensayo explicando las propiedades del aire de 1727 , aunque utilizó π = 6,28... , la relación entre la periferia y el radio, en este y algunos escritos posteriores. ^{[108] [109]} Euler utilizó por primera vez π = 3,14... en su obra de 1736 Mechanica , ^[110] y continuó en su obra ampliamente leída de 1748 Introductio in analysin infinitorum (escribió: "en aras de la brevedad escribiremos este número como π ; por lo tanto, π es igual a la mitad de la circunferencia de un círculo de radio 1 "). ^[111] Debido a que Euler mantuvo una intensa correspondencia con otros matemáticos de Europa, el uso de la letra griega se extendió rápidamente y la práctica fue adoptada universalmente a partir de entonces en el mundo occidental , ^[102] aunque la definición todavía variaba entre 3,14... y 6,28... hasta 1761. ^[112]

El desarrollo de las computadoras a mediados del siglo XX revolucionó nuevamente la búsqueda de dígitos de π . Los matemáticos John Wrench y Levi Smith alcanzaron 1120 dígitos en 1949 usando una calculadora de escritorio. ^[113] Usando una serie infinita de tangente inversa (arctan), un equipo dirigido por George Reitwiesner y John von Neumann ese mismo año logró 2037 dígitos con un cálculo que tomó 70 horas de tiempo de computadora en la computadora ENIAC . ^{[114] [115]} El récord, siempre basado en una serie arctan, fue roto repetidamente (3089 dígitos en 1955, ^[116] 7480 dígitos en 1957; 10 000 dígitos en 1958; 100 000 dígitos en 1961) hasta que se alcanzó 1 millón de dígitos en 1973. ^[114]

Dos desarrollos adicionales alrededor de 1980 aceleraron una vez más la capacidad de calcular π . Primero, el descubrimiento de nuevos algoritmos iterativos para calcular π , que eran mucho más rápidos que las series infinitas; y segundo, la invención de algoritmos de multiplicación rápida que podían multiplicar números grandes muy rápidamente. ^[117] Tales algoritmos son particularmente importantes en los cálculos modernos de π porque la mayor parte del tiempo de la computadora se dedica a la multiplicación. ^[118] Incluyen el algoritmo Karatsuba , la multiplicación de Toom-Cook y los métodos basados ​​en la transformada de Fourier . ^[119]

Los algoritmos iterativos fueron publicados de forma independiente en 1975-1976 por el físico Eugene Salamin y el científico Richard Brent . ^[120] Estos evitan la dependencia de series infinitas. Un algoritmo iterativo repite un cálculo específico, cada iteración utiliza las salidas de los pasos anteriores como entradas, y produce un resultado en cada paso que converge al valor deseado. El enfoque fue inventado en realidad más de 160 años antes por Carl Friedrich Gauss , en lo que ahora se denomina el método de la media aritmética-geométrica (método AGM) o algoritmo de Gauss-Legendre . ^[120] Según lo modificado por Salamin y Brent, también se lo conoce como el algoritmo Brent-Salamin.

Los algoritmos iterativos se utilizaron ampliamente después de 1980 porque son más rápidos que los algoritmos de series infinitas: mientras que las series infinitas suelen aumentar el número de dígitos correctos de forma aditiva en términos sucesivos, los algoritmos iterativos generalmente multiplican el número de dígitos correctos en cada paso. Por ejemplo, el algoritmo Brent-Salamin duplica el número de dígitos en cada iteración. En 1984, los hermanos John y Peter Borwein produjeron un algoritmo iterativo que cuadruplica el número de dígitos en cada paso; y en 1987, uno que aumenta el número de dígitos cinco veces en cada paso. ^[121] Los métodos iterativos fueron utilizados por el matemático japonés Yasumasa Kanada para establecer varios récords de cálculo de π entre 1995 y 2002. ^[122] Esta rápida convergencia tiene un precio: los algoritmos iterativos requieren significativamente más memoria que las series infinitas. ^[122]

Para la mayoría de los cálculos numéricos que involucran π , un puñado de dígitos proporciona suficiente precisión. Según Jörg Arndt y Christoph Haenel, treinta y nueve dígitos son suficientes para realizar la mayoría de los cálculos cosmológicos , porque esa es la precisión necesaria para calcular la circunferencia del universo observable con una precisión de un átomo. Teniendo en cuenta los dígitos adicionales necesarios para compensar los errores de redondeo computacional , Arndt concluye que unos pocos cientos de dígitos serían suficientes para cualquier aplicación científica. A pesar de esto, la gente ha trabajado arduamente para calcular π a miles y millones de dígitos. ^[123] Este esfuerzo puede atribuirse en parte a la compulsión humana de romper récords, y tales logros con π a menudo aparecen en los titulares de todo el mundo. ^{[124] [125]} También tienen beneficios prácticos, como probar supercomputadoras , probar algoritmos de análisis numérico (incluidos algoritmos de multiplicación de alta precisión ); y dentro de las matemáticas puras en sí, proporcionar datos para evaluar la aleatoriedad de los dígitos de π . ^[126]

Las calculadoras π modernas no utilizan exclusivamente algoritmos iterativos. En los años 1980 y 1990 se descubrieron nuevas series infinitas que son tan rápidas como los algoritmos iterativos, pero son más simples y consumen menos memoria. ^[122] Los algoritmos iterativos rápidos se anticiparon en 1914, cuando el matemático indio Srinivasa Ramanujan publicó docenas de nuevas fórmulas innovadoras para π , notables por su elegancia, profundidad matemática y rápida convergencia. ^[127] Una de sus fórmulas, basada en ecuaciones modulares , es$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$$

Esta serie converge mucho más rápidamente que la mayoría de las series arctan, incluida la fórmula de Machin. ^[128] Bill Gosper fue el primero en utilizarla para los avances en el cálculo de π , estableciendo un récord de 17 millones de dígitos en 1985. ^[129] Las fórmulas de Ramanujan anticiparon los algoritmos modernos desarrollados por los hermanos Borwein ( Jonathan y Peter ) y los hermanos Chudnovsky . ^[130] La fórmula de Chudnovsky desarrollada en 1987 es$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.}$$

Produce alrededor de 14 dígitos de π por término ^[131] y se ha utilizado para varios cálculos de π que establecieron récords, incluido el primero en superar los mil millones (10 ⁹ ) dígitos en 1989 por los hermanos Chudnovsky, 10 billones (10 ¹³ ) dígitos en 2011 por Alexander Yee y Shigeru Kondo, ^[132] y 100 billones de dígitos por Emma Haruka Iwao en 2022. ^[133] Para fórmulas similares, consulte también la serie Ramanujan-Sato .

En 2006, el matemático Simon Plouffe utilizó el algoritmo de relación entera PSLQ ^[134] para generar varias fórmulas nuevas para π , conforme a la siguiente plantilla: donde q es e ^π (la constante de Gelfond), k es un número impar y a , b , c son ciertos números racionales que Plouffe calculó. ^[135]$${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$$

Los métodos de Monte Carlo , que evalúan los resultados de múltiples ensayos aleatorios, se pueden utilizar para crear aproximaciones de π . ^[136] La aguja de Buffon es una de esas técnicas: si una aguja de longitud ℓ se deja caer n veces sobre una superficie en la que se dibujan líneas paralelas separadas t unidades, y si x de esas veces se detiene cruzando una línea ( x  > 0), entonces se puede aproximar π basándose en los conteos: ^[137]$${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$$

Otro método de Monte Carlo para calcular π consiste en dibujar un círculo inscrito en un cuadrado y colocar puntos al azar en el cuadrado. La relación entre los puntos dentro del círculo y el número total de puntos será aproximadamente igual a π/4 . ^[138]

Otra forma de calcular π usando probabilidad es comenzar con un recorrido aleatorio , generado por una secuencia de lanzamientos de moneda (justos): variables aleatorias independientes X _k tales que X _k ∈ {−1,1} con probabilidades iguales. El recorrido aleatorio asociado es tal que, para cada n , W _n se extrae de una distribución binomial desplazada y escalada . A medida que n varía, W _n define un proceso estocástico (discreto) . Entonces π se puede calcular mediante ^[139]$${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$$$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$$

Este método de Monte Carlo es independiente de cualquier relación con los círculos y es una consecuencia del teorema del límite central , que se analiza a continuación.

Estos métodos de Monte Carlo para aproximar π son muy lentos en comparación con otros métodos y no brindan información sobre el número exacto de dígitos que se obtienen. Por lo tanto, nunca se utilizan para aproximar π cuando se desea velocidad o precisión. ^[140]

En 1995 se descubrieron dos algoritmos que abrieron nuevas vías de investigación sobre π . Se denominan algoritmos de espita porque, como el agua que gotea de una espita , producen dígitos individuales de π que no se reutilizan después de su cálculo. ^{[141] [142]} Esto contrasta con las series infinitas o los algoritmos iterativos, que retienen y utilizan todos los dígitos intermedios hasta que se produce el resultado final. ^[141]

Los matemáticos Stan Wagon y Stanley Rabinowitz produjeron un algoritmo spigot simple en 1995. ^{[142] [143] [144]} Su velocidad es comparable a los algoritmos arctan, pero no tan rápida como los algoritmos iterativos. ^[143]

Otro algoritmo de espiga, el algoritmo de extracción de dígitos BBP , fue descubierto en 1995 por Simon Plouffe: ^{[145] [146]}$${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$$

Esta fórmula, a diferencia de otras anteriores, puede producir cualquier dígito hexadecimal individual de π sin calcular todos los dígitos anteriores. ^[145] Se pueden extraer dígitos binarios individuales de dígitos hexadecimales individuales, y se pueden extraer dígitos octales de uno o dos dígitos hexadecimales. Una aplicación importante de los algoritmos de extracción de dígitos es validar nuevas reclamaciones de cálculos de registros π : después de que se reclama un nuevo registro, el resultado decimal se convierte a hexadecimal y luego se utiliza un algoritmo de extracción de dígitos para calcular varios dígitos hexadecimales seleccionados aleatoriamente cerca del final; si coinciden, esto proporciona una medida de confianza de que todo el cálculo es correcto. ^[132]

Entre 1998 y 2000, el proyecto de computación distribuida PiHex utilizó la fórmula de Bellard (una modificación del algoritmo BBP) para calcular el bit cuatrillón (10 ¹⁵ th) de π , que resultó ser 0. ^[147] En septiembre de 2010, un empleado de Yahoo! utilizó la aplicación Hadoop de la compañía en mil computadoras durante un período de 23 días para calcular 256 bits de π en el bit dos cuatrillón (2×10 ¹⁵ th), que también resulta ser cero. ^[148]

En 2022, Plouffe encontró un algoritmo de base 10 para calcular dígitos de π . ^[149]

Debido a que π está estrechamente relacionado con el círculo, se lo encuentra en muchas fórmulas de los campos de la geometría y la trigonometría, particularmente aquellas que se refieren a círculos, esferas o elipses. Otras ramas de la ciencia, como la estadística, la física, el análisis de Fourier y la teoría de números, también incluyen π en algunas de sus fórmulas importantes.

π aparece en fórmulas para áreas y volúmenes de formas geométricas basadas en círculos, como elipses , esferas , conos y toros . A continuación se presentan algunas de las fórmulas más comunes que involucran π . ^[150]

• La circunferencia de un círculo con radio r es 2π r .
• El área de un círculo con radio r es π r ² .
• El área de una elipse con semieje mayor a y semieje menor b es π ab .
• El volumen de una esfera con radio r es4/3⁠ π r ³ .
• El área superficial de una esfera con radio r es 4π r ² .

Algunas de las fórmulas anteriores son casos especiales del volumen de la bola n -dimensional y el área de superficie de su límite, la esfera ( n −1)-dimensional , que se muestra a continuación.

Además de los círculos, existen otras curvas de ancho constante . Por el teorema de Barbier , toda curva de ancho constante tiene un perímetro igual a π por su ancho. El triángulo de Reuleaux (formado por la intersección de tres círculos cuyos lados son los radios de un triángulo equilátero ) tiene el área más pequeña posible para su ancho y el círculo la más grande. También existen curvas no circulares suaves e incluso algebraicas de ancho constante. ^[151]

Las integrales definidas que describen la circunferencia, el área o el volumen de formas generadas por círculos suelen tener valores que involucran π . Por ejemplo, una integral que especifica la mitad del área de un círculo de radio uno se da por: ^[152]$${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$$

En esa integral, la función representa la altura sobre el eje de un semicírculo (la raíz cuadrada es una consecuencia del teorema de Pitágoras ), y la integral calcula el área debajo del semicírculo.${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$${\displaystyle x}$

La existencia de tales integrales hace de π un período algebraico . ^[153]

Las funciones trigonométricas se basan en ángulos y los matemáticos generalmente utilizan radianes como unidades de medida. π juega un papel importante en los ángulos medidos en radianes, que se definen de modo que un círculo completo abarca un ángulo de 2 π  radianes. La medida del ángulo de 180° es igual a π radianes y 1° = π /180 radianes . ^[154]

Las funciones trigonométricas comunes tienen períodos que son múltiplos de π ; por ejemplo, el seno y el coseno tienen período 2 π , ^[155] por lo que para cualquier ángulo θ y cualquier entero k , ^[155]$${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$$

Muchas de las apariciones de π en las fórmulas de las matemáticas y las ciencias tienen que ver con su estrecha relación con la geometría. Sin embargo, π también aparece en muchas situaciones naturales que aparentemente no tienen nada que ver con la geometría.

En muchas aplicaciones, desempeña un papel destacado como valor propio . Por ejemplo, una cuerda vibrante idealizada se puede modelar como el gráfico de una función f en el intervalo unitario [0, 1] , con extremos fijos f (0) = f (1) = 0. Los modos de vibración de la cuerda son soluciones de la ecuación diferencial , o . Por lo tanto, λ es un valor propio del operador de segunda derivada , y está restringido por la teoría de Sturm-Liouville para tomar solo ciertos valores específicos. Debe ser positivo, ya que el operador es definido negativo , por lo que es conveniente escribir λ = ν ² , donde ν > 0 se llama número de onda . Entonces f ( x ) = sin( π x ) satisface las condiciones de contorno y la ecuación diferencial con ν = π . ^[156]${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$ ${\displaystyle f\mapsto f''}$

El valor π es, de hecho, el menor de tales valores del número de onda, y está asociado con el modo fundamental de vibración de la cuerda. Una forma de mostrar esto es estimando la energía , que satisface la desigualdad de Wirtinger : ^[157] para una función con f (0) = f (1) = 0 y f , f ′ ambas integrables al cuadrado , tenemos: con igualdad precisamente cuando f es un múltiplo de sin(π x ) . Aquí π aparece como una constante óptima en la desigualdad de Wirtinger, y se deduce que es el número de onda más pequeño, usando la caracterización variacional del valor propio. Como consecuencia, π es el valor singular más pequeño del operador derivada en el espacio de funciones en [0, 1] que se desvanecen en ambos puntos finales (el espacio de Sobolev ).${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$$ ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$

El número π aparece en problemas de valores propios similares en el análisis de dimensiones superiores. Como se mencionó anteriormente, se puede caracterizar a través de su papel como la mejor constante en la desigualdad isoperimétrica : el área A encerrada por una curva de Jordan plana de perímetro P satisface la desigualdad y la igualdad se logra claramente para el círculo, ya que en ese caso A = π r ² y P = 2π r . ^[159]$${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$$

En última instancia, como consecuencia de la desigualdad isoperimétrica, π aparece en la constante óptima para la desigualdad crítica de Sobolev en n dimensiones, lo que caracteriza así también el papel de π en muchos fenómenos físicos, por ejemplo los de la teoría del potencial clásica . ^{[160] [161] [162]} En dos dimensiones, la desigualdad crítica de Sobolev es para f una función suave con soporte compacto en R ² , es el gradiente de f , y y se refieren respectivamente a la L ² y L ¹ -norma . La desigualdad de Sobolev es equivalente a la desigualdad isoperimétrica (en cualquier dimensión), con las mismas constantes óptimas.$${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$$${\displaystyle \nabla f}$${\displaystyle \|f\|_{2}}$${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$

La desigualdad de Wirtinger también se generaliza a desigualdades de Poincaré de dimensiones superiores que proporcionan las mejores constantes para la energía de Dirichlet de una membrana de n dimensiones. Específicamente, π es la constante más grande tal que para todos los subconjuntos convexos G de R ⁿ de diámetro 1, y funciones integrables al cuadrado u en G de media cero. ^[163] Así como la desigualdad de Wirtinger es la forma variacional del problema de valores propios de Dirichlet en una dimensión, la desigualdad de Poincaré es la forma variacional del problema de valores propios de Neumann , en cualquier dimensión.$${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$$

La constante π también aparece como un parámetro espectral crítico en la transformada de Fourier . Se trata de la transformada integral , que convierte una función integrable de valor complejo f en la recta real en la función definida como:$${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$$

Aunque existen varias convenciones diferentes para la transformada de Fourier y su inversa, cualquier convención de este tipo debe involucrar a π en algún lugar . Sin embargo, la anterior es la definición más canónica, ya que proporciona el único operador unitario en L ² que también es un homomorfismo algebraico de L ¹ a L ^∞ . ^[164]

El principio de incertidumbre de Heisenberg también contiene el número π . El principio de incertidumbre proporciona un límite inferior preciso sobre el grado en que es posible localizar una función tanto en el espacio como en la frecuencia: con nuestras convenciones para la transformada de Fourier,$${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$$

La consecuencia física de la incertidumbre en las observaciones simultáneas de posición y momento de un sistema mecánico cuántico se analiza a continuación. La aparición de π en las fórmulas del análisis de Fourier es, en última instancia, una consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , que afirma la unicidad de la representación de Schrödinger del grupo de Heisenberg . ^[165]

Los campos de probabilidad y estadística utilizan frecuentemente la distribución normal como un modelo simple para fenómenos complejos; por ejemplo, los científicos generalmente suponen que el error de observación en la mayoría de los experimentos sigue una distribución normal. ^[166] La función gaussiana , que es la función de densidad de probabilidad de la distribución normal con media μ y desviación estándar σ , contiene naturalmente π : ^[167]$${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$$

El factor de hace que el área bajo la gráfica de f sea igual a uno, como se requiere para una distribución de probabilidad. Esto se desprende de un cambio de variables en la integral gaussiana : ^{[167] que dice que el área bajo la} curva de campana básica en la figura es igual a la raíz cuadrada de π .${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$$

El teorema del límite central explica el papel central de las distribuciones normales, y por lo tanto de π , en probabilidad y estadística. Este teorema está conectado en última instancia con la caracterización espectral de π como el valor propio asociado con el principio de incertidumbre de Heisenberg, y el hecho de que la igualdad se cumple en el principio de incertidumbre solo para la función gaussiana. ^[168] De manera equivalente, π es la única constante que hace que la distribución normal gaussiana e ^{−π x 2} sea igual a su propia transformada de Fourier. ^[169] De hecho, según Howe (1980), "todo el asunto" de establecer los teoremas fundamentales del análisis de Fourier se reduce a la integral gaussiana. ^[165]

La constante π aparece en la fórmula de Gauss-Bonnet que relaciona la geometría diferencial de las superficies con su topología . En concreto, si una superficie compacta Σ tiene una curvatura de Gauss K , entonces donde χ (Σ) es la característica de Euler , que es un número entero. ^[170] Un ejemplo es el área superficial de una esfera S de curvatura 1 (de modo que su radio de curvatura , que coincide con su radio, también es 1). La característica de Euler de una esfera se puede calcular a partir de sus grupos de homología y se encuentra que es igual a dos. Por tanto, hemos reproducido la fórmula para el área superficial de una esfera de radio 1.$${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$$$${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$$

La constante aparece en muchas otras fórmulas integrales en topología, en particular, aquellas que involucran clases características a través del homomorfismo de Chern-Weil . ^[171]

Una de las herramientas clave en el análisis complejo es la integración de contorno de una función sobre una curva de Jordan γ orientada positivamente ( rectificable ) . Una forma de la fórmula integral de Cauchy establece que si un punto z ₀ es interior a γ , entonces ^[172] $${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$$

Aunque la curva γ no es un círculo, y por lo tanto no tiene ninguna conexión obvia con la constante π , una prueba estándar de este resultado utiliza el teorema de Morera , que implica que la integral es invariante bajo la homotopía de la curva, de modo que puede deformarse en un círculo y luego integrarse explícitamente en coordenadas polares. De manera más general, es cierto que si una curva cerrada rectificable γ no contiene z ₀ , entonces la integral anterior es 2π i multiplicada por el número de vueltas de la curva.

La forma general de la fórmula integral de Cauchy establece la relación entre los valores de una función analítica compleja f ( z ) en la curva de Jordan γ y el valor de f ( z ) en cualquier punto interior z ₀ de γ : ^[173] siempre que f ( z ) sea analítica en la región encerrada por γ y se extienda continuamente a γ . La fórmula integral de Cauchy es un caso especial del teorema del residuo , que si g ( z ) es una función meromórfica en la región encerrada por γ y es continua en un entorno de γ , entonces donde la suma es de los residuos en los polos de g ( z ) .$${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$$$${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$$

La constante π es omnipresente en el cálculo vectorial y la teoría del potencial , por ejemplo en la ley de Coulomb , ^[174] la ley de Gauss , las ecuaciones de Maxwell e incluso las ecuaciones de campo de Einstein . ^{[175] [176] Quizás el ejemplo más simple de esto es el} potencial newtoniano bidimensional , que representa el potencial de una fuente puntual en el origen, cuyo campo asociado tiene un flujo unitario hacia afuera a través de cualquier superficie cerrada lisa y orientada que encierra la fuente: El factor de es necesario para asegurar que es la solución fundamental de la ecuación de Poisson en : ^[177] donde es la función delta de Dirac .$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.}$$${\displaystyle 1/2\pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle \Delta \Phi =\delta }$$${\displaystyle \delta }$

En dimensiones superiores, los factores de π están presentes debido a una normalización por el volumen n-dimensional de la esfera unitaria n . Por ejemplo, en tres dimensiones, el potencial newtoniano es: ^[177] que tiene el volumen bidimensional (es decir, el área) de la esfera unitaria 2 en el denominador.$${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},}$$

En el estudio matemático de la geometría diferencial de las curvas , la curvatura total de una curva plana sumergida es la integral de la curvatura a lo largo de una curva tomada con respecto a la longitud del arco :

${\displaystyle \int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.}$

La curvatura total de una curva cerrada es siempre un múltiplo entero de 2 π , donde N se denomina índice de la curva o número de giro ; es el número de giro del vector tangente unitario respecto al origen o, equivalentemente, el grado del mapa respecto al círculo unitario que asigna a cada punto de la curva el vector de velocidad unitario en ese punto. Este mapa es similar al mapa de Gauss para superficies.

La función factorial es el producto de todos los números enteros positivos hasta n . La función gamma extiende el concepto de factorial (normalmente definido sólo para números enteros no negativos) a todos los números complejos, excepto los números enteros reales negativos, con la identidad . Cuando la función gamma se evalúa en semienteros, el resultado contiene π . Por ejemplo, y . ^[178]${\displaystyle n!}$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$

La función gamma se define por su desarrollo del producto de Weierstrass : ^[179] donde γ es la constante de Euler–Mascheroni . Evaluada en z = 1/2 y elevada al cuadrado, la ecuación Γ(1/2) ² = π se reduce a la fórmula del producto de Wallis. La función gamma también está conectada con la función zeta de Riemann y las identidades para el determinante funcional , en el que la constante π juega un papel importante.$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$$

La función gamma se utiliza para calcular el volumen V _n ( r ) de la bola n -dimensional de radio r en el espacio euclidiano n -dimensional, y el área superficial S _{n −1} ( r ) de su límite, la esfera ( n −1)-dimensional : ^[180]$${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$$$${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$$

Además, de la ecuación funcional se deduce que$${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$$

La función gamma se puede utilizar para crear una aproximación simple a la función factorial n ! para n grande : que se conoce como aproximación de Stirling . ^[181] De manera equivalente,${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$$${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$$

Como aplicación geométrica de la aproximación de Stirling, sea Δ _n el símplex estándar en el espacio euclidiano de n dimensiones, y ( n  + 1)Δ _n el símplex que tiene todos sus lados ampliados por un factor de n  + 1 . Entonces$${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$$

La conjetura del volumen de Ehrhart es que este es el límite superior (óptimo) del volumen de un cuerpo convexo que contiene solo un punto reticular . ^[182]

La función zeta de Riemann ζ ( s ) se utiliza en muchas áreas de las matemáticas. Cuando se evalúa en s = 2 se puede escribir como$${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$$

Encontrar una solución simple para esta serie infinita fue un famoso problema en matemáticas llamado el problema de Basilea . Leonhard Euler lo resolvió en 1735 cuando demostró que era igual a π ² /6 . ^[92] El resultado de Euler conduce al resultado de la teoría de números de que la probabilidad de que dos números aleatorios sean primos entre sí (es decir, que no tengan factores compartidos) es igual a 6/π ² . ^{[183] ​​[184]} Esta probabilidad se basa en la observación de que la probabilidad de que cualquier número sea divisible por un primo p es 1/ p (por ejemplo, cada séptimo entero es divisible por 7). Por lo tanto, la probabilidad de que dos números sean divisibles por este primo es 1/ p ² , y la probabilidad de que al menos uno de ellos no lo sea es 1 − 1/ p ² . Para primos distintos, estos eventos de divisibilidad son mutuamente independientes; por lo tanto, la probabilidad de que dos números sean primos entre sí está dada por un producto sobre todos los primos: ^[185]$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$$

Esta probabilidad se puede utilizar junto con un generador de números aleatorios para aproximar π utilizando un enfoque de Monte Carlo. ^[186]

La solución del problema de Basilea implica que la cantidad derivada geométricamente π está conectada de manera profunda con la distribución de números primos. Este es un caso especial de la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa , que afirma la igualdad de productos infinitos similares de cantidades aritméticas , localizadas en cada primo p , y una cantidad geométrica : el recíproco del volumen de un cierto espacio localmente simétrico . En el caso del problema de Basilea, es la 3-variedad hiperbólica SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z ) . ^[187]

La función zeta también satisface la ecuación funcional de Riemann, que involucra π así como la función gamma:$${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$$

Además, la derivada de la función zeta satisface$${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$$

Una consecuencia es que π se puede obtener a partir del determinante funcional del oscilador armónico . Este determinante funcional se puede calcular mediante una expansión del producto y es equivalente a la fórmula del producto de Wallis. ^[188] El cálculo se puede reformular en mecánica cuántica , específicamente el enfoque variacional del espectro del átomo de hidrógeno . ^[189]

La constante π también aparece de forma natural en las series de Fourier de funciones periódicas . Las funciones periódicas son funciones del grupo T = R / Z de partes fraccionarias de números reales. La descomposición de Fourier muestra que una función de valor complejo f en T puede escribirse como una superposición lineal infinita de caracteres unitarios de T. Es decir, homomorfismos de grupo continuos desde T hasta el grupo circular U (1) de números complejos de módulo unitario. Es un teorema que cada carácter de T es uno de los exponenciales complejos .${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$

Existe un carácter único en T , hasta la conjugación compleja, que es un isomorfismo de grupo. Utilizando la medida de Haar en el grupo del círculo, la constante π es la mitad de la magnitud de la derivada de Radon–Nikodym de este carácter. Los otros caracteres tienen derivadas cuyas magnitudes son múltiplos enteros positivos de 2 π . ^[20] Como resultado, la constante π es el único número tal que el grupo T , equipado con su medida de Haar, es dual de Pontrjagin para la red de múltiplos enteros de 2 π . ^{[191] Esta es una versión de la} fórmula de suma de Poisson unidimensional .

La constante π está conectada de manera profunda con la teoría de formas modulares y funciones theta . Por ejemplo, el algoritmo de Chudnovsky involucra de manera esencial el j-invariante de una curva elíptica .

Las formas modulares son funciones holomorfas en el semiplano superior que se caracterizan por sus propiedades de transformación bajo el grupo modular (o sus diversos subgrupos), una red en el grupo . Un ejemplo es la función theta de Jacobi , que es un tipo de forma modular llamada forma de Jacobi . ^[192] Esto a veces se escribe en términos del nomo .${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$$${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$$ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

La constante π es la única constante que hace que la función theta de Jacobi sea una forma automórfica , lo que significa que se transforma de una manera específica. Ciertas identidades se cumplen para todas las formas automórficas. Un ejemplo es que implica que θ se transforma como una representación bajo el grupo discreto de Heisenberg . Las formas modulares generales y otras funciones theta también involucran a π , una vez más debido al teorema de Stone–von Neumann . ^[192]$${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$$

La distribución de Cauchy es una función de densidad de probabilidad . La probabilidad total es igual a uno, debido a la integral:$${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$$$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$$

La entropía de Shannon de la distribución de Cauchy es igual a ln(4π) , que también involucra a π .

La distribución de Cauchy juega un papel importante en la teoría del potencial porque es la medida de Furstenberg más simple , el núcleo de Poisson clásico asociado con un movimiento browniano en un semiplano. ^[193] Las funciones armónicas conjugadas y, por lo tanto, también la transformada de Hilbert están asociadas con las asintóticas del núcleo de Poisson. La transformada de Hilbert H es la transformada integral dada por el valor principal de Cauchy de la integral singular$${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$$

La constante π es el único factor normalizador (positivo) tal que H define una estructura compleja lineal en el espacio de Hilbert de funciones de valores reales integrables al cuadrado en la línea real. ^[194] La transformada de Hilbert, como la transformada de Fourier, se puede caracterizar puramente en términos de sus propiedades de transformación en el espacio de Hilbert L ² ( R ) : hasta un factor de normalización, es el único operador lineal acotado que conmuta con dilataciones positivas y anticonmuta con todas las reflexiones de la línea real. ^[195] La constante π es el único factor normalizador que hace que esta transformación sea unitaria.

En 1991, David Boll descubrió una presencia de π en el fractal llamado conjunto de Mandelbrot . ^[196] Examinó el comportamiento del conjunto de Mandelbrot cerca del "cuello" en (−0,75, 0) . Cuando el número de iteraciones hasta la divergencia para el punto (−0,75, ε ) se multiplica por ε , el resultado se acerca a π cuando ε se acerca a cero. El punto (0,25 + ε , 0) en la cúspide del gran "valle" en el lado derecho del conjunto de Mandelbrot se comporta de manera similar: el número de iteraciones hasta la divergencia multiplicado por la raíz cuadrada de ε tiende a π . ^{[196] [197]}

Sea V el conjunto de todas las funciones reales dos veces diferenciables que satisfacen la ecuación diferencial ordinaria . Entonces V es un espacio vectorial real bidimensional , con dos parámetros correspondientes a un par de condiciones iniciales para la ecuación diferencial. Para cualquier , sea la función de evaluación, que asocia a cada una el valor de la función f en el punto real t . Entonces, para cada t , el núcleo de es un subespacio lineal unidimensional de V . Por lo tanto define una función desde la línea real hasta la línea proyectiva real . Esta función es periódica, y la cantidad π puede caracterizarse como el período de esta función. ^[198] Esto es notable porque la constante π , en lugar de 2 π , aparece naturalmente en este contexto.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\in V}$${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$

Aunque no es una constante física , π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen principios fundamentales del universo, a menudo debido a la relación de π con el círculo y con los sistemas de coordenadas esféricas . Una fórmula simple del campo de la mecánica clásica da el período aproximado T de un péndulo simple de longitud L , que oscila con una pequeña amplitud ( g es la aceleración gravitacional de la Tierra ): ^[199]$${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$$

Una de las fórmulas clave de la mecánica cuántica es el principio de incertidumbre de Heisenberg , que muestra que la incertidumbre en la medición de la posición (Δ x ) y el momento (Δ p ) de una partícula no pueden ser arbitrariamente pequeños al mismo tiempo (donde h es la constante de Planck ): ^[200]$${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$$

El hecho de que π sea aproximadamente igual a 3 influye en la relativamente larga vida útil del ortopositronio . La vida útil inversa al orden más bajo en la constante de estructura fina α es ^[201] donde m _e es la masa del electrón.$${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},}$$

π está presente en algunas fórmulas de ingeniería estructural, como la fórmula de pandeo derivada por Euler, que proporciona la carga axial máxima F que una columna larga y delgada de longitud L , módulo de elasticidad E y momento de inercia de área I puede soportar sin pandearse: ^[202]$${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$$

El campo de la dinámica de fluidos contiene π en la ley de Stokes , que aproxima la fuerza de fricción F ejercida sobre objetos pequeños y esféricos de radio R , que se mueven con velocidad v en un fluido con viscosidad dinámica η : ^[203]$${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$$

En electromagnetismo, la constante de permeabilidad al vacío μ ₀ aparece en las ecuaciones de Maxwell , que describen las propiedades de los campos eléctricos y magnéticos y de la radiación electromagnética . Antes del 20 de mayo de 2019, se definía exactamente como$${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$$

La pifilología es la práctica de memorizar grandes cantidades de dígitos de π , ^[204] y los récords mundiales los mantiene el Libro Guinness de los Récords . El récord de memorización de dígitos de π , certificado por el Libro Guinness de los Récords, es de 70.000 dígitos, recitado en la India por Rajveer Meena en 9 horas y 27 minutos el 21 de marzo de 2015. ^[205] En 2006, Akira Haraguchi , un ingeniero japonés jubilado, afirmó haber recitado 100.000 decimales, pero el Libro Guinness de los Récords no verificó esta afirmación. ^[206]

Una técnica común es memorizar una historia o un poema en el que las longitudes de las palabras representan los dígitos de π : la primera palabra tiene tres letras, la segunda palabra tiene una, la tercera tiene cuatro, la cuarta tiene una, la quinta tiene cinco, y así sucesivamente. Estas ayudas para la memorización se denominan mnemotecnia . Un ejemplo temprano de una mnemotecnia para pi, ideada originalmente por el científico inglés James Jeans , es "Cómo quiero una bebida, alcohólica por supuesto, después de las pesadas conferencias que involucran mecánica cuántica". ^[204] Cuando se usa un poema, a veces se lo denomina piem . ^[207] Se han compuesto poemas para memorizar π en varios idiomas además del inglés. ^{[204] Los memorizadores} de π que baten récords generalmente no se basan en poemas, sino que usan métodos como recordar patrones numéricos y el método de loci . ^[208]

Algunos autores han utilizado los dígitos de π para establecer una nueva forma de escritura restringida , donde se requiere que las longitudes de las palabras representen los dígitos de π . La Cadenza Cadaéica contiene los primeros 3835 dígitos de π de esta manera, ^[209] y el libro completo Not a Wake contiene 10.000 palabras, cada una representando un dígito de π . ^[210]

Quizás debido a la simplicidad de su definición y su presencia omnipresente en las fórmulas, π ha sido representado en la cultura popular más que otras construcciones matemáticas. ^[211]

En el Palacio de la Découverte (un museo de ciencias en París) hay una sala circular conocida como la sala Pi . En su pared están inscritos 707 dígitos de π . Los dígitos son grandes caracteres de madera adheridos al techo en forma de cúpula. Los dígitos se basaron en un cálculo de 1873 realizado por el matemático inglés William Shanks , que incluía un error que comenzaba en el dígito 528. El error se detectó en 1946 y se corrigió en 1949. ^[212]

En la novela de Carl Sagan de 1985, Contacto , se sugiere que el creador del universo enterró un mensaje en lo profundo de los dígitos de π . Esta parte de la historia fue omitida en la adaptación cinematográfica de la novela. ^{[213] [214]} Los dígitos de π también se han incorporado a la letra de la canción "Pi" del álbum Aerial de 2005 de Kate Bush . ^[215] En el episodio de Star Trek de 1967 " Wolf in the Fold ", una computadora fuera de control es contenida al recibir instrucciones de "Calcular hasta el último dígito el valor de π ". ^[47]

En los Estados Unidos, el Día de Pi cae el 14 de marzo (escrito 3/14 en el estilo estadounidense), y es popular entre los estudiantes. ^[47] π y su representación digital son utilizados a menudo por los autodenominados " geeks de las matemáticas " para bromas internas entre grupos de mentalidad matemática y tecnológica. Una ovación universitaria atribuida de diversas formas al Instituto Tecnológico de Massachusetts o al Instituto Politécnico Rensselaer incluye "3.14159". ^{[216] [217]} El Día de Pi en 2015 fue particularmente significativo porque la fecha y la hora 3/14/15 9:26:53 reflejaban muchos más dígitos de Pi. ^{[218] [219]} En partes del mundo donde las fechas se indican comúnmente en formato día/mes/año, el 22 de julio representa el "Día de aproximación de Pi", ya que 22/7 = 3.142857. ^[220]

Algunos han propuesto reemplazar π por τ = 2 π , ^[221] argumentando que τ , como el número de radianes en una vuelta o la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio, es más natural que π y simplifica muchas fórmulas. ^{[222] [223]} Este uso de τ no ha llegado a las matemáticas convencionales, ^[224] pero desde 2010 ha llevado a la gente a celebrar el Día de Dos Pi o el Día de Tau el 28 de junio. ^[225]

En 1897, un matemático aficionado intentó persuadir a la legislatura de Indiana para que aprobara el proyecto de ley Pi de Indiana , que describía un método para cuadrar el círculo y contenía texto que implicaba varios valores incorrectos para π , incluido 3,2. El proyecto de ley es conocido por ser un intento de establecer un valor de constante matemática por decreto legislativo. El proyecto de ley fue aprobado por la Cámara de Representantes de Indiana, pero rechazado por el Senado, por lo que no se convirtió en ley. ^[226]

En la cultura contemporánea de Internet , las personas y las organizaciones rinden homenaje con frecuencia al número π . Por ejemplo, el científico informático Donald Knuth dejó que los números de versión de su programa TeX se acercaran a π . Las versiones son 3, 3.1, 3.14, etc. ^[227]

Muchos lenguajes de programación incluyen π para su uso en programas. De manera similar, τ se ha agregado a varios lenguajes de programación como una constante predefinida. ^{[228] [229]}

• Aproximaciones de π
• Cronología del cálculo de π
• Lista de constantes matemáticas