Vesica piscis

La vesica piscis es un tipo de lente , una forma matemática formada por la intersección de dos discos con el mismo radio, que se intersecan de tal manera que el centro de cada disco se encuentra en el perímetro del otro. ^[1] En latín, " vesica piscis " significa literalmente "vejiga de un pez", lo que refleja el parecido de la forma con las vejigas de aire duales unidas ( vejiga natatoria ) que se encuentran en la mayoría de los peces. ^[2] En italiano, el nombre de la forma es mandorla (" almendra "). ^[3] Una forma similar en tres dimensiones es el limón .

Esta figura aparece en la primera proposición de los Elementos de Euclides , donde constituye el primer paso para construir un triángulo equilátero utilizando un compás y una regla . El triángulo tiene como vértices los dos centros del disco y uno de los dos ángulos agudos de la vesica piscis. ^[4]

Matemáticamente, la vesica piscis es un caso especial de lente , la forma formada por la intersección de dos discos.

La razón matemática entre la altura de la vesica piscis y el ancho de su centro es la raíz cuadrada de 3 , o 1,7320508... (ya que si se dibujan líneas rectas que conecten los centros de los dos círculos entre sí y con los dos puntos donde los círculos se cortan, dos triángulos equiláteros se unen a lo largo de un borde). Las razones 265:153 = 1,7320261... y 1351:780 = 1,7320513... son dos de una serie de aproximaciones a este valor, cada una con la propiedad de que no se puede obtener una mejor aproximación con números enteros más pequeños. Arquímedes de Siracusa , en su Medición de un círculo , utiliza estas razones como límites superior e inferior: ^[5]

${\displaystyle {\frac {1351}{780}}>{\sqrt {3}}>{\frac {265}{153}}\,.}$

El área de la vesica piscis está formada por dos triángulos equiláteros y cuatro segmentos circulares iguales . En el dibujo, un triángulo y un segmento aparecen en azul.

Un triángulo y un segmento forman un sector de un sexto del círculo (60°). El área del sector es entonces: .${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}}$

Como el lado del triángulo equilátero tiene longitud r , su área es .${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

El área del segmento es la diferencia entre esas dos áreas:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi r^{2}-{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}}$

Sumando las áreas de dos triángulos y cuatro segmentos, obtenemos el área de la vesica piscis:

${\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(4\pi -3{\sqrt {3}}\right)r^{2}\approx 1.2284r^{2}}$

Los dos círculos de la vesica piscis, o tres círculos que forman en pares tres vesicae, se utilizan comúnmente en los diagramas de Venn . Los arcos de los mismos tres círculos también se pueden utilizar para formar el símbolo de la triqueta y el triángulo de Reuleaux . ^[3]

En el arte cristiano , algunas aureolas tienen la forma de una vesica piscis orientada verticalmente, y los sellos de las organizaciones eclesiásticas pueden estar encerrados dentro de una vesica piscis orientada verticalmente (en lugar del recinto circular más habitual). Además, el símbolo ichthys incorpora la forma de vesica piscis. La heráldica eclesiástica de la Iglesia católica apareció primero en sellos, casi todos con forma de vesica. ^{[6] [7]} La ​​vesica piscis se ha utilizado dentro de la masonería , sobre todo en las formas de los collares que llevan los oficiantes de los rituales masónicos. ^[8] También se consideró la forma adecuada para el recinto de los sellos de las logias masónicas. ^{[9] [10]}

La vesica piscis también se utiliza como un sistema de proporción en la arquitectura, en particular en la arquitectura gótica . El sistema fue ilustrado en la versión de 1521 de Cesare Cesariano del De architectura de Vitruvio , que él llamó "la regla de los arquitectos alemanes". La vesica piscis fue un leitmotiv del arquitecto Carlo Scarpa y se utiliza como un "dispositivo de visualización" en Tomba Brion ( Cementerio de Brion ) en San Vito d'Altivole , Italia. ^[11]

Varias otras obras de arte o diseños también han presentado esta forma:

• La cubierta del Pozo del Cáliz en Glastonbury (Reino Unido) muestra una versión estilizada del diseño de la vesica piscis.
• Varias esculturas matemáticas de Susan Latham utilizan una forma tridimensional obtenida a partir de la representación plana de dos círculos que forman la vesica piscis, deformada en una superficie curva con pliegues a lo largo de los arcos internos de la vesica y con los dos arcos externos uniéndose en una sola curva. Su forma puede analizarse utilizando las matemáticas de superficies desarrollables . ^[12]

Se han asociado varios significados simbólicos a la vesica piscis:

• Cuando se dispone de forma que la lente quede horizontal, con sus dos círculos superpuestos colocados uno encima del otro, simboliza la interfaz entre los mundos espiritual y físico, representados por los dos círculos. ^{[13] [14]} En esta disposición, también se asemeja al símbolo ichthys (pez) de Cristo , ^[14] y también se ha dicho que es un símbolo de la vida, de "la materialización del espíritu", de la mediación de Cristo entre el cielo y la tierra, y de la eucaristía . ^[15]
• Cuando se dispone de manera que la lente quede verticalmente y se utiliza para representar un halo o aureola, representa la gloria divina . ^[16]
• Cuando se coloca de forma que la lente quede verticalmente, también se ha dicho que es una representación de la vulva y, por lo tanto, un símbolo de feminidad y fertilidad. ^{[3] [17]}
• Se ha dicho que un diagrama del uso que hace Euclides de este diagrama para construir un triángulo equilátero, que aparece con la ubicación vertical de la lente en Finnegans Wake de James Joyce , es "emblemático del hombre racional", pero superpuesto a un triángulo vaginal que nuevamente simboliza la feminidad. ^[18]

• 
  Cristo en majestad dentro de una aureola en forma de mandorla en un manuscrito iluminado medieval
• 
  Escudo de armas de Guam
• 
  Los dos centros isogónicos de un triángulo son las intersecciones de tres vesicae piscis cuyos vértices pareados son los vértices del triángulo.

• Flor de la Vida , una figura basada en este principio
• Círculos de Villarceau , un par de círculos congruentes derivados de un toro que, sin embargo, no suelen estar centrados en el perímetro del otro.
• Limón (geometría) , una forma tridimensional similar

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Vesica piscis .

• Weisstein, Eric W. , "Vesica Piscis", MathWorld