Área vectorial

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En geometría tridimensional y cálculo vectorial , un vector de área es un vector que combina una cantidad de área con una dirección , representando así un área orientada en tres dimensiones.

Cada superficie acotada en tres dimensiones puede asociarse con un vector de área único llamado su área vectorial . Es igual a la integral de superficie de la normal de superficie y distinta del área de superficie habitual ( escalar ) .

El área vectorial puede verse como la generalización tridimensional del área con signo en dos dimensiones.

Para una superficie plana finita de área escalar S y normal unitaria n̂ , el área vectorial S se define como la normal unitaria escalada por el área:$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} S}$$

Para una superficie orientable S compuesta por un conjunto S _i de áreas de facetas planas , el área vectorial de la superficie está dada por donde n̂ _i es el vector normal unitario al área S _i .$${\displaystyle \mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}S_{i}}$$

Para superficies curvas acotadas y orientadas que se comporten lo suficientemente bien , todavía podemos definir el área vectorial. Primero, dividimos la superficie en elementos infinitesimales, cada uno de los cuales es efectivamente plano. Para cada elemento infinitesimal de área, tenemos un vector de área, también infinitesimal. donde n̂ es el vector unitario local perpendicular a dS . La integración da el área vectorial para la superficie.$${\displaystyle d\mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} dS}$$$${\displaystyle \mathbf {S} =\int d\mathbf {S} }$$

El área vectorial de una superficie se puede interpretar como el área proyectada (con signo) o "sombra" de la superficie en el plano en el que es mayor; su dirección está dada por la normal de ese plano.

En el caso de una superficie curva o facetada (es decir, no plana), el área vectorial es de menor magnitud que el área superficial real . Como ejemplo extremo, una superficie cerrada puede tener un área arbitrariamente grande, pero su área vectorial es necesariamente cero. ^[1] Las superficies que comparten un límite pueden tener áreas muy diferentes, pero deben tener la misma área vectorial (el área vectorial está completamente determinada por el límite). Estas son consecuencias del teorema de Stokes .

El área vectorial de un paralelogramo se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores que lo forman; es el doble del área (vectorial) del triángulo formado por los mismos vectores. En general, el área vectorial de cualquier superficie cuyo límite consiste en una secuencia de segmentos de línea recta (análogos a un polígono en dos dimensiones) se puede calcular utilizando una serie de productos vectoriales correspondientes a una triangularización de la superficie. Esta es la generalización de la fórmula de Shoelace a tres dimensiones.

Aplicando el teorema de Stokes a un campo vectorial elegido adecuadamente, se puede derivar una integral de contorno para el área vectorial: donde es el contorno de S , es decir, una o más curvas espaciales cerradas orientadas . Esto es análogo al cálculo del área bidimensional utilizando el teorema de Green .$${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{2}}\oint _{\partial S}\mathbf {r} \times d\mathbf {r} }$$${\displaystyle \s parcial}$

Los vectores de área se utilizan al calcular integrales de superficie , como por ejemplo al determinar el flujo de un campo vectorial a través de una superficie. El flujo se obtiene mediante la integral del producto escalar del campo y el vector de área (infinitesimal). Cuando el campo es constante sobre la superficie, la integral se simplifica al producto escalar del campo y el área vectorial de la superficie.

El área proyectada sobre un plano está dada por el producto escalar del área vectorial S y la normal unitaria del plano objetivo m̂ : Por ejemplo, el área proyectada sobre el plano xy es equivalente al componente z del área vectorial, y también es igual a donde θ es el ángulo entre la normal al plano n̂ y el eje z .$${\displaystyle A_{\parallel }=\mathbf {S} \cdot {\hat {\mathbf {m} }}}$$$${\displaystyle \mathbf {S} _ {z}=\left|\mathbf {S} \right|\cos \theta }$$

• Bivector , que representa un área orientada en cualquier número de dimensiones
• Teorema de De Gua , sobre la descomposición del área vectorial en componentes ortogonales
• Producto vectorial
• Normal de superficie
• Integral de superficie