Sin pérdida de generalidad
Sin pérdida de generalidad (a menudo abreviado como WOLOG , WLOG o wlog ; menos comúnmente expresado como sin ninguna pérdida de generalidad o sin pérdida de generalidad ) es una expresión de uso frecuente en matemáticas . El término se utiliza para indicar la suposición de que lo que sigue se elige arbitrariamente, restringiendo la premisa a un caso particular, pero no afecta la validez de la prueba en general. Los otros casos son suficientemente similares al presentado como para que probarlos se deduzca esencialmente de la misma lógica. [1] Como resultado, una vez que se da una prueba para el caso particular, es trivial adaptarla para probar la conclusión en todos los demás casos.
En muchos escenarios, el uso de "sin pérdida de generalidad" es posible gracias a la presencia de simetría . [2] Por ejemplo, si se sabe que alguna propiedad P ( x , y ) de los números reales es simétrica en x e y , es decir, que P ( x , y ) es equivalente a P ( y , x ), entonces al probar que P ( x , y ) se cumple para cada x e y , se puede suponer "sin pérdida de generalidad" que x ≤ y . No hay pérdida de generalidad en esta suposición, ya que una vez que se ha demostrado el caso x ≤ y ⇒ P ( x , y ), el otro caso se deduce intercambiando x e y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), y por simetría de P , esto implica P ( x , y ), mostrando así que P ( x , y ) se cumple para todos los casos.
Por otra parte, si no se puede establecer ni dicha simetría ni otra forma de equivalencia, entonces el uso de "sin pérdida de generalidad" es incorrecto y puede equivaler a un caso de prueba por ejemplo : una falacia lógica de probar una afirmación probando un ejemplo no representativo. [3]
Ejemplo
Consideremos el siguiente teorema (que es un caso del principio del palomar ):
Si tres objetos están pintados de rojo o de azul, entonces debe haber al menos dos objetos del mismo color.
Una prueba:
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el primer objeto es rojo. Si cualquiera de los otros dos objetos es rojo, entonces hemos terminado; si no, entonces los otros dos objetos deben ser azules y todavía hemos terminado.
El argumento anterior funciona porque se podría aplicar exactamente el mismo razonamiento si se hiciera la suposición alternativa, es decir, que el primer objeto es azul, o, de manera similar, que las palabras "rojo" y "azul" se pueden intercambiar libremente en la redacción de la prueba. Como resultado, el uso de "sin pérdida de generalidad" es válido en este caso.
Véase también
Referencias
- ^ Chartrand, Gary ; Polimeni, Albert D.; Zhang, Ping (2008). Pruebas matemáticas / Una transición a las matemáticas avanzadas (2.ª ed.). Pearson/Addison Wesley. págs. 80–81. ISBN 978-0-321-39053-0.
- ^ Dijkstra, Edsger W. (1997). "WLOG, o la miseria del par desordenado (EWD1223)". En Broy, Manfred; Schieder, Birgit (eds.). Métodos matemáticos en el desarrollo de programas (PDF) . Serie F de la OTAN ASI: Ciencias de la computación y sistemas. Vol. 158. Springer. págs. 33–34. doi :10.1007/978-3-642-60858-2_9.
- ^ "Una desigualdad acíclica en tres variables". www.cut-the-knot.org . Consultado el 21 de octubre de 2019 .
Enlaces externos
- WLOG en PlanetMath .
- "Sin pérdida de generalidad" de John Harrison: discusión sobre la formalización de argumentos "WLOG" en un demostrador de teoremas automatizado.
