Lema de Hensel

En matemáticas , el lema de Hensel , también conocido como lema de elevación de Hensel , llamado así por Kurt Hensel , es un resultado de la aritmética modular que establece que si un polinomio univariante tiene una raíz simple módulo un número primo p , entonces esta raíz puede elevarse a una raíz única módulo cualquier potencia superior de p . De manera más general, si un polinomio factoriza módulo p en dos polinomios coprimos , esta factorización puede elevarse a una factorización módulo cualquier potencia superior de p (el caso de las raíces corresponde al caso de grado 1 para uno de los factores).

Pasando al "límite" (de hecho se trata de un límite inverso ) cuando la potencia de p tiende a infinito, se deduce que una raíz o una factorización módulo p puede elevarse a una raíz o una factorización sobre los enteros p -ádicos .

Estos resultados han sido ampliamente generalizados, bajo el mismo nombre, al caso de polinomios sobre un anillo conmutativo arbitrario , donde p se reemplaza por un ideal , y "polinomios coprimos" significa "polinomios que generan un ideal que contiene 1 ".

El lema de Hensel es fundamental en el análisis p -ádico , una rama de la teoría analítica de números .

La prueba del lema de Hensel es constructiva y conduce a un algoritmo eficiente para el levantamiento de Hensel , que es fundamental para factorizar polinomios y proporciona el algoritmo más eficiente conocido para el álgebra lineal exacta sobre números racionales .

El lema original de Hensel se refiere a la relación entre la factorización polinómica de los números enteros y de los números enteros módulo un número primo p y sus potencias. Puede extenderse directamente al caso en el que los números enteros se sustituyen por cualquier anillo conmutativo , y p se sustituye por cualquier ideal máximo (de hecho, los ideales máximos de tienen la forma donde p es un número primo).${\displaystyle \mathbb {Z}}$${\displaystyle p\mathbb {Z},}$

Para precisar esto es necesario generalizar la aritmética modular habitual , por lo que resulta útil definir con precisión la terminología que se utiliza comúnmente en este contexto.

Sea R un anillo conmutativo, e I un ideal de R . La reducción módulo I se refiere al reemplazo de cada elemento de R por su imagen bajo la función canónica Por ejemplo, si es un polinomio con coeficientes en R , su reducción módulo I , denotada es el polinomio en obtenido al reemplazar los coeficientes de f por su imagen en Dos polinomios f y g en son congruentes módulo I , denotado si tienen los mismos coeficientes módulo I , es decir si Si una factorización de h módulo I consiste en dos (o más) polinomios f, g en tales que${\displaystyle R\to R/I.}$${\displaystyle f\en R[X]}$${\displaystyle f{\bmod {I}},}$${\displaystyle (R/I)[X]=R[X]/IR[X]}$${\displaystyle R/I.}$${\estilo de visualización R[X]}$ ${\textstyle f\equiv g{\pmod {I}}}$${\displaystyle fg\in IR[X].}$${\displaystyle h\en R[X],}$${\estilo de visualización R[X]}$${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}}.}$

El proceso de elevación es el inverso de la reducción. Es decir, dados los objetos que dependen de elementos del proceso de elevación, estos elementos son reemplazados por elementos de (o de para algún k > 1 ) que se asignan a ellos de una manera que conserva las propiedades de los objetos. ${\estilo de visualización R/I,}$${\estilo de visualización R}$$Estilo de visualización R/I^{k}}$

Por ejemplo, dado un polinomio y un módulo de factorización I expresado como elevación, este módulo de factorización consiste en encontrar polinomios tales que y el lema de Hensel afirma que tal elevación siempre es posible en condiciones suaves; ver la siguiente sección.${\displaystyle h\en R[X]}$${\textstyle h\equiv fg{\pmod {I}},}$${\displaystyle I^{k}}$${\displaystyle f',g'\en R[X]}$${\textstyle f'\equiv f{\pmod {I}},}$ ${\textstyle g'\equiv g{\pmod {I}},}$${\textstyle h\equiv f'g'{\pmod {I^{k}}}.}$

Originalmente, el lema de Hensel fue enunciado (y demostrado) para elevar una factorización módulo un número primo p de un polinomio sobre los enteros a una factorización módulo cualquier potencia de p y a una factorización sobre los enteros p -ádicos . Esto se puede generalizar fácilmente, con la misma prueba al caso en que los enteros se reemplazan por cualquier anillo conmutativo , el número primo se reemplaza por un ideal maximal y los enteros p -ádicos se reemplazan por la completitud con respecto al ideal maximal. Es esta generalización, que también se usa ampliamente, la que se presenta aquí.

Sea un ideal maximalista de un anillo conmutativo R , y ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle h=\alpha _{0}X^{n}+\cdots +\alpha _{n-1}X+\alpha _{n}}$

sea ​​un polinomio en con un coeficiente principal no en${\estilo de visualización R[X]}$ ${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Como es un ideal maximalista, el anillo cociente es un cuerpo , y es un dominio de ideal principal y, en particular, un dominio de factorización única , lo que significa que cada polinomio distinto de cero en puede factorizarse de manera única como el producto de un elemento distinto de cero de y polinomios irreducibles que son mónicos (es decir, sus coeficientes principales son 1).${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}$${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})[X]}$${\displaystyle (R/{\mathfrak {m}})}$

El lema de Hensel afirma que cada factorización de h módulo en polinomios coprimos puede elevarse de manera única a un módulo de factorización para cada k .${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}}$

Más precisamente, con las hipótesis anteriores, si donde f y g son mónicos y coprimos módulo entonces, para cada entero positivo k existen polinomios mónicos y tales que${\textstyle h\equiv \alpha _{0}fg{\pmod {\mathfrak {m}}},}$${\displaystyle {\mathfrak {m}},}$$estilo de visualización f_ {k}}$$estilo de visualización g_ {k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&\equiv \alpha _{0}f_{k}g_{k}{\pmod {{\mathfrak {m}}^{k}}},\\f_{k}&\equiv f{\pmod {\mathfrak {m}}},\\g_{k}&\equiv g{\pmod {\mathfrak {m}}},\end{aligned}}}$

y y son únicos (con estas propiedades) módulo$estilo de visualización f_ {k}}$$estilo de visualización g_ {k}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{k}.}$

Un caso especial importante es cuando En este caso la hipótesis de coprimalidad significa que r es una raíz simple de Esto da el siguiente caso especial del lema de Hensel, que a menudo también se llama lema de Hensel.${\displaystyle f=Xr.}$${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}.}$

Con las hipótesis y notaciones anteriores, si r es una raíz simple de entonces r puede elevarse de manera única a una raíz simple de para cada entero positivo n . Explícitamente, para cada entero positivo n , existe un único tal que y es una raíz simple de${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}},}$${\displaystyle h{\bmod {{\mathfrak {m}}^{n}}}}$${\displaystyle r_{n}\in R/{\mathfrak {m}}^{n}}$${\textstyle r_{n}\equiv r{\pmod {\mathfrak {m}}}}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle h{\bmod {\mathfrak {m}}}^{n}.}$

El hecho de que se pueda elevar a para cada entero positivo n sugiere "pasar al límite" cuando n tiende al infinito. Esta fue una de las principales motivaciones para introducir los enteros p -ádicos . ${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}$

Dado un ideal máximo de un anillo conmutativo R , las potencias de forman una base de vecindades abiertas para una topología en R , que se llama topología -ádica . La completitud de esta topología se puede identificar con la completitud del anillo local y con el límite inverso. Esta completitud es un anillo local completo , generalmente denotado Cuando R es el anillo de los enteros, y donde p es un número primo, esta completitud es el anillo de los enteros p -ádicos${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}},}$ ${\displaystyle \lim _{\leftarrow }R/{\mathfrak {m}}^{n}.}$${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}.}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}=p\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$

La definición de completitud como un límite inverso, y la declaración anterior del lema de Hensel implican que cada factorización en polinomios coprimos por pares módulo de un polinomio puede ser elevada de manera única a una factorización de la imagen de h en . De manera similar, cada raíz simple de h módulo puede ser elevada a una raíz simple de la imagen de h en${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle h\in R[X]}$${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}[X].}$

El lema de Hensel generalmente se demuestra de manera incremental elevando una factorización a una factorización sobre (elevación lineal) o a una factorización sobre (elevación cuadrática).${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{n+1}}$${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}^{2n}}$

El ingrediente principal de la prueba es que los polinomios coprimos sobre un cuerpo satisfacen la identidad de Bézout . Es decir, si f y g son polinomios univariados coprimos sobre un cuerpo (aquí ), existen polinomios a y b tales que y${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle \deg a<\deg g,}$ ${\displaystyle \deg b<\deg f,}$

${\displaystyle af+bg=1.}$

La identidad de Bézout permite definir polinomios coprimos y demostrar el lema de Hensel, incluso si el ideal no es maximal. Por tanto, en las siguientes demostraciones se parte de un anillo conmutativo R , un ideal I , un polinomio que tiene un coeficiente principal invertible módulo I (es decir, su imagen en es una unidad en ), y factorización de h módulo I o módulo una potencia de I , tal que los factores satisfacen una identidad de Bézout módulo I . En estas demostraciones, significa${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle h\in R[X]}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/I}$${\textstyle A\equiv B{\pmod {I}}}$${\displaystyle A-B\in IR[X].}$

Sea I un ideal de un anillo conmutativo R , y un polinomio univariado con coeficientes en R que tiene un coeficiente principal que es invertible módulo I (es decir, la imagen de en es una unidad en ). ${\displaystyle h\in R[X]}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R/I}$

Supongamos que para algún entero positivo k existe una factorización

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

de modo que f y g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I , en el sentido de que existen tales que Entonces, existen polinomios tales que y${\displaystyle a,b\in R[X],}$${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I}}.}$${\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}$${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{k+1}}}.}$

En estas condiciones, y son módulo único${\displaystyle \delta _{f}}$${\displaystyle \delta _{g}}$${\displaystyle I^{k+1}R[X].}$

Además, y satisfacen la misma identidad de Bézout que f y g , es decir, Esto se deduce inmediatamente de las afirmaciones anteriores, pero es necesario aplicar iterativamente el resultado con valores crecientes de k .${\displaystyle f+\delta _{f}}$${\displaystyle g+\delta _{g}}$$${\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I}}.}$$

La prueba que sigue está escrita para calcular y usar solo polinomios con coeficientes en o cuando y esto permite manipular solo números enteros módulo p .${\displaystyle \delta _{f}}$${\displaystyle \delta _{g}}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle I^{k}/I^{k+1}.}$${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle I=p\mathbb {Z} ,}$

Demostración: Por hipótesis, es invertible módulo I. Esto significa que existe y tal que${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \in R}$${\displaystyle \gamma \in IR[X]}$${\displaystyle \alpha \beta =1-\gamma .}$

Sea de grado menor que tal que${\displaystyle \delta _{h}\in I^{k}R[X],}$${\displaystyle \deg h,}$

${\displaystyle \delta _{h}\equiv h-\alpha fg{\pmod {I^{k+1}}}.}$

(Se puede elegir , pero otras opciones pueden llevar a cálculos más simples. Por ejemplo, si y es posible y mejor elegir donde los coeficientes de son números enteros en el intervalo )${\displaystyle \delta _{h}=h-\alpha fg,}$${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$${\displaystyle I=p\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \delta _{h}=p^{k}\delta '_{h}}$${\displaystyle \delta '_{h}}$${\displaystyle [0,p-1].}$

Como g es mónico, la división euclidiana de por g está definida, y proporciona q y c tales que y Además, tanto q como c están en De manera similar, sea con y${\displaystyle a\delta _{h}}$${\displaystyle a\delta _{h}=qg+c,}$${\displaystyle \deg c<\deg g.}$${\displaystyle I^{k}R[X].}$${\displaystyle b\delta _{h}=q'f+d,}$${\displaystyle \deg d<\deg f,}$${\displaystyle q',d\in I^{k}R[X].}$

Uno tiene En efecto, uno tiene${\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X].}$

${\displaystyle fc+gd=af\delta _{h}+bg\delta _{h}-fg(q+q')\equiv \delta _{h}-fg(q+q'){\pmod {I^{k+1}}}.}$

Como es monic, el grado módulo de puede ser menor que sólo si${\displaystyle fg}$${\displaystyle I^{k+1}}$${\displaystyle fg(q+q')}$${\displaystyle \deg fg}$${\displaystyle q+q'\in I^{k+1}R[X].}$

Por lo tanto, considerando congruencias módulo uno, tenemos${\displaystyle I^{k+1},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\&\equiv \alpha fg-h+\alpha \beta (f(a\delta _{h}-qg)+g(b\delta _{h}-q'f))\\&\equiv \delta _{h}(-1+\alpha \beta (af+bg))-\alpha \beta fg(q+q')\\&\equiv 0{\pmod {I^{k+1}}}.\end{aligned}}}$

Así, la afirmación de existencia se verifica con

${\displaystyle \delta _{f}=\beta d,\qquad \delta _{g}=\beta c.}$

Sean R , I , h y como en la sección anterior. Sea ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I}}}$

sea ​​una factorización en polinomios coprimos (en el sentido anterior), tal que La aplicación del levantamiento lineal para muestra la existencia de y tal que y${\displaystyle \deg f_{0}+\deg g_{0}=\deg h.}$${\displaystyle k=1,2,\ldots ,n-1\ldots ,}$${\displaystyle \delta _{f}}$${\displaystyle \delta _{g}}$${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{n}}}.}$

Los polinomios y están definidos de forma única módulo Esto significa que, si otro par satisface las mismas condiciones, entonces se tiene${\displaystyle \delta _{f}}$${\displaystyle \delta _{g}}$${\displaystyle I^{n}.}$${\displaystyle (\delta '_{f},\delta '_{g})}$

${\displaystyle \delta '_{f}\equiv \delta _{f}{\pmod {I^{n}}}\qquad {\text{and}}\qquad \delta '_{g}\equiv \delta _{g}{\pmod {I^{n}}}.}$

Demostración : Puesto que un módulo de congruencia implica el mismo módulo de congruencia, se puede proceder por inducción y suponer que se ha demostrado la unicidad para n − 1 , siendo trivial el caso n = 0. Es decir, se puede suponer que${\displaystyle I^{n}}$${\displaystyle I^{n-1},}$

${\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}\in I^{n-1}R[X]\qquad {\text{and}}\qquad \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n-1}R[X].}$

Por hipótesis, tiene

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})\equiv \alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g}){\pmod {I^{n}}},}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g})&-\alpha (f+\delta '_{f})(g+\delta '_{g})\\&=\alpha (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))+\alpha (\delta _{f}(\delta _{g}-\delta '_{g})-\delta _{g}(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X].\end{aligned}}}$

Por hipótesis de inducción, el segundo término de la última suma pertenece a y lo mismo es cierto para el primer término. Como es invertible módulo I , existen y tales que Por lo tanto${\displaystyle I^{n},}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta \in R}$${\displaystyle \gamma \in I}$${\displaystyle \alpha \beta =1+\gamma .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(\delta _{g}-\delta '_{g})&+g(\delta _{f}-\delta '_{f})\\&=\alpha \beta (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))-\gamma (f(\delta _{g}-\delta '_{g})+g(\delta _{f}-\delta '_{f}))\in I^{n}R[X],\end{aligned}}}$

utilizando nuevamente la hipótesis de inducción.

La coprimalidad módulo I implica la existencia de tal que Utilizando la hipótesis de inducción una vez más, se obtiene${\displaystyle a,b\in R[X]}$${\textstyle 1\equiv af+bg{\pmod {I}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{g}-\delta '_{g}&\equiv (af+bg)(\delta _{g}-\delta '_{g})\\&\equiv g(b(\delta _{g}-\delta '_{g})-a(\delta _{f}-\delta '_{f})){\pmod {I^{n}}}.\end{aligned}}}$

Así, se tiene un polinomio de grado menor que que es congruente módulo con el producto del polinomio mónico g por otro polinomio w . Esto es posible sólo si y implica De manera similar, también está en y esto prueba la unicidad.${\displaystyle \deg g}$${\displaystyle I^{n}}$${\displaystyle w\in I^{n}R[X],}$${\displaystyle \delta _{g}-\delta '_{g}\in I^{n}R[X].}$${\displaystyle \delta _{f}-\delta '_{f}}$${\displaystyle I^{n}R[X],}$

El levantamiento lineal permite elevar un módulo de factorización a un módulo de factorización. El levantamiento cuadrático permite elevar directamente a un módulo de factorización al precio de elevar también la identidad de Bézout y de calcular el módulo en lugar del módulo I (si se utiliza la descripción anterior del levantamiento lineal). ${\displaystyle I^{n}}$${\displaystyle I^{n+1}.}$${\displaystyle I^{2n},}$${\displaystyle I^{n}}$

Para elevar hasta el módulo para un valor N grande, se puede utilizar cualquiera de los dos métodos. Si, por ejemplo, un módulo de factorización requiere N − 1 pasos de elevación lineal o solo k − 1 pasos de elevación cuadrática, sin embargo, en el último caso, el tamaño de los coeficientes que se deben manipular aumenta durante el cálculo. Esto implica que el mejor método de elevación depende del contexto (valor de N , naturaleza de R , algoritmo de multiplicación que se utiliza, especificidades del hardware , etc.). ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle I^{N}}$${\displaystyle N=2^{k},}$${\displaystyle I^{N}}$

El levantamiento cuadrático se basa en la siguiente propiedad.

Supongamos que para algún entero positivo k existe una factorización

${\displaystyle h\equiv \alpha fg{\pmod {I^{k}}},}$

de modo que f y g son polinomios mónicos que son coprimos módulo I , en el sentido de que existen tales que Entonces, existen polinomios tales que y${\displaystyle a,b\in R[X],}$${\textstyle af+bg\equiv 1{\pmod {I^{k}}}.}$${\displaystyle \delta _{f},\delta _{g}\in I^{k}R[X],}$${\displaystyle \deg \delta _{f}<\deg f,}$ ${\displaystyle \deg \delta _{g}<\deg g,}$

${\displaystyle h\equiv \alpha (f+\delta _{f})(g+\delta _{g}){\pmod {I^{2k}}}.}$

Además, y satisfacen una identidad de Bézout de la forma ${\displaystyle f+\delta _{f}}$${\displaystyle g+\delta _{g}}$

${\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})\equiv 1{\pmod {I^{2k}}}.}$

(Esto es necesario para permitir iteraciones de elevación cuadrática).

Demostración : La primera afirmación es exactamente la del levantamiento lineal aplicado con k = 1 al ideal en lugar de${\displaystyle I^{k}}$${\displaystyle I.}$

Que uno tenga${\displaystyle \alpha =af+bg-1\in I^{k}R[X].}$

${\displaystyle a(f+\delta _{f})+b(g+\delta _{g})=1+\Delta ,}$

dónde

${\displaystyle \Delta =\alpha +a\delta _{f}+b\delta _{g}\in I^{k}R[X].}$

Ajuste y se obtiene${\displaystyle \delta _{a}=-a\Delta }$${\displaystyle \delta _{b}=-b\Delta ,}$

${\displaystyle (a+\delta _{a})(f+\delta _{f})+(b+\delta _{b})(g+\delta _{g})=1-\Delta ^{2}\in I^{2k}R[X],}$

lo que prueba la segunda afirmación.

Dejar${\displaystyle f(X)=X^{6}-2\in \mathbb {Q} [X].}$

Módulo 2, el lema de Hensel no se puede aplicar ya que la reducción del módulo 2 es simplemente ^{[1] pág. 15-16}${\displaystyle f(X)}$

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}}$

con 6 factores que no son primos entre sí. Sin embargo, por el criterio de Eisenstein , se puede concluir que el polinomio es irreducible en Sobre , por otro lado, se tiene${\displaystyle X}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X].}$
${\displaystyle k=\mathbb {F} _{7}}$

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=X^{6}-{\overline {16}}=(X^{3}-{\overline {4}})\;(X^{3}+{\overline {4}})}$

donde es la raíz cuadrada de 2 en . Como 4 no es un cubo en estos dos factores son irreducibles sobre . Por lo tanto, la factorización completa de en y es${\displaystyle 4}$${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{7},}$${\displaystyle \mathbb {F} _{7}}$${\displaystyle X^{6}-2}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}[X]}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}$

${\displaystyle f(X)=X^{6}-2=(X^{3}-\alpha )\;(X^{3}+\alpha ),}$

donde es una raíz cuadrada de 2 que se puede obtener elevando la factorización anterior. Finalmente, en el polinomio se divide en${\displaystyle \alpha =\ldots 450\,454_{7}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$
${\displaystyle \mathbb {F} _{727}[X]}$

${\displaystyle {\bar {f}}(X)=X^{6}-{\overline {2}}=(X-{\overline {3}})\;(X-{\overline {116}})\;(X-{\overline {119}})\;(X-{\overline {608}})\;(X-{\overline {611}})\;(X-{\overline {724}})}$

con todos los factores relativamente primos entre sí, de modo que en y hay 6 factores con los enteros 727-ádicos (no racionales)${\displaystyle \mathbb {Z} _{727}[X]}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{727}[X]}$${\displaystyle X-\beta }$

${\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{rrr}3\;+&\!\!\!545\cdot 727\;+&\!\!\!537\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!161\cdot 727^{3}+\ldots \\116\;+&\!\!\!48\cdot 727\;+&\!\!\!130\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!498\cdot 727^{3}+\ldots \\119\;+&\!\!\!593\cdot 727\;+&\!\!\!667\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!659\cdot 727^{3}+\ldots \\608\;+&\!\!\!133\cdot 727\;+&\!\!\!59\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!67\cdot 727^{3}+\ldots \\611\;+&\!\!\!678\cdot 727\;+&\!\!\!596\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!228\cdot 727^{3}+\ldots \\724\;+&\!\!\!181\cdot 727\;+&\!\!\!189\cdot 727^{2}\,+&\!\!\!565\cdot 727^{3}+\ldots \end{array}}\right.}$

Sea un polinomio con coeficientes enteros (o enteros p -ádicos), y sean m , k enteros positivos tales que m ≤ k . Si r es un entero tal que${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$

entonces, para cada existe un entero s tal que${\displaystyle m>0}$

${\displaystyle f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\quad {\text{and}}\quad r\equiv s{\bmod {p}}^{k}.}$

Además, este s es único módulo p ^{k + m} , y puede calcularse explícitamente como el entero tal que

${\displaystyle s=r-f(r)\cdot a,}$

¿Dónde está un entero que satisface?${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\equiv [f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}.}$

Tenga en cuenta que para que se cumpla la condición, si , entonces pueden existir 0, 1 o varios s (consulte el levantamiento de Hensel a continuación).${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$${\displaystyle f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}}$

Utilizamos la expansión de Taylor de f alrededor de r para escribir:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=0}^{N}c_{n}(s-r)^{n},\qquad c_{n}=f^{(n)}(r)/n!.}$

De esto vemos que s − r = tp ^k para algún entero t . Sea${\displaystyle r\equiv s{\bmod {p}}^{k},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)&=\sum _{n=0}^{N}c_{n}\left(tp^{k}\right)^{n}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+\sum _{n=2}^{N}c_{n}t^{n}p^{kn}\\&=f(r)+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&g(t)\in \mathbb {Z} [t]\\&=zp^{k}+tp^{k}f'(r)+p^{2k}t^{2}g(t)&&f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\\&=(z+tf'(r))p^{k}+p^{2k}t^{2}g(t)\end{aligned}}}$

Porque tenemos:${\displaystyle m\leqslant k,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(s)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}&\Longleftrightarrow (z+tf'(r))p^{k}\equiv 0{\bmod {p}}^{k+m}\\&\Longleftrightarrow z+tf'(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow tf'(r)\equiv -z{\bmod {p}}^{m}\\&\Longleftrightarrow t\equiv -z[f'(r)]^{-1}{\bmod {p}}^{m}&&p\nmid f'(r)\end{aligned}}}$

La suposición de que no es divisible por p asegura que tiene un módulo inverso que es necesariamente único. Por lo tanto, una solución para t existe únicamente módulo y s existe únicamente módulo${\displaystyle f'(r)}$${\displaystyle f'(r)}$${\displaystyle p^{m}}$${\displaystyle p^{m},}$${\displaystyle p^{k+m}.}$

Utilizando las hipótesis anteriores, si consideramos un polinomio irreducible

${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}\in K[X]}$

tal que , entonces${\displaystyle a_{0},a_{n}\neq 0}$

${\displaystyle |f|=\max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}}$

En particular, para , encontramos en${\displaystyle f(X)=X^{6}+10X-1}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}[X]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|f(X)|&=\max\{|a_{0}|,\ldots ,|a_{n}|\}\\&=\max\{0,1,0\}=1\end{aligned}}}$

pero , por lo tanto, el polinomio no puede ser irreducible. Mientras que en tenemos ambos valores concordantes, lo que significa que el polinomio podría ser irreducible. Para determinar la irreducibilidad, se debe emplear el polígono de Newton. ^{[2] : 144}${\displaystyle \max\{|a_{0}|,|a_{n}|\}=0}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{7}[X]}$

Nótese que dado un endomorfismo de Frobenius se obtiene un polinomio distinto de cero que tiene derivada cero.${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle y\mapsto y^{p}}$${\displaystyle x^{p}-a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-a)&=p\cdot x^{p-1}\\&\equiv 0\cdot x^{p-1}{\bmod {p}}\\&\equiv 0{\bmod {p}}\end{aligned}}}$

por lo tanto las raíces p -ésimas de no existen en . Para , esto implica que no puede contener la raíz de la unidad .${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$

Aunque las raíces p -ésimas de la unidad no están contenidas en , existen soluciones de . Nótese que${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle x^{p}-x=x(x^{p-1}-1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{p}-x)&=px^{p-1}-1\\&\equiv -1{\bmod {p}}\end{aligned}}}$

nunca es cero, por lo que si existe una solución, necesariamente se eleva a . Porque Frobenius da que todos los elementos distintos de cero son soluciones. De hecho, estas son las únicas raíces de la unidad contenidas en . ^[3]${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a^{p}=a,}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Usando el lema, uno puede "elevar" una raíz r del polinomio f módulo p ^k a una nueva raíz s módulo p ^{k +1} tal que r ≡ s módulo p ^k (tomando m = 1 ; tomando m mayor se sigue por inducción). De hecho, una raíz módulo p ^{k +1} es también una raíz módulo p ^k , entonces las raíces módulo p ^{k +1} son precisamente los levantamientos de raíces módulo p ^k . La nueva raíz s es congruente con r módulo p , entonces la nueva raíz también satisface Entonces el levantamiento puede repetirse, y comenzando desde una solución r _k de podemos derivar una secuencia de soluciones r _{k +1} , r _{k +2} , ... de la misma congruencia para potencias sucesivamente mayores de p , siempre que para la raíz inicial r _k . Esto también demuestra que f tiene el mismo número de raíces mod p ^k que mod p ^{k +1} , mod p ^{k +2} o cualquier otra potencia mayor de p , siempre que las raíces de f mod p ^k sean todas simples.${\displaystyle f'(s)\equiv f'(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}.}$${\displaystyle f(x)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}}$${\displaystyle f'(r_{k})\not \equiv 0{\bmod {p}}}$

¿Qué sucede con este proceso si r no es una raíz simple módulo p ? Supongamos que

${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k}\quad {\text{and}}\quad f'(r)\equiv 0{\bmod {p}}.}$

Entonces implica que es para todos los enteros t . Por lo tanto, tenemos dos casos:${\displaystyle s\equiv r{\bmod {p}}^{k}}$${\displaystyle f(s)\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}.}$${\displaystyle f(r+tp^{k})\equiv f(r){\bmod {p}}^{k+1}}$

• Si entonces no hay elevación de r a una raíz de f ( x ) módulo p ^{k +1} .${\displaystyle f(r)\not \equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$
• Si entonces cada elevación de r hasta el módulo p ^{k +1} es una raíz de f ( x ) módulo p ^{k +1} .${\displaystyle f(r)\equiv 0{\bmod {p}}^{k+1}}$

Ejemplo. Para ver ambos casos examinamos dos polinomios diferentes con p = 2 :

${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$y r = 1. Entonces y Tenemos lo que significa que ningún levantamiento de 1 al módulo 4 es una raíz de f ( x ) módulo 4.${\displaystyle f(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$${\displaystyle f'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$${\displaystyle f(1)\not \equiv 0{\bmod {4}}}$

${\displaystyle g(x)=x^{2}-17}$y r = 1. Entonces y Sin embargo, dado que podemos elevar nuestra solución al módulo 4 y ambas elevaciones (es decir, 1, 3) son soluciones. La derivada sigue siendo 0 módulo 2, por lo que a priori no sabemos si podemos elevarlas a módulo 8, pero de hecho podemos, ya que g (1) es 0 mod 8 y g (3) es 0 mod 8, dando soluciones en 1, 3, 5 y 7 mod 8. Como de estas solo g (1) y g (7) son 0 mod 16 podemos elevar solo 1 y 7 a módulo 16, dando 1, 7, 9 y 15 mod 16. De estas, solo 7 y 9 dan g ( x ) = 0 mod 32 , por lo que estas pueden elevarse dando 7, 9, 23 y 25 mod 32. Resulta que para cada entero k ≥ 3 , hay cuatro elevaciones de 1 mod 2 a una raíz de g ( x ) mod 2 ^k .${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {2}}}$${\displaystyle g'(1)\equiv 0{\bmod {2}}.}$${\displaystyle g(1)\equiv 0{\bmod {4}},}$

En los números p -ádicos, donde podemos entender los números racionales módulo potencias de p siempre que el denominador no sea un múltiplo de p , la recursión desde r _k (raíces mod p ^k ) hasta r _{k +1} (raíces mod p ^{k +1} ) se puede expresar de una manera mucho más intuitiva. En lugar de elegir t como un entero (y) que resuelve la congruencia

${\displaystyle tf'(r_{k})\equiv -(f(r_{k})/p^{k}){\bmod {p}}^{m},}$

Sea t el número racional ( p ^k aquí no es realmente un denominador ya que f ( r _k ) es divisible por p ^k ):

${\displaystyle -(f(r_{k})/p^{k})/f'(r_{k}).}$

Luego establece

${\displaystyle r_{k+1}=r_{k}+tp^{k}=r_{k}-{\frac {f(r_{k})}{f'(r_{k})}}.}$

Esta fracción puede no ser un entero, pero es un entero p -ádico, y la secuencia de números r _k converge en los enteros p -ádicos a una raíz de f ( x ) = 0. Además, la fórmula recursiva mostrada para el (nuevo) número r _{k +1} en términos de r _k es precisamente el método de Newton para encontrar raíces de ecuaciones en números reales.

Trabajando directamente en los p -ádicos y usando el valor absoluto p -ádico , existe una versión del lema de Hensel que se puede aplicar incluso si comenzamos con una solución de f ( a ) ≡ 0 mod p tal que Solo necesitamos asegurarnos de que el número no sea exactamente 0. Esta versión más general es la siguiente: si hay un entero a que satisface:${\displaystyle f'(a)\equiv 0{\bmod {p}}.}$${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle |f(a)|_{p}<|f'(a)|_{p}^{2},}$

entonces existe un entero p -ádico único b tal que f ( b ) = 0 y La construcción de b equivale a mostrar que la recursión del método de Newton con valor inicial a converge en los p -ádicos y dejamos que b sea el límite. La unicidad de b como raíz que se ajusta a la condición necesita trabajo adicional.${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}.}$${\displaystyle |b-a|_{p}<|f'(a)|_{p}}$

El enunciado del lema de Hensel dado anteriormente (tomando ) es un caso especial de esta versión más general, ya que las condiciones de que f ( a ) ≡ 0 mod p y dicen que y${\displaystyle m=1}$${\displaystyle f'(a)\not \equiv 0{\bmod {p}}}$${\displaystyle |f(a)|_{p}<1}$${\displaystyle |f'(a)|_{p}=1.}$

Supongamos que p es un primo impar y a es un residuo cuadrático distinto de cero módulo p . Entonces, el lema de Hensel implica que a tiene una raíz cuadrada en el anillo de los enteros p -ádicos. De hecho, sea Si r es una raíz cuadrada de a módulo p entonces:${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$${\displaystyle f(x)=x^{2}-a.}$

${\displaystyle f(r)=r^{2}-a\equiv 0{\bmod {p}}\quad {\text{and}}\quad f'(r)=2r\not \equiv 0{\bmod {p}},}$

donde la segunda condición depende del hecho de que p es impar. La versión básica del lema de Hensel nos dice que a partir de r ₁ = r podemos construir recursivamente una secuencia de números enteros tal que:${\displaystyle \{r_{k}\}}$

${\displaystyle r_{k+1}\equiv r_{k}{\bmod {p}}^{k},\quad r_{k}^{2}\equiv a{\bmod {p}}^{k}.}$

Esta secuencia converge a algún entero p -ádico b que satisface b ² = a . De hecho, b es la única raíz cuadrada de a en congruente con r ₁ módulo p . Por el contrario, si a es un cuadrado perfecto en y no es divisible por p entonces es un residuo cuadrático distinto de cero módulo p . Nótese que la ley de reciprocidad cuadrática permite comprobar fácilmente si a es un residuo cuadrático distinto de cero módulo p , por lo que obtenemos una forma práctica de determinar qué números p -ádicos (para p impar) tienen una raíz cuadrada p -ádica, y puede extenderse para cubrir el caso p = 2 utilizando la versión más general del lema de Hensel (más adelante se da un ejemplo con raíces cuadradas 2-ádicas de 17).${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Para hacer más explícita la discusión anterior, hallemos una "raíz cuadrada de 2" (la solución de ) en los enteros 7-ádicos. Módulo 7, una solución es 3 (también podríamos tomar 4), por lo que establecemos . El lema de Hensel nos permite hallar lo siguiente:${\displaystyle x^{2}-2=0}$${\displaystyle r_{1}=3}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(r_{1})&=3^{2}-2=7\\f(r_{1})/p^{1}&=7/7=1\\f'(r_{1})&=2r_{1}=6\end{aligned}}}$

En base a lo cual la expresión

${\displaystyle tf'(r_{1})\equiv -(f(r_{1})/p^{k}){\bmod {p}},}$

se convierte en:

${\displaystyle t\cdot 6\equiv -1{\bmod {7}}}$

Lo que implica ahora:${\displaystyle t=1.}$

${\displaystyle r_{2}=r_{1}+tp^{1}=3+1\cdot 7=10=13_{7}.}$

Y efectivamente, (si hubiéramos utilizado la recursión del método de Newton directamente en los 7-ádicos, entonces y )${\displaystyle 10^{2}\equiv 2{\bmod {7}}^{2}.}$${\displaystyle r_{2}=r_{1}-f(r_{1})/f'(r_{1})=3-7/6=11/6,}$${\displaystyle 11/6\equiv 10{\bmod {7}}^{2}.}$