Ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos)

Ecuación diferencial ordinaria de primer orden cuasilineal

En mecánica clásica , las ecuaciones de rotación de Euler son ecuaciones diferenciales ordinarias vectoriales cuasilineales de primer orden que describen la rotación de un cuerpo rígido , utilizando un sistema de referencia giratorio con velocidad angular ω cuyos ejes están fijos al cuerpo. Reciben su nombre en honor a Leonhard Euler . Su forma vectorial general es

I ω ˙ + ω × ( I ω ) = M . {\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}

donde M son los pares aplicados e I es la matriz de inercia . El vector es la aceleración angular . Nuevamente, observe que todas las cantidades están definidas en el marco de referencia giratorio. ω ˙ {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\omega }}}}

En coordenadas ortogonales de los ejes principales de inercia las ecuaciones se convierten en

I 1 ω ˙ 1 + ( I 3 I 2 ) ω 2 ω 3 = M 1 I 2 ω ˙ 2 + ( I 1 I 3 ) ω 3 ω 1 = M 2 I 3 ω ˙ 3 + ( I 2 I 1 ) ω 1 ω 2 = M 3 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}\,{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\,\omega _{2}\,\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}\,{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\,\omega _{3}\,\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}\,{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\,\omega _{1}\,\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}}

donde M k son los componentes de los pares aplicados, I k son los momentos principales de inercia y ω k son los componentes de la velocidad angular.

En ausencia de pares aplicados, se obtiene el trompo de Euler . Cuando los pares se deben a la gravedad , hay casos especiales en los que el movimiento del trompo es integrable .

Derivación

En un marco de referencia inercial (con subíndice "en"), la segunda ley de Euler establece que la derivada temporal del momento angular L es igual al torque aplicado :

d L in d t = M in {\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{\text{in}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{in}}}

Para partículas puntuales en las que las fuerzas internas son fuerzas centrales , esto se puede derivar utilizando la segunda ley de Newton . Para un cuerpo rígido, se tiene la relación entre el momento angular y el momento de inercia I en dado como

L in = I in ω {\displaystyle \mathbf {L} _{\text{in}}=\mathbf {I} _{\text{in}}{\boldsymbol {\omega }}}

En el marco inercial, la ecuación diferencial no siempre es útil para resolver el movimiento de un cuerpo rígido giratorio general, ya que tanto I como ω pueden cambiar durante el movimiento. En cambio, se puede cambiar a un marco de coordenadas fijo en el cuerpo giratorio, en el que el tensor del momento de inercia es constante. Al utilizar un marco de referencia como el del centro de masas, la posición del marco desaparece de las ecuaciones. En cualquier marco de referencia giratorio, la derivada temporal debe reemplazarse para que la ecuación se convierta en

( d L d t ) r o t + ω × L = M {\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {rot} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} =\mathbf {M} }

y así surge el producto vectorial, véase derivada temporal en el marco de referencia giratorio . Los componentes vectoriales del par en los marcos inercial y giratorio están relacionados por donde es el tensor de rotación (no la matriz de rotación ), un tensor ortogonal relacionado con el vector de velocidad angular por para cualquier vector u . Ahora se sustituye y las derivadas temporales se toman en el marco giratorio, teniendo en cuenta que las posiciones de las partículas y el tensor de inercia no dependen del tiempo. Esto conduce a la forma vectorial general de las ecuaciones de Euler que son válidas en dicho marco M in = Q M , {\displaystyle \mathbf {M} _{\text{in}}=\mathbf {Q} \mathbf {M} ,} Q {\displaystyle \mathbf {Q} } ω × u = Q ˙ Q 1 u {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}={\dot {\mathbf {Q} }}\mathbf {Q} ^{-1}{\boldsymbol {u}}} L = I ω {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}}

I ω ˙ + ω × ( I ω ) = M . {\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}

Las ecuaciones también se derivan de las leyes de Newton en la discusión del par resultante .

De manera más general, según las reglas de transformación de tensores, cualquier tensor de rango 2 tiene una derivada temporal tal que para cualquier vector , se tiene . Esto produce las ecuaciones de Euler al sustituir T {\displaystyle \mathbf {T} } T ˙ {\displaystyle \mathbf {\dot {T}} } u {\displaystyle \mathbf {u} } T ˙ u = ω × ( T u ) T ( ω × u ) {\displaystyle \mathbf {\dot {T}} \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {T} \mathbf {u} )-\mathbf {T} ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {u} )} d d t ( I ω ) = M . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}\right)=\mathbf {M} .}

Forma de los ejes principales

Al elegir un sistema de coordenadas de modo que sus ejes estén alineados con los ejes principales del tensor de inercia, su matriz de componentes es diagonal, lo que simplifica aún más los cálculos. Como se describe en el artículo sobre el momento de inercia , el momento angular L se puede escribir

L = L 1 e 1 + L 2 e 2 + L 3 e 3 = i = 1 3 I i ω i e i {\displaystyle \mathbf {L} =L_{1}\mathbf {e} _{1}+L_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}I_{i}\omega _{i}\mathbf {e} _{i}}

También en algunos sistemas no ligados al cuerpo es posible obtener ecuaciones tan simples (tensor diagonal) para la tasa de cambio del momento angular. Entonces ω debe ser la velocidad angular para la rotación de los ejes de ese sistema en lugar de la rotación del cuerpo. Sin embargo, todavía se requiere que los ejes elegidos sigan siendo ejes principales de inercia. La forma resultante de las ecuaciones de rotación de Euler es útil para objetos rotacionalmente simétricos que permiten elegir libremente algunos de los ejes principales de rotación.

Soluciones para casos especiales

Precesiones sin par

Las precesiones sin par son una solución no trivial para la situación en la que el par en el lado derecho es cero. Cuando I no es constante en el marco de referencia externo (es decir, el cuerpo se está moviendo y su tensor de inercia no es constantemente diagonal), entonces no se puede extraer I a través del operador de derivada que actúa sobre L. En este caso, I ( t ) y ω ( t ) cambian juntos de tal manera que la derivada de su producto sigue siendo cero. Este movimiento se puede visualizar mediante la construcción de Poinsot .

Ecuaciones de Euler generalizadas

Las ecuaciones de Euler se pueden generalizar a cualquier álgebra de Lie simple . [1] Las ecuaciones de Euler originales provienen de fijar el álgebra de Lie como , con generadores que satisfacen la relación . Entonces, si (donde es una coordenada de tiempo, que no debe confundirse con los vectores base ) es una función de tiempo con valor -, y (con respecto a la base del álgebra de Lie), entonces las ecuaciones de Euler originales (sin torque) se pueden escribir [2] Para definir de una manera independiente de la base, debe ser una función autoadjunta en el álgebra de Lie con respecto a la forma bilineal invariante en . Esta expresión se generaliza fácilmente a un álgebra de Lie simple arbitraria, digamos en la clasificación estándar de álgebras de Lie simples. s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} t 1 , t 2 , t 3 {\displaystyle {t_{1},t_{2},t_{3}}} [ t a , t b ] = ϵ a b c t c {\displaystyle [t_{a},t_{b}]=\epsilon _{abc}t_{c}} ω ( t ) = a ω a ( t ) t a {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}(t)=\sum _{a}\omega _{a}(t)t_{a}} t {\displaystyle t} t a {\displaystyle t_{a}} s o ( 3 ) {\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)} I = d i a g ( I 1 , I 2 , I 3 ) {\displaystyle \mathbf {I} =\mathrm {diag} (I_{1},I_{2},I_{3})} I ω ˙ = [ I ω , ω ] . {\displaystyle \mathbf {I} {\dot {\boldsymbol {\omega }}}=[\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }},{\boldsymbol {\omega }}].} I {\displaystyle \mathbf {I} } g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} g {\displaystyle {\mathfrak {g}}}

Esto también puede verse como una formulación de par Lax de las ecuaciones de Euler generalizadas, lo que sugiere su integrabilidad.

Véase también

Referencias

  1. ^ Hitchin, Nigel J.; Segal, Graeme B.; Ward, Richard S.; Segal, GB; Ward, RS (2011). Sistemas integrables: twistores, grupos de bucles y superficies de Riemann; basado en conferencias impartidas en una conferencia sobre sistemas integrables organizada por NMJ Woodhouse y celebrada en el Instituto de Matemáticas de la Universidad de Oxford en septiembre de 1997. Oxford: Clarendon Press. pág. 65. ISBN 9780198504214.
  2. ^ Arnold, Vladimir. Obras completas . Vol. 2. Springer. Pág. 37.
  • CA Truesdell, III (1991) Un primer curso en mecánica racional del continuo. Vol. 1: Conceptos generales , 2.ª ed., Academic Press. ISBN 0-12-701300-8 . Secciones I.8-10. 
  • CA Truesdell, III y RA Toupin (1960) The Classical Field Theories , en S. Flügge (ed.) Encyclopedia of Physics. Vol. III/1: Principles of Classical Mechanics and Field Theory , Springer-Verlag. Seccs. 166–168, 196–197 y 294.
  • Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3.ª ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda).  
  • Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2.ª edición, Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9 
  • Symon KR. (1971) Mecánica , 3.ª ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7 
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