Ondícula de Morlet
Ondícula con ventana gaussiana
Ondícula de Morlet de valor real
Ondícula de Morlet de valor complejo

En matemáticas , la ondícula de Morlet (o ondícula de Gabor ) [1] es una ondícula compuesta por una exponencial compleja ( portadora ) multiplicada por una ventana gaussiana (envolvente). Esta ondícula está estrechamente relacionada con la percepción humana, tanto la audición [2] como la visión. [3]

Historia

En 1946, el físico Dennis Gabor , aplicando ideas de la física cuántica , introdujo el uso de sinusoides con ventanas gaussianas para la descomposición tiempo-frecuencia, a las que se refirió como átomos , y que proporcionan el mejor equilibrio entre resolución espacial y frecuencial. [1] Estas se utilizan en la transformada de Gabor , un tipo de transformada de Fourier de tiempo corto . [2] En 1984, Jean Morlet introdujo el trabajo de Gabor a la comunidad sismológica y, con Goupillaud y Grossmann, lo modificó para mantener la misma forma de ondícula en intervalos de octava iguales, lo que resultó en la primera formalización de la transformada de ondícula continua . [4]

Definición

La ondícula se define como una constante restada de una onda plana y luego localizada por una ventana gaussiana : [5] k σ {\displaystyle \kappa _{\sigma }}

O σ ( a ) = do σ π − 1 4 mi − 1 2 a 2 ( mi i σ a − k σ ) {\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}

donde se define por el criterio de admisibilidad, y la constante de normalización es: k σ = mi − 1 2 σ 2 {\displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}} do σ {\displaystyle c_{\sigma}}

do σ = ( 1 + mi − σ 2 − 2 mi − 3 4 σ 2 ) − 1 2 {\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac {3}{4}}\sigma ^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}

La transformada de Fourier de la ondícula de Morlet es:

O ^ σ ( ω ) = do σ π − 1 4 ( mi − 1 2 ( σ − ω ) 2 − k σ mi − 1 2 ω 2 ) {\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega )^{2}}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}\right)}

La "frecuencia central" es la posición del máximo global que, en este caso, viene dada por la solución positiva de: ω O {\displaystyle \omega _ {\Psi }} O ^ σ ( ω ) {\displaystyle {\sombrero {\Psi }}_{\sigma }(\omega )}

ω O = σ 1 1 − mi − σ ω O {\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega _{\Psi }}}}} [ cita requerida ]

que puede resolverse mediante una iteración de punto fijo que comienza en (las iteraciones de punto fijo convergen a la única solución positiva para cualquier ). [ cita requerida ] ω Ψ = σ {\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma } ω Ψ > 0 {\displaystyle \omega _{\Psi }>0}

El parámetro en la ondícula de Morlet permite el intercambio entre resoluciones de tiempo y frecuencia. Convencionalmente, la restricción se utiliza para evitar problemas con la ondícula de Morlet a baja (alta resolución temporal). [ cita requerida ] σ {\displaystyle \sigma } σ > 5 {\displaystyle \sigma >5} σ {\displaystyle \sigma }

Para las señales que contienen modulaciones de amplitud y frecuencia que varían lentamente (audio, por ejemplo), no es necesario utilizar valores pequeños de . En este caso, se vuelve muy pequeño (por ejemplo, ) y, por lo tanto, a menudo se descuida. Bajo la restricción , la frecuencia de la ondícula de Morlet se toma convencionalmente como . [ cita requerida ] σ {\displaystyle \sigma } κ σ {\displaystyle \kappa _{\sigma }} σ > 5 ⇒ κ σ < 10 − 5 {\displaystyle \sigma >5\quad \Rightarrow \quad \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,} σ > 5 {\displaystyle \sigma >5} ω Ψ ≃ σ {\displaystyle \omega _{\Psi }\simeq \sigma }

La wavelet existe como una versión compleja o una versión puramente de valor real. Algunos distinguen entre el "Morlet real" y el "Morlet complejo". [6] Otros consideran que la versión compleja es la "wavelet de Gabor", mientras que la versión de valor real es la "wavelet de Morlet". [7] [8]

Usos

Uso en medicina

En la obtención de imágenes por espectroscopia de resonancia magnética, el método de la transformada de ondículas de Morlet ofrece un puente intuitivo entre la información de frecuencia y tiempo que puede aclarar la interpretación de espectros complejos de traumatismo craneal obtenidos con la transformada de Fourier . Sin embargo, la transformada de ondículas de Morlet no pretende sustituir a la transformada de Fourier, sino más bien ser un complemento que permite un acceso cualitativo a los cambios relacionados con el tiempo y aprovecha las múltiples dimensiones disponibles en un análisis de decaimiento por inducción libre . [9]

La aplicación del análisis de ondículas de Morlet también se utiliza para discriminar el comportamiento anormal del latido cardíaco en el electrocardiograma (ECG). Dado que la variación del latido cardíaco anormal es una señal no estacionaria, esta señal es adecuada para el análisis basado en ondículas.

Uso en la música

La transformada wavelet de Morlet se utiliza en la estimación del tono y puede producir resultados más precisos que las técnicas de transformada de Fourier. [10] La transformada wavelet de Morlet es capaz de capturar ráfagas cortas de notas musicales repetidas y alternadas con un tiempo de inicio y fin claro para cada nota. [ cita requerida ]

Se propuso una ondícula de Morlet modificada para extraer melodías de música polifónica. [11] Esta metodología está diseñada para la detección de frecuencias cerradas. La transformada de ondícula de Morlet es capaz de capturar notas musicales y la relación de escala y frecuencia se representa de la siguiente manera:

f a = f c a × T {\displaystyle f_{a}={f_{c} \over a\times T}}

donde es la pseudofrecuencia a escala , es la frecuencia central y es el tiempo de muestreo. f a {\displaystyle f_{a}} a {\displaystyle a} f c {\displaystyle f_{c}} T {\displaystyle T}

La ondícula de Morlet se modifica como se describe a continuación:

Ψ ( t ) = e − | t k | c o s ( 2 π t ) {\displaystyle \Psi (t)=e^{-|{t \over k}|}cos(2\pi t)}

y su transformada de Fourier:

F [ Ψ ( t ) ] = 1 4 π 2 f 2 + 1 [ δ ( f − 2 π ) + δ ( f + 2 π ) ] {\displaystyle F[\Psi (t)]={1 \over {4\pi ^{2}f^{2}+1}}[\delta (f-2\pi )+\delta (f+2\pi )]}

Solicitud

  • Las señales con frecuencias variables en el tiempo son una característica común en las fallas de maquinaria rotatoria, lo que hace que la ondícula de Morlet sea un enfoque adecuado para realizar el análisis. Al adaptar la ondícula de Morlet, el sistema puede mejorar su capacidad para capturar variaciones sutiles y anormalidades en las señales de la maquinaria que pueden indicar fallas. La adaptabilidad de la ondícula de Morlet proporciona un método robusto de preprocesamiento de las señales de entrada, lo que garantiza que el sistema pueda manejar de manera efectiva las frecuencias variables asociadas con diferentes condiciones de falla. [12]
  • Al tratar la ondícula de Morlet como una red neuronal, los investigadores pretenden mejorar la sensibilidad y la precisión de las medidas de prevención del VIH. La red neuronal, basada en la ondícula de Morlet, está diseñada para reconocer patrones intrincados que indican posibles riesgos o vulnerabilidades al VIH. La adaptabilidad de la red neuronal basada en ondículas de Morlet y su integración con las estrategias existentes marcan un avance significativo en los esfuerzos en curso para combatir la epidemia del VIH. [13]
  • La ondícula de Morlet, conocida por su versatilidad en el análisis de señales y su adaptabilidad a sistemas no lineales, es un componente clave en el sistema corneal asociado con la cirugía ocular. Los métodos numéricos tradicionales pueden tener dificultades para captar las complejidades de dichos sistemas, lo que hace necesarios enfoques innovadores. La red neuronal artificial de ondículas de Morlet surge como una herramienta prometedora debido a su capacidad para manejar eficazmente las no linealidades y proporcionar soluciones numéricas precisas. [14]
  • Los investigadores aprovechan la transformada de ondículas de Morlet para extraer características significativas de las señales de los sistemas de posicionamiento de banda ultra ancha (UWB), reconociendo su eficacia en la preservación de las características temporales y espectrales. Este paso transformador en el preprocesamiento sienta las bases para una clasificación robusta de línea de visión (LOS) / sin línea de visión (NLOS). La ondícula de Morlet tiene superioridad sobre los métodos convencionales en la captura de características intrincadas de la señal, lo que contribuye significativamente al éxito general del sistema de identificación LOS / NLOS. [15]
  • Al combinar el filtrado de ondículas de Morlet con el análisis de fase, se puede mejorar la relación señal-ruido y, por consiguiente, reducir el límite de detección (LOD) de los biosensores ópticos de película fina. El proceso de filtrado de ondículas de Morlet implica transformar la señal de salida del sensor en el dominio de la frecuencia. Al convolucionar la señal con la ondícula de Morlet, que es una onda sinusoidal compleja con una envolvente gaussiana, la técnica permite la extracción de componentes de frecuencia relevantes de la señal. Este proceso es particularmente ventajoso para analizar señales con características no estacionarias y variables en el tiempo, lo que lo hace muy adecuado para aplicaciones de biodetección en las que las concentraciones del analito objetivo pueden variar con el tiempo. [16]

Véase también

Referencias

  1. ^ ab Un boceto primario de Gabor en tiempo real para la atención visual "El núcleo de Gabor satisface la condición de admisibilidad para wavelets, por lo que es adecuado para el análisis de múltiples resoluciones. Además de ser un factor de escala, también se lo conoce como Wavelet de Morlet".
  2. ^ ab Mallat, Stephane (18 de septiembre de 2009). "Diccionarios de tiempo-frecuencia". Un recorrido wavelet por el procesamiento de señales, al estilo disperso.
  3. ^ JG Daugman . Relación de incertidumbre para la resolución en el espacio, la frecuencia espacial y la orientación optimizada por filtros corticales visuales bidimensionales. Journal of the Optical Society of America A , 2(7):1160–1169, julio de 1985.
  4. ^ "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2013-06-09 . Consultado el 2012-05-12 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
  5. ^ John Ashmead (2012). "Ondículas de Morlet en mecánica cuántica". Quanta . 1 (1): 58–70. arXiv : 1001.0250 . doi :10.12743/quanta.v1i1.5. S2CID  73526961.
  6. ^ "Familias Wavelet de Matlab". Archivado desde el original el 10 de agosto de 2019.
  7. ^ Documentación de Mathematica: GaborWavelet
  8. ^ Documentación de Mathematica: MorletWavelet
  9. ^ http://cds.ismrm.org/ismrm-2001/PDF3/0822.pdf [ URL básica PDF ]
  10. ^ Kumar, Neeraj; Kumar, Raubin (29 de enero de 2020). "Estimación de tonos múltiples basada en transformada wavelet en música polifónica". Heliyon . 6 (1): e03243. Bibcode :2020Heliy...603243K. doi : 10.1016/j.heliyon.2020.e03243 . ISSN  2405-8440. PMC 7000807 . PMID  32042974. 
  11. ^ Kumar, Neeraj; Kumar, Raubin; Murmu, Govind; Sethy, Prabira Kumar (1 de febrero de 2021). "Extracción de melodía de música polifónica utilizando wavelet de Morlet modificado". Microprocesadores y microsistemas . 80 : 103612. doi :10.1016/j.micpro.2020.103612. ISSN  0141-9331.
  12. ^ Shao, Haidong; Xia, Min; Wan, Jiafu; Clarence, W. de Silva (febrero de 2022). "Autocodificador apilado modificado que utiliza wavelet Morlet adaptativo para el diagnóstico inteligente de fallas en maquinaria rotatoria". Transacciones IEEE/ASME sobre mecatrónica . 27 : 24–33. doi :10.1109/TMECH.2021.3058061.
  13. ^ Zulqurnain, Sabir; Muhammad, Umar; Muhammad, Asif Zahoor Raja; Haci, Mehmet Baskonus; Gao, Wei (2022). "Diseño de la wavelet de Morlet como red neuronal para una nueva categoría de prevención en el sistema del VIH". Revista Internacional de Biomatemáticas . 15 (4). doi :10.1142/S1793524522500127.
  14. ^ Wang, B. O; JF Gomez-Aguilar; Zulqurnain Sabir; Muhammad Asif Zahoor Raja; Wei-Feng Xia; HADI Jahanshahi; Madini O. Alassafi; Fawaz E. Alsaadi (2022). "Computación numérica para resolver el sistema corneal no lineal de la cirugía ocular utilizando la capacidad de las redes neuronales artificiales de wavelet de Morlet". Fractales . 30 (5): 2240147–2240353. Bibcode :2022Fract..3040147W. doi : 10.1142/S0218348X22401478 .
  15. ^ Z. Cui; Y. Gao; J. Hu; S. Tian; J. Cheng (marzo de 2021). "Identificación LOS/NLOS para posicionamiento UWB en interiores basado en la transformada de ondículas de Morlet y redes neuronales convolucionales". IEEE Communications Letters . 25 (3): 879–882. ​​doi :10.1109/LCOMM.2020.3039251.
  16. ^ Simon J. Ward; Rabeb Layouni; Sofia Arshavsky-Graham; Ester Segal; Sharon M. Weiss (2021). "Filtrado de ondículas de Morlet y análisis de fase para reducir el límite de detección de biosensores ópticos de película delgada". ACS Sensors . 6 (8): 2967–2978. doi :10.1021/acssensors.1c00787. PMC 8403169 . PMID  34387077. 
  • P. Goupillaud, A. Grossman y J. Morlet. Transformaciones de ciclo-octava y relacionadas en el análisis de señales sísmicas . Geoexploration, 23:85-102, 1984
  • N. Delprat, B. Escudié, P. Guillemain, R. Kronland-Martinet, P. Tchamitchian y B. Torrésani. Análisis asintótico de wavelets y de Gabor: extracción de frecuencias instantáneas. IEEE Trans. Inf. Th., 38:644-664, 1992
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