Variedad Severi-Brauer

En matemáticas , una variedad de Severi-Brauer sobre un cuerpo K es una variedad algebraica V que se vuelve isomorfa a un espacio proyectivo sobre un cierre algebraico de K. Las variedades están asociadas a álgebras simples centrales de tal manera que el álgebra se divide sobre K si y solo si la variedad tiene un punto racional sobre K. ^[1] Francesco Severi  (1932) estudió estas variedades, y también se las nombra en honor a Richard Brauer debido a su estrecha relación con el grupo de Brauer .

En dimensión uno, las variedades de Severi–Brauer son cónicas . Las álgebras simples centrales correspondientes son las álgebras de cuaterniones . El álgebra ( a , b ) _K corresponde a la cónica C ( a , b ) con ecuación

${\displaystyle z^{2}=ax^{2}+por^{2}\ }$

y el álgebra ( a , b ) _K se divide , es decir, ( a , b ) _K es isomorfa a un álgebra matricial sobre K , si y sólo si C ( a , b ) tiene un punto definido sobre K : esto a su vez es equivalente a que C ( a , b ) sea isomorfa a la línea proyectiva sobre K . ^{[1] [2]}

Estas variedades son de interés no sólo en geometría diofántica , sino también en cohomología de Galois . Representan (al menos si K es un cuerpo perfecto ) clases de cohomología de Galois en H ¹ (G(K ^s /K),PGL _n ), donde PGL _n es el grupo lineal proyectivo y n es uno más que la dimensión de la variedad V. Como es habitual en la cohomología de Galois, a menudo dejamos lo implícito. Hay una secuencia exacta corta${\displaystyle G(K^{s}/K)}$

1 → GL ₁ → GL _n → PGL _n → 1

de grupos algebraicos . Esto implica un homomorfismo conexo

H1 ( _PGLn ) → H2 ( ^GL1 ₎^​

a nivel de cohomología. Aquí H ² (GL ₁ ) se identifica con el grupo de Brauer de K , mientras que el núcleo es trivial porque H ¹ (GL _n ) = {1} por una extensión del Teorema 90 de Hilbert . ^{[3] [4]} Por lo tanto, las variedades de Severi–Brauer pueden representarse fielmente mediante elementos del grupo de Brauer, es decir, clases de álgebras simples centrales .

Lichtenbaum demostró que si X es una variedad de Severi-Brauer sobre K , entonces existe una secuencia exacta

${\displaystyle 0\rightarrow \mathrm {Imagen} (X)\rightarrow \mathbb {Z} ~{\stackrel {\delta }{\rightarrow }}~\mathrm {Br} (K)\rightarrow \mathrm {Br} (K)/(X)\rightarrow 0\ .}$

Aquí el mapa δ envía 1 a la clase Brauer correspondiente a X. ^[2]

Como consecuencia, vemos que si la clase de X tiene orden d en el grupo de Brauer entonces hay una clase divisora ​​de grado d en X . El sistema lineal asociado define la incrustación d -dimensional de X sobre un campo de división L . ^[5]

• Haz proyectivo