Variedad lineal por partes

Variedad topológica con una estructura lineal por partes.

En matemáticas , una variedad lineal por partes ( variedad PL ) es una variedad topológica junto con una estructura lineal por partes sobre ella. Dicha estructura se puede definir por medio de un atlas , de modo que se pueda pasar de un diagrama a otro en él mediante funciones lineales por partes . Esto es ligeramente más fuerte que la noción topológica de triangulación . ^[a] Un isomorfismo de variedades PL se llama homeomorfismo PL..

Relación con otras categorías de variedades

PDIFF sirve para relacionar DIFF y PL, y es equivalente a PL.

PL, o más precisamente PDIFF, se encuentra entre DIFF (la categoría de variedades suaves ) y TOP (la categoría de variedades topológicas): se comporta categóricamente "mejor" que DIFF —por ejemplo, la conjetura de Poincaré generalizada es verdadera en PL (con la posible excepción de la dimensión 4, donde es equivalente a DIFF), pero es falsa en general en DIFF— pero se comporta "peor" que TOP, como se explica en la teoría de la cirugía .

Colectores lisos

Las variedades lisas tienen estructuras PL canónicas (son triangulizables de forma única, según el teorema de triangulación de Whitehead (Whitehead 1940) ^[1]^[2] ), pero las variedades PL no siempre tienen estructuras lisas (no siempre son lisables). Esta relación se puede elaborar introduciendo la categoría PDIFF , que contiene tanto a DIFF como a PL, y es equivalente a PL.

Una forma en la que PL se comporta mejor que DIFF es que se pueden tomar conos en PL, pero no en DIFF (el punto del cono es aceptable en PL). Una consecuencia es que la conjetura generalizada de Poincaré es verdadera en PL para dimensiones mayores que cuatro (la prueba es tomar una esfera de homotopía , quitar dos bolas, aplicar el teorema del h -cobordismo para concluir que se trata de un cilindro y luego unir conos para recuperar una esfera). Este último paso funciona en PL pero no en DIFF, dando lugar a esferas exóticas .

Variedades topológicas

No todas las variedades topológicas admiten una estructura PL y, en el caso de las que sí la admiten, la estructura PL no tiene por qué ser única, sino que puede tener infinitas. Esto se explica en Hauptvermutung .

La obstrucción para colocar una estructura PL en una variedad topológica es la clase Kirby-Siebenmann . Para ser precisos, la clase Kirby-Siebenmann es la obstrucción para colocar una estructura PL en M x R y en dimensiones n > 4, la clase KS se anula si y solo si M tiene al menos una estructura PL.

Conjuntos algebraicos reales

Una A-estructura en una variedad PL es una estructura que proporciona una forma inductiva de resolver la variedad PL en una variedad lisa. Las variedades PL compactas admiten A-estructuras. ^[3]^[4] Las variedades PL compactas son homeomorfas a los conjuntos algebraicos reales . ^[5]^[6] Dicho de otro modo, la categoría A se sitúa sobre la categoría PL como una categoría más rica sin obstáculos para la elevación, es decir, BA → BPL es una fibración de producto con BA = BPL × PL/A, y las variedades PL son conjuntos algebraicos reales porque las variedades A son conjuntos algebraicos reales.

Variedades combinatorias y variedades digitales

Una variedad combinatoria es un tipo de variedad que es la discretización de una variedad. Por lo general, se trata de una variedad lineal por partes formada por complejos simpliciales .
Una variedad digital es un tipo especial de variedad combinatoria que se define en el espacio digital. Véase topología digital .

Véase también

Variedad simple

Notas

^ Una estructura PL también requiere que el enlace de un símplex sea una PL-esfera. Un ejemplo de triangulación topológica de una variedad que no es una estructura PL es, en dimensión n ≥ 5, la suspensión ( n − 3)-fold de la esfera de Poincaré (con alguna triangulación fija): tiene un símplex cuyo enlace es la esfera de Poincaré, una variedad tridimensional que no es homeomorfa a una esfera, por lo tanto no es una PL-esfera. Véase Triangulación (topología) § Estructuras lineales por partes para más detalles.

Referencias

^ Lurie, Jacob (13 de febrero de 2009), Triangulaciones de Whitehead (Conferencia 3) (PDF)
^ MA Shtan'ko (2001) [1994], "Topología de variedades", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
^ Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). "Un teorema de resolución topológica". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 2 (1): 174–176. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .
^ Akbulut, S.; Taylor, L. (1981). "Un teorema de resolución topológica". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163–196. doi :10.1007/BF02698689. S2CID 121566364.
^ Akbulut, S.; King, HC (1980). "Una caracterización topológica de variedades algebraicas reales". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 2 (1): 171–173. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .
^ Akbulut, S.; Rey, HC (1981). "Estructuras algebraicas reales sobre espacios topológicos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79–162. doi :10.1007/BF02698688. S2CID 13323578.

Whitehead, JHC (octubre de 1940). "Sobre los complejos C ¹ ". Anales de matemáticas . Segunda serie. 41 (4): 809–824. doi :10.2307/1968861. JSTOR 1968861.
Rudyak, Yuli B. (2001). "Estructuras lineales por partes en variedades topológicas". arXiv : math.AT/0105047 .

[1] Una estructura PL también requiere que el enlace de un símplex sea una PL-esfera. Un ejemplo de triangulación topológica de una variedad que no es una estructura PL es, en dimensión n ≥ 5, la suspensión ( n − 3)-fold de la esfera de Poincaré (con alguna triangulación fija): tiene un símplex cuyo enlace es la esfera de Poincaré, una variedad tridimensional que no es homeomorfa a una esfera, por lo tanto no es una PL-esfera. Véase Triangulación (topología) § Estructuras lineales por partes para más detalles.

[2] Lurie, Jacob (13 de febrero de 2009), Triangulaciones de Whitehead (Conferencia 3) (PDF)

[3] MA Shtan'ko (2001) [1994], "Topología de variedades", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[4] Akbulut, S.; Taylor, L. (1980). "Un teorema de resolución topológica". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 2 (1): 174–176. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14709-6 .

[5] Akbulut, S.; Taylor, L. (1981). "Un teorema de resolución topológica". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 163–196. doi :10.1007/BF02698689. S2CID 121566364.

[6] Akbulut, S.; King, HC (1980). "Una caracterización topológica de variedades algebraicas reales". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . (NS). 2 (1): 171–173. doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14708-4 .

[7] Akbulut, S.; Rey, HC (1981). "Estructuras algebraicas reales sobre espacios topológicos". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 53 (1): 79–162. doi :10.1007/BF02698688. S2CID 13323578.