Vacío theta
Estado de vacío según la teoría de Yang-Mills

En la teoría cuántica de campos , el vacío theta es el estado de vacío semiclásico de las teorías de Yang-Mills no abelianas especificado por el ángulo de vacío θ que surge cuando el estado se escribe como una superposición de un conjunto infinito de estados de vacío topológicamente distintos. Los efectos dinámicos del vacío se capturan en el formalismo lagrangiano a través de la presencia de un término θ que en cromodinámica cuántica conduce al problema de ajuste fino conocido como el problema CP fuerte . Fue descubierto en 1976 por Curtis Callan , Roger Dashen y David Gross , [1] e independientemente por Roman Jackiw y Claudio Rebbi. [2]

Vacío de Yang-Mills

Vacío topológico

La estructura de vacío semiclásica de las teorías de Yang-Mills no abelianas se investiga a menudo en el espacio-tiempo euclidiano en algún calibre fijo como el calibre temporal . Los estados fundamentales clásicos de esta teoría tienen un tensor de intensidad de campo que se desvanece y que corresponde a configuraciones de calibre puras , donde en cada punto del espacio-tiempo hay alguna transformación de calibre que pertenece al grupo de calibre no abeliano . Para asegurar que la acción sea finita, se aproxima a algún valor fijo como . Dado que todos los puntos en el infinito espacial ahora se comportan como un único punto nuevo, la variedad espacial se comporta como una 3-esfera de modo que cada elección de calibre puro para el campo de calibre se describe mediante una aplicación . [3] A 0 = 0 {\displaystyle A_{0}=0} A i = i Ω ∇ i Ω − 1 {\displaystyle A_{i}=i\Omega \nabla _{i}\Omega ^{-1}} Ω ( x ) {\displaystyle \Omega (x)} G {\displaystyle G} Ω ( x ) {\displaystyle \Omega (x)} Ω ∞ {\displaystyle \Omega _{\infty }} | x | → ∞ {\displaystyle |{\boldsymbol {x}}|\rightarrow \infty } R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} S 3 = R 3 ∪ { ∞ } {\displaystyle S^{3}=\mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}} Ω ( x ) : S 3 → G {\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow G}

Cuando cada configuración de estado fundamental puede transformarse suavemente en cualquier otra configuración de estado fundamental a través de una transformación de calibre suave, entonces la teoría tiene un solo estado de vacío, pero si hay configuraciones topológicamente distintas, entonces tiene múltiples vacíos. Esto se debe a que si hay dos configuraciones diferentes que no están conectadas suavemente, entonces para transformar una en la otra se debe pasar por una configuración con un tensor de intensidad de campo que no se desvanece, que tendrá energía distinta de cero. Esto significa que hay una barrera de energía entre los dos vacíos, lo que los hace distintos.

La cuestión de si dos configuraciones de calibre pueden deformarse suavemente entre sí se describe formalmente mediante el grupo de homotopía de la aplicación . Por ejemplo, el grupo de calibre tiene una variedad subyacente de de modo que la aplicación es , que tiene un grupo de homotopía de . Esto significa que cada aplicación tiene un entero asociado con él llamado su número de bobinado , también conocido como su índice de Pontryagin , que describe aproximadamente cuántas veces se asigna el espacio al grupo , y las bobinas negativas ocurren debido a una orientación invertida . Solo las aplicaciones con el mismo número de bobinado pueden deformarse suavemente entre sí y se dice que pertenecen a la misma clase de homotopía. Las transformaciones de calibre que preservan el número de bobinado se denominan transformaciones de calibre pequeñas, mientras que las que cambian el número de bobinado se denominan transformaciones de calibre grandes . [4] Ω ( x ) : S 3 → G {\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow G} G = SU ( 2 ) {\displaystyle G={\text{SU}}(2)} S 3 {\displaystyle S^{3}} Ω ( x ) : S 3 → S 3 {\displaystyle \Omega (x):S^{3}\rightarrow S^{3}} π 3 ( SU ( 2 ) ) = Z {\displaystyle \pi _{3}({\text{SU}}(2))=\mathbb {Z} } S 3 {\displaystyle S^{3}} S 3 {\displaystyle S^{3}}

Para otros grupos de calibración no abelianos, es suficiente centrarse en uno de sus subgrupos, asegurando que . Esto se debe a que cada aplicación de sobre puede deformarse continuamente en una aplicación sobre un subgrupo de , un resultado que se desprende del teorema de Botts . [5] Esto contrasta con los grupos de calibración abelianos, donde cada aplicación puede deformarse en la aplicación constante y, por lo tanto, hay un único estado de vacío conexo. Para una configuración de campo de calibración , siempre se puede calcular su número de bobinado a partir de una integral de volumen que en el calibre temporal está dada por G {\displaystyle G} SU ( 2 ) {\displaystyle {\text{SU}}(2)} π 3 ( G ) = Z {\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} } S 3 {\displaystyle S^{3}} G {\displaystyle G} SU ( 2 ) {\displaystyle {\text{SU}}(2)} G {\displaystyle G} S 3 → U ( 1 ) {\displaystyle S^{3}\rightarrow {\text{U}}(1)} A i {\displaystyle A^{i}}

n = i g 3 24 π 2 ∫ d 3 r   Tr ( ϵ i j k A i A j A k ) , {\displaystyle n={\frac {ig^{3}}{24\pi ^{2}}}\int d^{3}r\ {\text{Tr}}(\epsilon _{ijk}A^{i}A^{j}A^{k}),}

donde es la constante de acoplamiento . Las diferentes clases de estados de vacío con diferentes números de bobinados se denominan vacíos topológicos . g {\displaystyle g} | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle }

Vacío theta

Los vacíos topológicos no son estados de vacío candidatos de las teorías de Yang-Mills, ya que no son estados propios de grandes transformaciones de calibre y, por lo tanto, no son invariantes de calibre. En cambio, actuar sobre el estado con una gran transformación de calibre con número de vueltas lo asignará a un vacío topológico diferente . El vacío verdadero tiene que ser un estado propio de transformaciones de calibre pequeñas y grandes. De manera similar a la forma que toman los estados propios en potenciales periódicos según el teorema de Bloch , el estado de vacío es una suma coherente de vacíos topológicos. | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } Ω m {\displaystyle \Omega _{m}} m {\displaystyle m} Ω m | n ⟩ = | n + m ⟩ {\displaystyle \Omega _{m}|n\rangle =|n+m\rangle }

| θ ⟩ = ∑ n e i n θ | n ⟩ . {\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{n}e^{in\theta }|n\rangle .}

Este conjunto de estados indexados por la variable angular se conocen como θ -vacua . Son estados propios de ambos tipos de transformaciones de calibre ya que ahora . En Yang-Mills puro, cada valor de dará un estado fundamental diferente sobre el que se construyen los estados excitados, lo que conduce a una física diferente. En otras palabras, el espacio de Hilbert se descompone en sectores de superselección ya que los valores esperados de los operadores invariantes de calibre entre dos θ -vacua diferentes se anulan si . [6] θ ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \theta \in [0,2\pi )} Ω m | θ ⟩ = e − i θ m | θ ⟩ {\displaystyle \Omega _{m}|\theta \rangle =e^{-i\theta m}|\theta \rangle } θ {\displaystyle \theta } ⟨ θ | O | θ ′ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \theta |{\mathcal {O}}|\theta '\rangle =0} θ ≠ θ ′ {\displaystyle \theta \neq \theta '}

Las teorías de Yang-Mills exhiben soluciones de acción finita para sus ecuaciones de movimiento llamadas instantones . Son responsables de la tunelización entre diferentes vacíos topológicos con un instantón con número de vueltas siendo responsable de una tunelización desde un vacío topológico a . [7] Los instantones con se conocen como instantones BPST . Sin ninguna tunelización los diferentes θ -vacíos serían degenerados , sin embargo los instantones levantan la degeneración, haciendo que los diferentes θ -vacíos físicamente distintos entre sí. La energía del estado fundamental de los diferentes vacíos se divide para tomar la forma , donde la constante de proporcionalidad dependerá de qué tan fuerte sea la tunelización del instantón. ν {\displaystyle \nu } | n − ⟩ {\displaystyle |n_{-}\rangle } | n + ⟩ = | n − + ν ⟩ {\displaystyle |n_{+}\rangle =|n_{-}+\nu \rangle } ν = ± 1 {\displaystyle \nu =\pm 1} E ( θ ) ∝ cos ⁡ θ {\displaystyle E(\theta )\propto \cos \theta }

La complicada estructura del θ -vacío se puede incorporar directamente al Lagrangiano de Yang-Mills considerando las transiciones vacío-vacío en el formalismo de integral de trayectoria [8].

lim T → ∞ ⟨ θ | e − i H T | θ ⟩ = ∫ D A e i S + i ∫ d 4 x L θ . {\displaystyle \lim _{T\rightarrow \infty }\langle \theta |e^{-iHT}|\theta \rangle =\int {\mathcal {D}}Ae^{iS+i\int d^{4}x{\mathcal {L}}_{\theta }}.}

Aquí está el hamiltoniano, la acción de Yang-Mills, y hay una nueva contribución violatoria de CP al lagrangiano llamada término θ . H {\displaystyle H} S {\displaystyle S} L θ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }}

L θ = θ g 2 32 π 2 Tr [ F μ ν F ~ μ ν ] , {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }=\theta {\frac {g^{2}}{32\pi ^{2}}}{\text{Tr}}[F^{\mu \nu }{\tilde {F}}_{\mu \nu }],}

donde es el tensor de intensidad de campo dual y la traza está sobre los generadores de grupo . Este término es una derivada total, lo que significa que se puede escribir en la forma . A diferencia de otras derivadas totales que se pueden agregar al lagrangiano, esta tiene consecuencias físicas en la física no perturbativa porque no es invariante de calibre. En cromodinámica cuántica, la presencia de este término conduce al problema CP fuerte, ya que da lugar a un momento dipolar eléctrico neutrónico que aún no se ha observado, [9] lo que requiere que el ajuste fino de sea muy pequeño. F ~ μ ν = 1 2 ϵ μ ν ρ σ F ρ σ {\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }} L θ = ∂ μ K μ {\displaystyle {\mathcal {L}}_{\theta }=\partial _{\mu }K^{\mu }} K μ {\displaystyle K^{\mu }} θ {\displaystyle \theta }

Modificación debida a los fermiones

Si en la teoría hay fermiones sin masa, entonces el ángulo de vacío se vuelve inobservable porque los fermiones suprimen la tunelización de instantones entre vacíos topológicos. [10] Esto se puede ver considerando una teoría de Yang-Mills con un solo fermión sin masa . En el formalismo de la integral de trayectorias, la tunelización por un instantón entre dos vacíos topológicos toma la forma ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}

⟨ n | n + ν ⟩ ∼ ∫ D A D ψ D ψ ¯ exp ⁡ ( − ∫ d 4 x 1 2 g 2 tr F μ ν F μ ν + i ψ ¯ D / ψ ) ∼ ∫ D A det ( i D / ) exp ⁡ ( − ∫ d 4 x 1 2 g 2 tr F μ ν F μ ν ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\langle n|n+\nu \rangle &\sim \int {\mathcal {D}}A{\mathcal {D}}\psi {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+i{\bar {\psi }}{D\!\!\!/}\psi {\bigg )}\\&\sim \int {\mathcal {D}}A\det(i{D\!\!\!/})\exp {\bigg (}-\int d^{4}x{\frac {1}{2g^{2}}}{\text{tr}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }{\bigg )}.\end{aligned}}}

Esto difiere del resultado puro de Yang-Mills por el determinante de fermiones adquirido después de integrar sobre los campos fermiónicos. El determinante se desvanece porque el operador de Dirac con fermiones sin masa tiene al menos un valor propio cero para cualquier configuración de instantones. [11] Si bien los instantones ya no contribuyen a la tunelización entre vacíos topológicos, en cambio desempeñan un papel en la violación de la carga axial y, por lo tanto, dan lugar al condensado quiral . Si, en cambio, la teoría tiene fermiones muy ligeros, entonces el término θ todavía está presente, pero sus efectos se suprimen en gran medida, ya que deben ser proporcionales a las masas de los fermiones.

Véase también

Referencias

  1. ^ Callan, CG; Dashen, RF; Gross, DJ (1976). "La estructura del vacío de la teoría de calibre". Physics Letters B . 63 (3): 334–340. Bibcode :1976PhLB...63..334C. doi :10.1016/0370-2693(76)90277-X.
  2. ^ Jackiw, R.; Rebbi, C. (1976). "Periodicidad del vacío en una teoría cuántica de Yang-Mills". Physical Review Letters . 37 (3): 172–175. Código Bibliográfico :1976PhRvL..37..172J. doi :10.1103/PhysRevLett.37.172.
  3. ^ Tong, D. (2018), "3", Notas de clase sobre teoría de calibre
  4. ^ Guidry, MW (1991). "13". Teorías de campos de calibración: una introducción con aplicaciones . Wiley VCH. pág. 447. ISBN 978-0471631170.
  5. ^ Bott, R. (1956). "Una aplicación de la teoría de Morse a la topología de los grupos de Lie". Bulletin de la Société Mathématique de France . 84 : 251–281. doi : 10.24033/bsmf.1472 . ISSN  0037-9484. MR  0087035.
  6. ^ Shifman, M. (2012). "5". Temas avanzados en teoría cuántica de campos: un curso de conferencias . Cambridge: Cambridge University Press. pág. 178. doi :10.1017/CBO9781139013352. ISBN 978-0-521-19084-8.
  7. ^ Coleman, S. (1985). "7". Aspectos de la simetría . Cambridge University Press. págs. 265–350. doi :10.1017/CBO9780511565045. ISBN. 978-0521318273.
  8. ^ Pokorski, S. (2000). "8". Teorías de campos de calibración . Cambridge Monographs in Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge University Press. págs. 287–290. doi :10.1017/CBO9780511612343. ISBN . 978-0537478169.
  9. ^ Baker, CA; Doyle, DD; Geltenbort, P.; Green, K.; van der Grinten, MGD; Harris, PG; Iaydjiev, P.; Ivanov, SN; May, DJR (27 de septiembre de 2006). "Límite experimental mejorado en el momento dipolar eléctrico del neutrón". Physical Review Letters . 97 (13): 131801. arXiv : hep-ex/0602020 . Código Bibliográfico :2006PhRvL..97m1801B. doi :10.1103/PhysRevLett.97.131801. PMID  17026025. S2CID  119431442.
  10. ^ Weinberg, S. (1995). "23". La teoría cuántica de campos: aplicaciones modernas . Vol. 2. Cambridge University Press. págs. 457–458. ISBN 9780521670548.
  11. ^ Witten, E. ; Jackiw, R. ; Treiman, S. ; Zumino, B. (1985). Álgebra actual y anomalías . World Scientific Publishing. págs. 298–300. Código Bibliográfico :1985caa..book.....J. doi :10.1142/0131. ISBN 978-9971966966.
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