Punto cardinal (óptica)

En la óptica gaussiana , los puntos cardinales consisten en tres pares de puntos ubicados en el eje óptico de un sistema óptico rotacionalmente simétrico y focal. Estos son los puntos focales , los puntos principales y los puntos nodales ; hay dos de cada uno. ^[1] Para los sistemas ideales , las propiedades básicas de formación de imágenes, como el tamaño, la ubicación y la orientación de la imagen, están completamente determinadas por las ubicaciones de los puntos cardinales; de hecho, solo son necesarios cuatro puntos: los dos puntos focales y los puntos principales o los puntos nodales. El único sistema ideal que se ha logrado en la práctica es un espejo plano , ^[2] sin embargo, los puntos cardinales se utilizan ampliamente para aproximar el comportamiento de los sistemas ópticos reales. Los puntos cardinales proporcionan una forma de simplificar analíticamente un sistema óptico con muchos componentes, lo que permite determinar aproximadamente las características de formación de imágenes del sistema con cálculos simples.

Los puntos cardinales se encuentran en el eje óptico de un sistema óptico. Cada punto se define por el efecto que el sistema óptico tiene sobre los rayos que pasan por ese punto, en la aproximación paraxial . La aproximación paraxial supone que los rayos viajan en ángulos poco profundos con respecto al eje óptico, de modo que , , y . ^[3] Los efectos de apertura se ignoran: los rayos que no pasan a través del diafragma del sistema no se consideran en la discusión a continuación.${\textstyle \sin \theta \approx \theta }$ ${\textstyle \tan \theta \aprox \theta }$${\textstyle \cos \theta \aproximadamente 1}$

El punto focal delantero de un sistema óptico, por definición, tiene la propiedad de que cualquier rayo que pase a través de él emergerá del sistema paralelo al eje óptico . El punto focal trasero (o posterior) del sistema tiene la propiedad inversa: los rayos que entran al sistema paralelos al eje óptico se enfocan de tal manera que pasan a través del punto focal trasero.

Los planos focales delantero y trasero (o trasero) se definen como los planos perpendiculares al eje óptico que pasan por los puntos focales delantero y trasero. Un objeto infinitamente alejado del sistema óptico forma una imagen en el plano focal trasero. Para un objeto a una distancia finita, la imagen se forma en un lugar diferente, pero los rayos que salen del objeto paralelos entre sí se cruzan en el plano focal trasero.

Un diafragma o "stop" en el plano focal posterior de una lente se puede utilizar para filtrar rayos por ángulo, ya que una abertura centrada en el eje óptico solo dejará pasar los rayos que fueron emitidos desde el objeto en un ángulo suficientemente pequeño con respecto al eje óptico. El uso de una abertura suficientemente pequeña en el plano focal posterior hará que la lente sea telecéntrica en el espacio del objeto .

De manera similar, el rango permitido de ángulos en el lado de salida del lente se puede filtrar colocando una apertura en el plano focal frontal del lente (o un grupo de lentes dentro del lente general), y una apertura suficientemente pequeña hará que el lente sea telecéntrico en el espacio de la imagen . Esto es importante para las cámaras DSLR que tienen sensores CCD . Los píxeles de estos sensores son más sensibles a los rayos que los golpean directamente que a los que los golpean en ángulo. Un lente que no controla el ángulo de incidencia en el detector producirá viñeteado de píxeles en las imágenes.

Los dos planos principales de una lente tienen la propiedad de que un rayo que emerge de la lente parece haber cruzado el plano principal posterior a la misma distancia del eje óptico que el rayo parecía haber cruzado el plano principal frontal, visto desde la parte frontal de la lente. Esto significa que la lente puede ser tratada como si toda la refracción ocurriera en los planos principales y los rayos viajaran paralelos al eje óptico entre los planos. (La magnificación lineal entre los planos principales es +1). Los planos principales son cruciales para definir las propiedades de un sistema óptico, ya que la magnificación del sistema está determinada por la distancia desde un objeto hasta el plano principal frontal y la distancia desde el plano principal posterior hasta la imagen del objeto. Los puntos principales son los puntos donde los planos principales cruzan el eje óptico.

Si el medio que rodea a un sistema óptico tiene un índice de refracción de 1 (por ejemplo, aire o vacío ), entonces la distancia desde cada plano principal hasta el punto focal correspondiente es simplemente la longitud focal del sistema. En el caso más general, la distancia a los focos es la longitud focal multiplicada por el índice de refracción del medio.

Para una sola lente rodeada por un medio de índice de refracción n = 1 , las ubicaciones de los puntos principales H y H ′ con respecto a los vértices respectivos de la lente se dan mediante las fórmulas donde f es la longitud focal de la lente, d es su espesor y r ₁ y r ₂ son los radios de curvatura de sus superficies. Los signos positivos indican distancias a la derecha del vértice correspondiente y los negativos a la izquierda. ^[4]$${\displaystyle {\begin{aligned}H&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{2}n}}\\H'&=-{\frac {f(n-1)d}{r_{1}n}},\end{aligned}}}$$

En el caso de una lente delgada en el aire, los planos principales se encuentran en la posición de la lente. El punto en el que cruzan el eje óptico a veces se denomina, de manera engañosa, centro óptico de la lente. En el caso de una lente real, los planos principales no pasan necesariamente por el centro de la lente e incluso pueden estar fuera de ella.

Los puntos nodales delantero y trasero de una lente tienen la propiedad de que un rayo dirigido a uno de ellos será refractado por la lente de tal manera que parece provenir del otro con el mismo ángulo con respecto al eje óptico. (La magnificación angular entre los puntos nodales es +1). Por lo tanto, los puntos nodales hacen con los ángulos lo que los planos principales hacen con la distancia transversal. Si el medio en ambos lados de un sistema óptico es el mismo (por ejemplo, aire o vacío), entonces los puntos nodales delantero y trasero coinciden con los puntos principales delantero y trasero, respectivamente.

El artículo original de Gauss de 1841 solo analizaba los rayos principales que pasaban por los puntos focales. Un colega, Johann Listing , fue el primero en describir los puntos nodales en 1845 para evaluar el ojo humano, donde la imagen está en un fluido. ^[5] Los puntos cardinales se incluyeron todos en un solo diagrama ya en 1864 (Donders), con el objeto en el aire y la imagen en un medio diferente.

Los puntos nodales caracterizan un rayo que pasa por el centro de una lente sin ninguna desviación angular. Para una lente en el aire con el diafragma en los planos principales, este sería un rayo principal ya que los puntos nodales y los puntos principales coinciden en este caso. Esto es un añadido valioso por derecho propio a lo que se ha dado en llamar "óptica gaussiana", y si la imagen estuviera en un fluido, entonces ese mismo rayo se refractaría en el nuevo medio, como lo hace en el diagrama de la derecha. Un rayo que pasa por los puntos nodales tiene partes de entrada y salida paralelas (azul). Un método simple para encontrar el punto nodal posterior para una lente con aire en un lado y fluido en el otro es tomar la distancia focal posterior f ′ y dividirla por el índice del medio de imagen, lo que da la distancia focal efectiva (EFL) de la lente. La EFL es la distancia desde el punto nodal posterior hasta el punto focal posterior.

La potencia de una lente es igual a 1/EFL o n ′ / f ′ . Para luz colimada, una lente podría colocarse en el aire en el segundo punto nodal de un sistema óptico para dar las mismas propiedades paraxiales que un sistema de lentes original con una imagen en fluido. ^{[5] [6]} La potencia de todo el ojo es de aproximadamente 60 dioptrías , por ejemplo. De manera similar, una lente utilizada totalmente en fluido, como una lente intraocular , tiene la misma definición de potencia, con un valor promedio de aproximadamente 21 dioptrías.

El ojo en sí tiene un segundo uso especial del punto nodal que tiende a quedar oscurecido por las discusiones sobre paraxiales. La córnea y la retina son muy curvas, a diferencia de la mayoría de los sistemas de imágenes, y el diseño óptico del ojo tiene la propiedad de que se puede utilizar una "línea de dirección" paralela a los rayos de entrada para encontrar la ampliación o para escalar las ubicaciones de la retina. Esta línea pasa aproximadamente por el segundo punto nodal, pero en lugar de ser un rayo paraxial real, identifica la imagen formada por los haces de rayos que pasan por el centro de la pupila. La terminología proviene de Volkmann en 1836, ^[7] pero la mayoría de las discusiones implican incorrectamente que las propiedades paraxiales de los rayos se extienden a ángulos muy grandes, en lugar de reconocer esto como una propiedad única del diseño del ojo. Esta propiedad de escala es bien conocida, muy útil y muy simple: los ángulos dibujados con una regla centrada en el polo posterior del cristalino en una sección transversal del ojo pueden escalar aproximadamente la retina en más de un hemisferio entero. Recién en la década del 2000 se hicieron evidentes las limitaciones de esta aproximación, con una exploración de por qué algunos pacientes que usan lentes intraoculares (LIO) ven sombras oscuras en la periferia lejana (disfotopsia negativa, que probablemente se debe a que la LIO es mucho más pequeña que el cristalino natural). ^{[ cita requerida ]}

El centro óptico de una lente esférica es un punto tal que si un rayo pasa a través de él, su ángulo de salida de la lente con respecto al eje óptico no se desvía del ángulo de entrada de la lente.

En la figura de la derecha, ^[8] los puntos A y B son donde las líneas paralelas de los radios de curvatura R ₁ y R ₂ se encuentran con las superficies de la lente. Como resultado, las líneas discontinuas tangentes a las superficies en A y B también son paralelas. Debido a que dos triángulos OBC ₂ y OAC ₁ son similares (es decir, sus ángulos son iguales), . En cualquier elección de A y B , los radios de curvatura y son iguales y las ubicaciones del centro de curvatura y también son iguales. Como resultado, la ubicación del centro óptico O , definida por la relación en el eje óptico, es fija para una lente dada.${\textstyle {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {OC_{2}}}}={\frac {\overline {R_{1}}}{\overline {OC_{1}}}}\rightarrow {\frac {\overline {R_{2}}}{\overline {R_{1}}}}={\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$${\textstyle {\overline {R_ {1}}}}$${\displaystyle {\overline {R_{2}}}}$${\textstyle C_{1}}$${\textstyle C_{2}}$${\textstyle {\frac {\overline {OC_{2}}}{\overline {OC_{1}}}}}$

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Los puntos nodales son ampliamente malinterpretados en fotografía , donde comúnmente se afirma que los rayos de luz "se cruzan" en "el punto nodal", que el diafragma iris de la lente se encuentra allí y que este es el punto de pivote correcto para la fotografía panorámica , para evitar el error de paralaje . ^{[9] [10] [11]} Estas afirmaciones generalmente surgen de la confusión sobre la óptica de las lentes de la cámara, así como de la confusión entre los puntos nodales y los otros puntos cardinales del sistema. Se puede demostrar que una mejor elección del punto sobre el cual pivotar una cámara para fotografía panorámica es el centro de la pupila de entrada del sistema . ^{[9] [10] [11]} Por otro lado, las cámaras de lente oscilante con posición de película fija giran la lente sobre el punto nodal trasero para estabilizar la imagen en la película. ^{[11] [12]}

En óptica, los vértices de superficie son los puntos en los que cada superficie óptica cruza el eje óptico. Son importantes principalmente porque son parámetros físicamente medibles para las posiciones de los elementos ópticos, por lo que las posiciones de los puntos cardinales del sistema óptico deben conocerse con respecto a los vértices de superficie para describir el sistema.

En anatomía , los vértices superficiales del cristalino del ojo se denominan polos anterior y posterior del cristalino. ^[13]

En óptica geométrica , por cada rayo de objeto que entra en un sistema óptico, sale del sistema un único rayo de imagen. En términos matemáticos, el sistema óptico realiza una transformación que asigna cada rayo de objeto a un rayo de imagen. ^[1] Se dice que el rayo de objeto y su rayo de imagen asociado son conjugados entre sí. Este término también se aplica a pares correspondientes de puntos y planos de objeto e imagen. Se considera que los rayos, puntos y planos de objeto e imagen están en dos espacios ópticos distintos , el espacio de objeto y el espacio de imagen ; también se pueden utilizar espacios ópticos intermedios adicionales.

Un sistema óptico es rotacionalmente simétrico si sus propiedades de formación de imágenes no cambian con ninguna rotación alrededor de algún eje. Este eje (único) de simetría rotacional es el eje óptico del sistema. Los sistemas ópticos se pueden plegar utilizando espejos planos; el sistema se considera rotacionalmente si posee simetría rotacional cuando se despliega. Cualquier punto en el eje óptico (en cualquier espacio) es un punto axial .

La simetría rotacional simplifica enormemente el análisis de sistemas ópticos, que de otro modo se deben analizar en tres dimensiones. La simetría rotacional permite analizar el sistema considerando únicamente rayos confinados en un único plano transversal que contiene el eje óptico. Este plano se denomina plano meridional y es una sección transversal del sistema.

Un sistema de imágenes ópticas ideal , rotacionalmente simétrico, debe cumplir tres criterios:

1. Todos los rayos que se "originan" en cada punto del objeto convergen en un único y único punto de imagen; la formación de imágenes es estigmática .
2. Los planos de objeto perpendiculares al eje óptico son conjugados a los planos de imagen perpendiculares al eje.
3. La imagen de un objeto confinado a un plano normal al eje es geométricamente similar al objeto.

En algunos sistemas ópticos, la formación de imágenes es estigmática para uno o quizás unos pocos puntos del objeto, pero para que sea un sistema ideal, la formación de imágenes debe ser estigmática para cada punto del objeto. En un sistema ideal, cada punto del objeto se asigna a un punto de imagen diferente.

A diferencia de los rayos en matemáticas , los rayos ópticos se extienden hasta el infinito en ambas direcciones. Los rayos son reales cuando están en la parte del sistema óptico a la que se aplican, y son virtuales en el resto. Por ejemplo, los rayos de objetos son reales en el lado del objeto del sistema óptico, mientras que los rayos de imágenes son reales en el lado de la imagen del sistema. En la formación de imágenes estigmáticas, un rayo de objeto que interseca cualquier punto específico en el espacio de objetos debe ser conjugado con un rayo de imagen que interseca el punto conjugado en el espacio de imagen. Una consecuencia es que cada punto de un rayo de objeto es conjugado con algún punto del rayo de imagen conjugado.

La similitud geométrica implica que la imagen es un modelo a escala del objeto. No hay ninguna restricción en cuanto a la orientación de la imagen; la imagen puede estar invertida o rotada de otro modo con respecto al objeto.

Los sistemas afocales no tienen puntos focales, puntos principales ni puntos nodales. En dichos sistemas, un rayo objeto paralelo al eje óptico es conjugado con un rayo imagen paralelo al eje óptico. Un sistema es focal si un rayo objeto paralelo al eje es conjugado con un rayo imagen que interseca el eje óptico. La intersección del rayo imagen con el eje óptico es el punto focal F ′ en el espacio imagen. Los sistemas focales también tienen un punto objeto axial F de modo que cualquier rayo que pase por F es conjugado con un rayo imagen paralelo al eje óptico. F es el punto focal del espacio objeto del sistema.

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La transformación entre el espacio del objeto y el espacio de la imagen está completamente definida por los puntos cardinales del sistema, y ​​estos puntos pueden usarse para mapear cualquier punto del objeto a su punto de imagen conjugado.

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