Universo (matemáticas)

En matemáticas , y particularmente en la teoría de conjuntos , la teoría de categorías , la teoría de tipos y los fundamentos de las matemáticas , un universo es una colección que contiene todas las entidades que uno desea considerar en una situación dada.

En la teoría de conjuntos, los universos son a menudo clases que contienen (como elementos ) todos los conjuntos para los que se espera demostrar un teorema particular . Estas clases pueden servir como modelos internos para varios sistemas axiomáticos como ZFC o la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . Los universos son de importancia crítica para formalizar conceptos en la teoría de categorías dentro de los fundamentos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, el ejemplo canónico motivador de una categoría es Conjunto , la categoría de todos los conjuntos, que no se puede formalizar en una teoría de conjuntos sin alguna noción de un universo.

En la teoría de tipos, un universo es un tipo cuyos elementos son tipos.

Tal vez la versión más simple es que cualquier conjunto puede ser un universo, siempre que el objeto de estudio esté confinado a ese conjunto en particular. Si el objeto de estudio está formado por los números reales , entonces la línea real R , que es el conjunto de números reales, podría ser el universo en consideración. Implícitamente, este es el universo que Georg Cantor estaba usando cuando desarrolló por primera vez la teoría ingenua de conjuntos moderna y la cardinalidad en las décadas de 1870 y 1880 en aplicaciones al análisis real . Los únicos conjuntos en los que Cantor estaba interesado originalmente eran los subconjuntos de R .

Este concepto de universo se refleja en el uso de los diagramas de Venn . En un diagrama de Venn, la acción tradicionalmente tiene lugar dentro de un gran rectángulo que representa el universo U. Generalmente se dice que los conjuntos se representan por círculos; pero estos conjuntos solo pueden ser subconjuntos de U. El complemento de un conjunto A viene dado entonces por la porción del rectángulo fuera del círculo de A. Estrictamente hablando, este es el complemento relativo U \ A de A con respecto a U ; pero en un contexto donde U es el universo, puede considerarse como el complemento absoluto A ^C de A. De manera similar, existe una noción de intersección nularia , que es la intersección de conjuntos cero (es decir, sin conjuntos, no conjuntos nulos ).

Sin un universo, la intersección nularia sería el conjunto de absolutamente todo, lo que generalmente se considera imposible; pero con el universo en mente, la intersección nularia puede tratarse como el conjunto de todo lo que se considera, que es simplemente U . Estas convenciones son bastante útiles en el enfoque algebraico de la teoría de conjuntos básica, basada en redes booleanas . Excepto en algunas formas no estándar de teoría de conjuntos axiomática (como New Foundations ), la clase de todos los conjuntos no es una red booleana (es solo una red relativamente complementada ).

En cambio, la clase de todos los subconjuntos de U , llamada el conjunto potencia de U , es una red booleana. El complemento absoluto descrito anteriormente es la operación de complemento en la red booleana; y U , como intersección nularia, sirve como el elemento superior (o encuentro nulario ) en la red booleana. Entonces, las leyes de De Morgan , que tratan sobre complementos de encuentros y uniones (que son uniones en la teoría de conjuntos) se aplican, y se aplican incluso al encuentro nulario y la unión nulario (que es el conjunto vacío ).

Sin embargo, una vez que se consideran los subconjuntos de un conjunto dado X (en el caso de Cantor, X = R ), el universo puede necesitar ser un conjunto de subconjuntos de X . (Por ejemplo, una topología en X es un conjunto de subconjuntos de X .) Los diversos conjuntos de subconjuntos de X no serán en sí mismos subconjuntos de X sino que serán subconjuntos de P X , el conjunto potencia de X . Esto puede continuar; el objeto de estudio puede consistir a continuación en tales conjuntos de subconjuntos de X , y así sucesivamente, en cuyo caso el universo será P ( P X ). En otra dirección, pueden considerarse las relaciones binarias en X (subconjuntos del producto cartesiano X × X ) , o funciones de X a sí mismo, requiriendo universos como P ( X × X ) o X ^X .

Por lo tanto, incluso si el interés principal es X , el universo podría tener que ser considerablemente más grande que X. Siguiendo las ideas anteriores, uno podría querer que la superestructura sobre X fuera el universo. Esto puede definirse por recursión estructural de la siguiente manera:

• Sea S ₀ X el mismo X.
• Sea S ₁ X la unión de X y P X .
• Sea S ₂ X la unión de S ₁ X y P ( S ₁ X ).
• En general, sea S _{n +1} X la unión de S _n X y P ( S _n X ).

Entonces la superestructura sobre X , escrita S X , es la unión de S ₀ X , S ₁ X , S ₂ X , y así sucesivamente; o

${\displaystyle \mathbf {S} X:=\bigcup _{i=0}^{\infty }\mathbf {S} _{i}X{\mbox{.}}\!}$

No importa qué conjunto X sea el punto de partida, el conjunto vacío {} pertenecerá a S ₁ X . El conjunto vacío es el ordinal de von Neumann [0]. Entonces {[0]}, el conjunto cuyo único elemento es el conjunto vacío, pertenecerá a S ₂ X ; este es el ordinal de von Neumann [1]. De manera similar, {[1]} pertenecerá a S ₃ X , y por lo tanto también pertenecerá {[0],[1]}, como la unión de {[0]} y {[1]}; este es el ordinal de von Neumann [2]. Continuando este proceso, cada número natural se representa en la superestructura por su ordinal de von Neumann. A continuación, si x e y pertenecen a la superestructura, entonces también lo hace {{ x },{ x , y }}, que representa el par ordenado ( x , y ). Por lo tanto, la superestructura contendrá los diversos productos cartesianos deseados. Entonces la superestructura también contiene funciones y relaciones , ya que estas pueden representarse como subconjuntos de productos cartesianos. El proceso también da n -tuplas ordenadas, representadas como funciones cuyo dominio es el ordinal de von Neumann [ n ], y así sucesivamente.

Así, si el punto de partida es simplemente X = {}, una gran parte de los conjuntos necesarios para las matemáticas aparecen como elementos de la superestructura sobre {}. Pero cada uno de los elementos de S {} será un conjunto finito . Cada uno de los números naturales pertenece a él, pero el conjunto N de todos los números naturales no (aunque es un subconjunto de S {}). De hecho, la superestructura sobre {} consiste en todos los conjuntos finitos hereditarios . Como tal, puede considerarse el universo de las matemáticas finitistas . Hablando anacrónicamente, se podría sugerir que el finitista del siglo XIX Leopold Kronecker estaba trabajando en este universo; él creía que cada número natural existía pero que el conjunto N (un " infinito completo ") no.

Sin embargo, S {} no es satisfactorio para los matemáticos ordinarios (que no son finitistas), porque aunque N puede estar disponible como un subconjunto de S {}, aún así el conjunto potencia de N no lo está. En particular, no están disponibles conjuntos arbitrarios de números reales. Por lo tanto, puede ser necesario comenzar el proceso de nuevo y formar S ( S {}). Sin embargo, para simplificar las cosas, uno puede tomar el conjunto N de números naturales como dado y formar SN , la superestructura sobre N . Esto a menudo se considera el universo de las matemáticas ordinarias . La idea es que todas las matemáticas que se estudian ordinariamente se refieren a elementos de este universo. Por ejemplo, cualquiera de las construcciones habituales de los números reales (digamos por cortes de Dedekind ) pertenece a SN . Incluso se puede realizar un análisis no estándar en la superestructura sobre un modelo no estándar de los números naturales.

Hay un ligero cambio en la filosofía con respecto a la sección anterior, donde el universo era cualquier conjunto U de interés. Allí, los conjuntos que se estudiaban eran subconjuntos del universo; ahora, son miembros del universo. Por lo tanto, aunque P ( S X ) es una red booleana, lo que es relevante es que S X en sí no lo es. En consecuencia, es raro aplicar las nociones de redes booleanas y diagramas de Venn directamente al universo de superestructura como lo fueron para los universos de conjuntos potencia de la sección anterior. En cambio, uno puede trabajar con las redes booleanas individuales P A , donde A es cualquier conjunto relevante que pertenece a S X ; entonces P A es un subconjunto de S X (y de hecho pertenece a S X ). En el caso de Cantor X = R en particular, no hay disponibles conjuntos arbitrarios de números reales, por lo que puede ser necesario comenzar el proceso de nuevo.

Es posible dar un significado preciso a la afirmación de que SN es el universo de las matemáticas ordinarias; es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo , la teoría axiomática de conjuntos desarrollada originalmente por Ernst Zermelo en 1908. La teoría de conjuntos de Zermelo tuvo éxito precisamente porque fue capaz de axiomatizar las matemáticas "ordinarias", cumpliendo el programa iniciado por Cantor más de 30 años antes. Pero la teoría de conjuntos de Zermelo resultó insuficiente para el desarrollo posterior de la teoría axiomática de conjuntos y otros trabajos sobre los fundamentos de las matemáticas , especialmente la teoría de modelos .

Como ejemplo dramático, la descripción del proceso de superestructura anterior no puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos de Zermelo. El paso final, formar S como una unión infinitaria, requiere el axioma de reemplazo , que se agregó a la teoría de conjuntos de Zermelo en 1922 para formar la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el conjunto de axiomas más ampliamente aceptado en la actualidad. Por lo tanto, si bien las matemáticas ordinarias se pueden hacer en SN , el análisis de SN va más allá de lo "ordinario", hacia la metamatemática .

Pero si se introduce la teoría de conjuntos de alta potencia, el proceso de superestructura anterior se revela como meramente el comienzo de una recursión transfinita . Volviendo a X = {}, el conjunto vacío, e introduciendo la notación (estándar) V _i para S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {}, y así sucesivamente como antes. Pero lo que solía llamarse "superestructura" es ahora simplemente el siguiente elemento de la lista: V _ω , donde ω es el primer número ordinal infinito . Esto se puede extender a números ordinales arbitrarios :

${\displaystyle V_{i}:=\bigcup _{j<i}\mathbf {P} V_{j}\!}$

define V _i para cualquier número ordinal i . La unión de todos los V _i es el universo de von Neumann V :

${\displaystyle V:=\bigcup _{i}V_{i}\!}$.

Cada individuo V _i es un conjunto, pero su unión V es una clase propia . El axioma de fundamento , que se añadió a la teoría de conjuntos ZF aproximadamente al mismo tiempo que el axioma de reemplazo, dice que todo conjunto pertenece a V .

El universo construible L de Kurt Gödel y el axioma de constructibilidad

Los cardinales inaccesibles producen modelos de ZF y, a veces, axiomas adicionales, y son equivalentes a la existencia del conjunto del universo de Grothendieck.

En una interpretación de la lógica de primer orden , el universo (o dominio del discurso) es el conjunto de individuos (constantes individuales) sobre los que se extienden los cuantificadores . Una proposición como ∀ x ( x ² ≠ 2) es ambigua, si no se ha identificado ningún dominio del discurso. En una interpretación, el dominio del discurso podría ser el conjunto de números reales ; en otra interpretación, podría ser el conjunto de números naturales . Si el dominio del discurso es el conjunto de números reales, la proposición es falsa, con x = √ 2 como contraejemplo; si el dominio es el conjunto de números naturales, la proposición es verdadera, ya que 2 no es el cuadrado de ningún número natural.

Existe otra aproximación a los universos que está históricamente conectada con la teoría de categorías . Se trata de la idea de un universo de Grothendieck . En términos generales, un universo de Grothendieck es un conjunto dentro del cual se pueden realizar todas las operaciones habituales de la teoría de conjuntos. Esta versión de un universo se define como cualquier conjunto para el cual se cumplan los siguientes axiomas: ^[1]

1. ${\displaystyle x\en u\en U}$implica${\displaystyle x\en U}$
2. ${\displaystyle u\en U}$e implican { u , v }, ( u , v ), y .${\displaystyle v\en U}$${\displaystyle u\veces v\en U}$
3. ${\displaystyle x\en U}$implica y${\displaystyle {\mathcal {P}}x\in U}$${\displaystyle \cup x\en U}$
4. ${\displaystyle \omega \en U}$(aquí está el conjunto de todos los ordinales finitos ).${\displaystyle \omega =\{0,1,2,...\}}$
5. Si es una función sobreyectiva con y , entonces .${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle a\en U}$${\displaystyle b\subconjunto U}$${\displaystyle b\en U}$

El uso más común de un universo de Grothendieck U es tomar U como reemplazo de la categoría de todos los conjuntos. Se dice que un conjunto S es U - pequeño si S ∈ U , y U - grande en caso contrario. La categoría U - Conjunto de todos los conjuntos U - pequeños tiene como objetos todos los conjuntos U - pequeños y como morfismos todas las funciones entre estos conjuntos. Tanto el conjunto de objetos como el conjunto de morfismos son conjuntos, por lo que se hace posible discutir la categoría de "todos" los conjuntos sin invocar clases propias. Luego se hace posible definir otras categorías en términos de esta nueva categoría. Por ejemplo, la categoría de todas las categorías U - pequeñas es la categoría de todas las categorías cuyo conjunto de objetos y cuyo conjunto de morfismos están en U . Entonces los argumentos usuales de la teoría de conjuntos son aplicables a la categoría de todas las categorías, y uno no tiene que preocuparse por hablar accidentalmente de clases propias. Debido a que los universos de Grothendieck son extremadamente grandes, esto es suficiente en casi todas las aplicaciones.

A menudo, cuando se trabaja con universos de Grothendieck, los matemáticos asumen el Axioma de Universos : "Para cualquier conjunto x , existe un universo U tal que x ∈ U ". El punto de este axioma es que cualquier conjunto que uno encuentre es entonces U -pequeño para algún U , por lo que cualquier argumento realizado en un universo general de Grothendieck puede aplicarse. ^[2] Este axioma está estrechamente relacionado con la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles .

En algunas teorías de tipos, especialmente en sistemas con tipos dependientes , los tipos mismos pueden considerarse términos . Existe un tipo llamado universo (a menudo denotado como ) que tiene tipos como sus elementos. Para evitar paradojas como la paradoja de Girard (un análogo de la paradoja de Russell para la teoría de tipos), las teorías de tipos a menudo están equipadas con una jerarquía infinita numerable de tales universos, donde cada universo es un término del siguiente. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Hay al menos dos tipos de universos que se pueden considerar en la teoría de tipos: universos de estilo Russell (llamados así por Bertrand Russell ) y universos de estilo Tarski (llamados así por Alfred Tarski ). ^{[3] [4] [5]} Un universo de estilo Russell es un tipo cuyos términos son tipos. ^[3] Un universo de estilo Tarski es un tipo junto con una operación de interpretación que nos permite considerar sus términos como tipos. ^[3]

Por ejemplo: ^[6]

La apertura de la teoría de tipos de Martin-Löf se manifiesta particularmente en la introducción de los llamados universos. Los universos de tipos encapsulan la noción informal de reflexión, cuyo papel puede explicarse de la siguiente manera. Durante el desarrollo de una formalización particular de la teoría de tipos, el teórico de tipos puede mirar hacia atrás a las reglas para los tipos, digamos C, que se han introducido hasta ahora y realizar el paso de reconocer que son válidas de acuerdo con la semántica informal de la explicación del significado de Martin-Löf . Este acto de "introspección" es un intento de tomar conciencia de las concepciones que han gobernado nuestras construcciones en el pasado. Da lugar a un " principio de reflexión que, en términos generales, dice que todo lo que estamos acostumbrados a hacer con los tipos se puede hacer dentro de un universo" (Martin-Löf 1975, 83). En el nivel formal, esto conduce a una extensión de la formalización existente de la teoría de tipos en el sentido de que las capacidades de formación de tipos de C quedan consagradas en un universo de tipos U _C que refleja C.

• Conglomerado (matemáticas)
• Dominio del discurso
• El universo de Grothendieck
• El universo de Herbrand
• Objeto libre
• Fórmula abierta
• Espacio (matemáticas)

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Springer-Verlag New York, Inc.

• "Universo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Conjunto universal". MundoMatemático .