Matriz unitaria

En álgebra lineal , una matriz cuadrada compleja invertible U es unitaria si su matriz inversa U ⁻¹ es igual a su transpuesta conjugada U ^* , es decir, si

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

donde I es la matriz identidad .

En física, especialmente en mecánica cuántica, la transpuesta conjugada se denomina adjunta hermítica de una matriz y se denota con una daga (†), por lo que la ecuación anterior se escribe

$${\displaystyle U^{\daga }U=UU^{\daga }=I.}$$

Una matriz compleja U es unitaria especial si es unitaria y su determinante matricial es igual a 1 .

Para los números reales , el análogo de una matriz unitaria es una matriz ortogonal . Las matrices unitarias tienen una importancia significativa en la mecánica cuántica porque preservan las normas y, por lo tanto, las amplitudes de probabilidad .

Para cualquier matriz unitaria U de tamaño finito, se cumple lo siguiente:

• Dados dos vectores complejos x e y , la multiplicación por U preserva su producto interno ; es decir, ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• U es normal ( ).${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• U es diagonalizable , es decir, U es unitariamente semejante a una matriz diagonal, como consecuencia del teorema espectral . Por lo tanto, U tiene una descomposición de la forma donde V es unitaria y D es diagonal y unitaria.${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ${\displaystyle \izquierda|\det(U)\derecha|=1}$. Es decir, estará en el círculo unitario del plano complejo.${\displaystyle \det(U)}$
• Sus espacios propios son ortogonales.
• U se puede escribir como U = e ^iH , donde e indica la matriz exponencial , i es la unidad imaginaria y H es una matriz hermítica .

Para cualquier entero no negativo n , el conjunto de todas las matrices unitarias n  ×  n con multiplicación de matrices forma un grupo , llamado grupo unitario U( n ) .

Toda matriz cuadrada con norma euclidiana unitaria es el promedio de dos matrices unitarias. ^[1]

Si U es una matriz cuadrada compleja, entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ^[2]

1. ${\estilo de visualización U}$es unitario.
2. ${\displaystyle U^{*}}$ es unitario.
3. ${\estilo de visualización U}$es invertible con .${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. Las columnas de forman una base ortonormal de con respecto al producto interno habitual. En otras palabras, .${\estilo de visualización U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. Las filas de forman una base ortonormal de con respecto al producto interno habitual. En otras palabras, .${\estilo de visualización U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle UU^{*}=Yo}$
6. ${\estilo de visualización U}$es una isometría respecto de la norma usual. Es decir, para todo , donde .${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\estilo de visualización U}$es una matriz normal (equivalentemente, existe una base ortonormal formada por vectores propios de ) con valores propios que se encuentran en el círculo unitario .${\estilo de visualización U}$

Una expresión general de una matriz unitaria de 2 × 2 es

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,}$$

que depende de 4 parámetros reales (la fase de a , la fase de b , la magnitud relativa entre a y b , y el ángulo φ ). La forma está configurada de modo que el determinante de dicha matriz sea$${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }~.}$$

El subgrupo de aquellos elementos con se llama grupo unitario especial SU(2).${\estilo de visualización \ U\}$${\displaystyle \\det(U)=1\}$

Entre varias formas alternativas, la matriz U se puede escribir en esta forma:$${\displaystyle \ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{- i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,}$$

donde y arriba, y los ángulos pueden tomar cualquier valor.${\displaystyle \ e^{i\alpha }\cos \theta =a\ }$${\displaystyle \ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,}$${\displaystyle \ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \ }$

Introduciendo y tiene la siguiente factorización:${\displaystyle \ \alpha =\psi +\delta \ }$${\displaystyle \ \beta =\psi -\delta \ ,}$

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} \cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i \delta }\end{bmatrix}}~.}$$

Esta expresión resalta la relación entre matrices unitarias 2 × 2 y matrices ortogonales 2 × 2 de ángulo θ .

Otra factorización es ^[3]

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.}$$

Son posibles muchas otras factorizaciones de una matriz unitaria en matrices básicas. ^{[4] [5] [6] [7] [8] [9]}

• Weisstein, Eric W. "Matriz unitaria". MathWorld . Todd Rowland.
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Matriz unitaria", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• "Muestra que los valores propios de una matriz unitaria tienen módulo 1". Stack Exchange . 28 de marzo de 2016.