Multiplicación y suma repetida

En la enseñanza de las matemáticas , se debatió si la operación de multiplicación debería enseñarse como una forma de adición repetida . Los participantes en el debate plantearon múltiples perspectivas, entre ellas los axiomas de la aritmética, la pedagogía, el diseño didáctico y de aprendizaje, la historia de las matemáticas, la filosofía de las matemáticas y las matemáticas basadas en ordenadores.

A principios de los años 1990, Leslie Steffe propuso el esquema de conteo que utilizan los niños para asimilar la multiplicación en su conocimiento matemático. Jere Confrey contrastó el esquema de conteo con la conjetura de la división. Confrey sugirió que el conteo y la división son dos primitivas cognitivas separadas e independientes. Esto provocó debates académicos en forma de presentaciones en conferencias, artículos y capítulos de libros. ^[1]

El debate se originó con la difusión de programas de estudio que enfatizaban tareas matemáticas de escala, zoom, plegado y medición en los primeros años. Dichas tareas requieren y respaldan modelos de multiplicación que no se basan en el conteo o la suma repetida. A mediados de la década de 1990, aparecieron debates en torno a la pregunta "¿Es la multiplicación realmente una suma repetida?" en foros de discusión para padres y maestros. ^{[ cita requerida ]}

Keith Devlin escribió una columna para la Asociación Matemática de Estados Unidos titulada "No es una suma repetida" que siguió a sus intercambios de correo electrónico con los profesores, después de haber mencionado brevemente el tema en un artículo anterior. ^[2] La columna vinculó los debates académicos con los debates de los profesionales. Desencadenó múltiples discusiones en blogs y foros de investigación y profesionales. Keith Devlin ha seguido escribiendo sobre este tema. ^{[3] [4] [5]}

En los programas y estándares típicos de matemáticas, como la Iniciativa de Estándares Estatales Básicos Comunes , el significado del producto de números reales pasa por una serie de nociones que generalmente comienzan con la suma repetida y finalmente residen en la escala.

Una vez que se han definido los números naturales (o enteros) y se los ha comprendido como un medio para contar, se introduce al niño en las operaciones básicas de la aritmética, en este orden: suma, resta, multiplicación y división. Estas operaciones, aunque se introducen en una etapa muy temprana de la educación matemática del niño, tienen un impacto duradero en el desarrollo del sentido numérico de los estudiantes como habilidades numéricas avanzadas.

En estos programas, la multiplicación se introduce inmediatamente después de plantear preguntas relacionadas con la suma repetida, como: "Hay 3 bolsas de 8 manzanas cada una. ¿Cuántas manzanas hay en total?" Un estudiante puede hacer:

${\estilo de visualización 8+8+8=24,}$

o elige la alternativa

${\displaystyle 3\times 8=24.}$

Este enfoque se ha utilizado durante varios años de enseñanza y aprendizaje y establece la percepción de que la multiplicación es simplemente una forma más eficiente de sumar. Una vez que se introduce el 0, no produce ningún cambio significativo porque

${\displaystyle 3\times 0=0+0+0,}$

que es 0, y la propiedad conmutativa nos llevaría también a definir

${\displaystyle 0\times 3=0.}$

Así, la suma repetida se extiende a los números enteros (0, 1, 2, 3, 4, ...). El primer desafío a la creencia de que la multiplicación es una suma repetida aparece cuando los estudiantes comienzan a trabajar con fracciones. Desde el punto de vista matemático, la multiplicación como suma repetida se puede extender a las fracciones. Por ejemplo,

${\displaystyle 7/4\times 5/6}$

literalmente exige “uno y tres cuartos de los cinco sextos”. Esto es significativo más adelante porque a los estudiantes se les enseña que, en los problemas de palabras, la palabra “de” generalmente indica una multiplicación. Sin embargo, esta extensión es problemática para muchos estudiantes, que comienzan a tener dificultades con las matemáticas cuando se introducen las fracciones. ^{[ cita requerida ]} Además, el modelo de adición repetida debe modificarse sustancialmente cuando se introducen números irracionales .

En relación con estas cuestiones, los educadores de matemáticas han debatido si las dificultades de los estudiantes con las fracciones y los números irracionales se ven exacerbadas al considerar la multiplicación como una suma repetida durante mucho tiempo antes de que se introduzcan estos números, y, en relación con esto, si es aceptable modificar significativamente las matemáticas rigurosas para la educación primaria, llevando a los niños a creer afirmaciones que luego resultan ser incorrectas.

Una teoría sobre el aprendizaje de la multiplicación se deriva del trabajo de los profesores de matemáticas rusos del Círculo Vygotsky, que estuvo activo en la Unión Soviética entre las dos guerras mundiales. Su contribución se conoce como la conjetura de la división.

Otra teoría sobre el aprendizaje de la multiplicación proviene de quienes estudian la cognición encarnada , que examinaron las metáforas subyacentes a la multiplicación.

En conjunto, estas investigaciones han inspirado planes de estudio con tareas "inherentemente multiplicativas" para niños pequeños. ^{[ cita requerida ]} Algunos ejemplos de estas tareas incluyen: estiramiento elástico, acercamiento, plegado, proyección de sombras o caída de sombras. Estas tareas no dependen del conteo y no se pueden conceptualizar fácilmente en términos de sumas repetidas.

Las cuestiones de debate relacionadas con estos planes de estudio incluyen:

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La multiplicación se define a menudo para números naturales y luego se extiende a números enteros, fracciones y números irracionales. Sin embargo, el álgebra abstracta tiene una definición más general de la multiplicación como una operación binaria sobre algunos objetos que pueden ser números o no. En particular, se pueden multiplicar números complejos , vectores , matrices y cuaterniones . Algunos educadores ^{[ cita requerida ]} creen que ver la multiplicación exclusivamente como una suma repetida durante la educación primaria puede interferir con la comprensión posterior de estos aspectos de la multiplicación.

En el contexto de la enseñanza de las matemáticas, los modelos son representaciones concretas de ideas matemáticas abstractas que reflejan algunas o todas las cualidades esenciales de la idea. Los modelos suelen desarrollarse como elementos manipulativos físicos o virtuales y como material curricular que los acompaña.

Una parte del debate sobre la multiplicación y la suma repetida es la comparación de diferentes modelos y sus materiales curriculares. Diferentes modelos pueden o no admitir la multiplicación de diferentes tipos de números; por ejemplo, el modelo de conjuntos ^[6] en el que los números se presentan como colecciones de objetos y la multiplicación como la unión de múltiples conjuntos con el mismo número de objetos en cada uno, no se puede extender a la multiplicación de números fraccionarios o reales.

Diferentes modelos también pueden ser relevantes para aplicaciones específicas de la aritmética; por ejemplo, los modelos de combinación surgen en probabilidad y biología.