Afinación Schuler

El ajuste de Schuler es un principio de diseño para sistemas de navegación inercial que tiene en cuenta la curvatura de la Tierra. Un sistema de navegación inercial, utilizado en submarinos, barcos, aviones y otros vehículos para realizar un seguimiento de la posición, determina direcciones con respecto a tres ejes que apuntan "norte", "este" y "abajo". Para detectar la orientación del vehículo, el sistema contiene una " plataforma inercial " montada sobre cardanes , con giroscopios que detectan el movimiento conectados a un sistema servo para mantenerlo apuntando en una orientación fija en el espacio. Sin embargo, las direcciones "norte", "este" y "abajo" cambian a medida que el vehículo se mueve sobre la superficie curva de la Tierra. El ajuste de Schuler describe las condiciones necesarias para que un sistema de navegación inercial mantenga la plataforma inercial siempre apuntando "norte", "este" y "abajo", de modo que brinde direcciones correctas en la Tierra casi esférica. Se usa ampliamente en sistemas de control electrónico.

Como lo explicó por primera vez el ingeniero alemán Maximilian Schuler en un artículo de 1923, ^[1] un péndulo que tiene un período igual al período orbital de un satélite hipotético que orbita en la superficie de la Tierra (alrededor de 84,4 minutos) tenderá a permanecer apuntando al centro de la Tierra cuando su soporte se desplace repentinamente. Un péndulo de este tipo (a veces llamado péndulo de Schuler ) tendría una longitud igual al radio de la Tierra. Considere un péndulo de gravedad simple , cuya longitud hasta su centro de gravedad es igual al radio de la Tierra, suspendido en un campo gravitatorio uniforme de la misma fuerza que el experimentado en la superficie de la Tierra. Si estuviera suspendido de la superficie de la Tierra, el centro de gravedad de la masa del péndulo estaría en el centro de la Tierra. ^[2] Si está colgando inmóvil y su soporte se mueve lateralmente, la masa tiende a permanecer inmóvil, por lo que el péndulo siempre apunta al centro de la Tierra. Si un péndulo de este tipo estuviera fijado a la plataforma inercial de un sistema de navegación inercial, la plataforma permanecería nivelada, mirando hacia el "norte", el "este" y el "abajo", mientras se movía sobre la superficie de la Tierra.

El período de Schuler se puede derivar de la fórmula clásica para el período de un péndulo :

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\approx 2\pi {\sqrt {\frac {6371000}{9.81}}}\approx 5063\ {\text{segundos}}\approx 84.4\ {\text{minutos}}}$

donde L es el radio medio de la Tierra en metros y g es la aceleración local de la gravedad en metros por segundo por segundo .

Un péndulo con una longitud igual al radio de la Tierra no es práctico, por lo que el ajuste de Schuler no utiliza péndulos físicos. En su lugar, el sistema de control electrónico del sistema de navegación inercial se modifica para que la plataforma se comporte como si estuviera unida a un péndulo. La plataforma inercial está montada sobre cardanes y un sistema de control electrónico la mantiene apuntando en una dirección constante con respecto a los tres ejes. A medida que el vehículo se mueve, los giroscopios detectan cambios en la orientación y un bucle de retroalimentación aplica señales a los torquers para rotar la plataforma sobre sus cardanes y mantenerla apuntando a lo largo de los ejes.

Para implementar el ajuste de Schuler, se modifica el bucle de retroalimentación para inclinar la plataforma a medida que el vehículo se mueve en las direcciones norte-sur y este-oeste, para mantener la plataforma mirando hacia "abajo". ^[3] Para ello, los torquímetros que giran la plataforma reciben una señal proporcional a la velocidad norte-sur y este-oeste del vehículo . La velocidad de giro de los torquímetros es igual a la velocidad dividida por el radio de la Tierra R :

${\displaystyle {\dot {\theta }}=v/R}$

Entonces:

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=a/R}$

La aceleración a es una combinación de la aceleración real del vehículo y la aceleración debida a la gravedad que actúa sobre la plataforma inercial inclinada. Se puede medir mediante un acelerómetro montado fijo en la plataforma, ya sea en dirección norte-sur o este-oeste, horizontalmente. Por lo tanto, esta ecuación puede considerarse como una versión de la ecuación para un péndulo de gravedad simple con una longitud igual al radio de la Tierra. La plataforma inercial actúa como si estuviera unida a dicho péndulo.

Un sistema de navegación inercial se ajusta dejándolo inmóvil durante un período de Schuler. Si sus coordenadas se desvían demasiado durante el período o no vuelve a sus coordenadas originales al final, se debe ajustar a las coordenadas correctas.

La constante de tiempo de Schuler aparece en otros contextos. Supongamos que se cava un túnel desde un extremo de la Tierra hasta el otro, directamente a través de su centro. Una piedra arrojada en dicho túnel oscila armónicamente con la constante de tiempo de Schuler. También se puede demostrar que el tiempo es la misma constante para un túnel que no atraviesa el centro de la Tierra. Dicho túnel tiene que ser una elipse centrada en la Tierra, la misma forma que la trayectoria de la piedra. Estos experimentos mentales (o más bien los resultados de los cálculos correspondientes) se basan en el supuesto de una densidad uniforme en toda la Tierra. Como la densidad no es realmente uniforme, los períodos "reales" se desviarían de la constante de tiempo de Schuler.