Llevar (aritmética)

En aritmética elemental , un acarreo es un dígito que se transfiere de una columna de dígitos a otra columna de dígitos más significativos. Es parte del algoritmo estándar para sumar números comenzando con los dígitos más a la derecha y trabajando hacia la izquierda. Por ejemplo, cuando se suman 6 y 7 para obtener 13, el "3" se escribe en la misma columna y el "1" se traslada a la izquierda. Cuando se usa en la resta, la operación se llama préstamo .

En las matemáticas tradicionales se hace hincapié en el transporte , mientras que los planes de estudio basados ​​en las matemáticas reformadas no enfatizan ningún método específico para encontrar una respuesta correcta. [ cita requerida ]

El acarreo también aparece con cierta frecuencia en las matemáticas superiores. En informática, el acarreo es una función importante de los circuitos sumadores .

Aritmética manual

Ejemplo: La suma de dos números decimales

Un ejemplo típico de acarreo es la siguiente suma hecha con lápiz y papel:

 1 27+ 59---- 86

7 + 9 = 16, y el dígito 1 es el acarreo.

Lo opuesto es un préstamo , como en

 -1 47− 19---- 28

Aquí, 7 − 9 = −2 , entonces, intenta (10 − 9) + 7 = 8 , y el 10 se obtiene tomando ("tomando prestado") 1 del dígito siguiente a la izquierda. Hay dos formas en las que esto se enseña comúnmente:

  1. La decena se desplaza del siguiente dígito a la izquierda, dejando en este ejemplo 3 − 1 en la columna de las decenas. Según este método, el término "tomar prestado" es un nombre inapropiado , ya que la decena nunca se devuelve.
  2. El diez se copia del siguiente dígito a la izquierda y luego se "devuelve" agregándolo al sustraendo en la columna de la que se "tomó prestado", dando en este ejemplo 4 − (1 + 1) en la columna de las decenas.

Educación matemática

Tradicionalmente, el método de acarreo se enseña en la suma de números de varios dígitos en el segundo o último año de la escuela primaria. Sin embargo, desde finales del siglo XX, muchos planes de estudio ampliamente adoptados desarrollados en los Estados Unidos, como TERC, omitieron la instrucción del método de acarreo tradicional en favor de métodos aritméticos inventados y métodos que utilizan colores, manipulativos y gráficos. Tales omisiones fueron criticadas por grupos como Mathematically Correct , y algunos estados y distritos han abandonado desde entonces este experimento, aunque sigue siendo ampliamente utilizado. [ cita requerida ]

Matemáticas superiores

El teorema de Kummer establece que el número de acarreos involucrados en la suma de dos números en base es igual al exponente de la mayor potencia de división de un cierto coeficiente binomial . pag {\estilo de visualización p} pag {\estilo de visualización p}

Cuando se suman varios números aleatorios de muchos dígitos, las estadísticas de los dígitos de acarreo tienen una conexión inesperada con los números eulerianos y las estadísticas de las permutaciones aleatorias . [1] [2] [3] [4]

En álgebra abstracta , la operación de acarreo para números de dos dígitos se puede formalizar utilizando el lenguaje de la cohomología de grupos . [5] [6] [7] Este punto de vista se puede aplicar a caracterizaciones alternativas de los números reales . [8] [9]

Calculadoras mecánicas

El acarreo representa uno de los desafíos básicos a los que se enfrentan los diseñadores y constructores de calculadoras mecánicas . Se enfrentan a dos dificultades básicas: la primera se deriva del hecho de que un acarreo puede requerir que se modifiquen varios dígitos: para sumar 1 a 999, la máquina tiene que incrementar 4 dígitos diferentes. Otro desafío es el hecho de que el acarreo puede "desarrollarse" antes de que el siguiente dígito termine la operación de suma.

La mayoría de las calculadoras mecánicas implementan el acarreo ejecutando un ciclo de acarreo independiente después de la suma misma. Durante la suma, cada acarreo se "señala" en lugar de ejecutarse, y durante el ciclo de acarreo, la máquina incrementa los dígitos que están por encima de los dígitos "activados". Esta operación debe realizarse secuencialmente, comenzando con el dígito de las unidades, luego las decenas, las centenas, etc., ya que agregar el acarreo puede generar un nuevo acarreo en el dígito siguiente.

Algunas máquinas, en particular la calculadora de Pascal , la segunda calculadora que se construyó y la más antigua que se conserva, utilizan un método diferente: al incrementar el dígito de 0 a 9, se activa un dispositivo mecánico para almacenar energía y el siguiente incremento, que mueve el dígito de 9 a 0, libera esta energía para incrementar el siguiente dígito en 1. Pascal utilizó pesos y gravedad en su máquina. Otra máquina notable que utiliza un método similar es el muy exitoso Comptómetro del siglo XIX , que reemplazó los pesos por resortes.

Algunas máquinas innovadoras utilizan la transmisión continua: al sumar 1 a cualquier dígito, se avanza el siguiente en 1/10 (que a su vez avanza el siguiente en 1/100 y así sucesivamente). Algunas calculadoras innovadoras tempranas, en particular la calculadora Chebyshev de 1870, [10] y un diseño de Selling, [11] de 1886, utilizaron este método, pero ninguna tuvo éxito. A principios de la década de 1930, la calculadora Marchant implementó la transmisión continua con gran éxito, comenzando con la calculadora acertadamente llamada "Silent Speed". Marchant (que luego se convertiría en SCM Corporation ) continuó usándola y mejorándola, y fabricó calculadoras de transmisión continua con una velocidad inigualable, hasta fines de la década de 1960, hasta el final de la era de las calculadoras mecánicas.

Computación

Cuando hablamos de un circuito digital como un sumador, la palabra carry se utiliza en un sentido similar.

En la mayoría de las computadoras , el acarreo del bit más significativo de una operación aritmética (o bit desplazado de una operación de desplazamiento) se coloca en un bit de acarreo especial que se puede usar como un acarreo de entrada para aritmética de precisión múltiple o se puede probar y usar para controlar la ejecución de un programa de computadora . El mismo bit de acarreo también se usa generalmente para indicar préstamos en la resta, aunque el significado del bit se invierte debido a los efectos de la aritmética de complemento a dos . Normalmente, un valor de bit de acarreo de "1" significa que una adición desbordó la ALU y debe tenerse en cuenta al agregar palabras de datos de longitudes mayores que la de la CPU. Para operaciones sustractivas, se emplean dos convenciones (opuestas), ya que la mayoría de las máquinas establecen el indicador de acarreo en el préstamo, mientras que algunas máquinas (como el 6502 y el PIC) en cambio reinician el indicador de acarreo en el préstamo (y viceversa).

Un acarreo puede provocar un desbordamiento de enteros .

Referencias

  1. ^ Holte, John M. (febrero de 1997), "Carries, combinatoria y una matriz sorprendente", The American Mathematical Monthly , 104 (2): 138–149, doi :10.2307/2974981, JSTOR  2974981
  2. ^ Diaconis, Persi ; Fulman, Jason (agosto de 2009), "Carries, shuffling y funciones simétricas", Avances en Matemáticas Aplicadas , 43 (2): 176–196, arXiv : 0902.0179 , doi :10.1016/j.aam.2009.02.002
  3. ^ Borodin, Alexei ; Diaconis, Persi ; Fulman, Jason (octubre de 2010), "Sobre la adición de una lista de números (y otros procesos determinantes dependientes de uno)", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 47 (4): 639–670, arXiv : 0904.3740 , doi :10.1090/S0273-0979-2010-01306-9
  4. ^ Nakano, Fumihiko; Sadahiro, Taizo (febrero de 2014), "Una generalización de procesos de acarreos y números eulerianos", Avances en Matemáticas Aplicadas , 53 : 28–43, doi : 10.1016/j.aam.2013.09.005
  5. ^ Hegland, M.; Wheeler, WW (enero de 1997), "Biyecciones lineales y la transformada rápida de Fourier", Álgebra aplicable en ingeniería, comunicación y computación , 8 (2): 143–163, doi :10.1007/s002000050059, S2CID  17603981
  6. ^ Isaksen, Daniel C. (noviembre de 2002), "Un punto de vista cohomológico sobre la aritmética en la escuela primaria" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 109 (9): 796–805, doi :10.2307/3072368, JSTOR  3072368, archivado desde el original (PDF) el 16 de enero de 2014 , consultado el 22 de enero de 2014
  7. ^ Borovik, Alexandre V. (2010), Matemáticas bajo el microscopio: notas sobre aspectos cognitivos de la práctica matemática , AMS , págs. 87-88, ISBN 978-0-8218-4761-9
  8. ^ Metropolis, N. ; Gian-Carlo, Rota ; Tanny, S. (mayo de 1973), "Aritmética de significancia: el algoritmo de acarreo", Journal of Combinatorial Theory , Serie A, 14 (3): 386–421, doi : 10.1016/0097-3165(73)90013-7
  9. ^ Faltin, F.; Metropolis, N .; Ross, B.; Rota, G.-C. (junio de 1975), "Los números reales como producto de una corona", Advances in Mathematics , 16 (3): 278–304, doi : 10.1016/0001-8708(75)90115-2
  10. ^ Roegel, Denis (2015). "La máquina sumadora continua de Chebyshev" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 9 de agosto de 2017.
  11. ^ Ernst, Martin (1925). Las máquinas calculadoras (PDF) . Instituto Charles Babbage. pág. 96.
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