Transformación unitaria (mecánica cuántica)

En mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger describe cómo cambia un sistema con el tiempo. Lo hace relacionando los cambios en el estado del sistema con la energía en el sistema (dada por un operador llamado hamiltoniano ) . Por lo tanto, una vez que se conoce el hamiltoniano, en principio se conoce la dinámica temporal. Todo lo que queda es introducir el hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger y resolver el estado del sistema en función del tiempo. ^{[1] [2]}

Sin embargo, a menudo la ecuación de Schrödinger es difícil de resolver ( incluso con un ordenador ). Por ello, los físicos han desarrollado técnicas matemáticas para simplificar estos problemas y aclarar lo que está sucediendo físicamente. Una de esas técnicas es aplicar una transformación unitaria al hamiltoniano. Al hacerlo, se puede obtener una versión simplificada de la ecuación de Schrödinger que, no obstante, tiene la misma solución que la original.

Una transformación unitaria (o cambio de marco) se puede expresar en términos de un hamiltoniano dependiente del tiempo y un operador unitario . Bajo este cambio, la transformación hamiltoniana se expresa como:${\estilo de visualización H(t)}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle H\to UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{{\dot {U}}U^{\dagger }}=:{\breve {H}}\quad \quad (0)}$.

La ecuación de Schrödinger se aplica al nuevo hamiltoniano. Las soluciones de las ecuaciones transformadas y no transformadas también están relacionadas por . En concreto, si la función de onda satisface la ecuación original, entonces satisfará la nueva ecuación. ^[3]${\estilo de visualización U}$ ${\displaystyle \psi(t)}$${\displaystyle U\psi(t)}$

Recordemos que por la definición de una matriz unitaria , . Comenzando con la ecuación de Schrödinger,${\displaystyle U^{\daga }U=1}$

${\displaystyle {\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}H\psi }$,

Por lo tanto, podemos insertar la identidad a voluntad. En particular, si la insertamos después y también premultiplicamos ambos lados por , obtenemos${\displaystyle U^{\daga }U=I}$${\estilo de visualización H/\barra}$${\estilo de visualización U}$

${\displaystyle U{\dot {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(UHU^{\dagger }\right)U\psi \quad \quad (1)}$.

A continuación, observe que, según la regla del producto,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(U\psi \right)={\dot {U}}\psi +U{\dot {\psi }}}$.

Insertando otro y reordenando, obtenemos${\displaystyle U^{\dagger }U}$

${\displaystyle U{\dot {\psi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}-{\dot {U}}U^{\dagger }U\psi \quad \quad (2)}$.

Finalmente, la combinación de (1) y (2) anteriores da como resultado la transformación deseada:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\Big (}U\psi {\Big )}=-{\frac {i}{\hbar }}{\Big (}UH{U^{\dagger }}+i\hbar \,{\dot {U}}{U^{\dagger }}{\Big )}{\Big (}U\psi {\Big )}\quad \quad \left(3\right)}$.

Si adoptamos la notación para describir la función de onda transformada, las ecuaciones se pueden escribir de una forma más clara. Por ejemplo, se pueden reescribir como${\displaystyle {\breve {\psi }}:=U\psi }$${\displaystyle (3)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\breve {\psi }}=-{\frac {i}{\hbar }}{\breve {H}}{\breve {\psi }}\quad \quad \left(4\right)}$,

que puede reescribirse en la forma de la ecuación original de Schrödinger,

${\displaystyle {\breve {H}}{\breve {\psi }}=i\hbar {\operatorname {d} \!{\breve {\psi }} \over \operatorname {d} \!t}.}$

La función de onda original se puede recuperar como .${\displaystyle \psi =U^{\dagger }{\breve {\psi }}}$

Las transformaciones unitarias pueden considerarse como una generalización de la imagen de interacción (Dirac) . En este último enfoque, un hamiltoniano se divide en una parte independiente del tiempo y una parte dependiente del tiempo.

${\displaystyle H(t)=H_{0}+V(t)\quad \quad (a)}$.

En este caso, la ecuación de Schrödinger se convierte en

${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}\left(e^{iH_{0}t/\hbar }Ve^{-iH_{0}t/\hbar }\right)\psi _{I}}$, con . ^[4]${\displaystyle \psi _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }\psi }$

La correspondencia con una transformación unitaria se puede demostrar eligiendo . Como resultado,${\textstyle U(t)=\exp \left[{+iH_{0}t/\hbar }\right]}$${\displaystyle {U^{\dagger }}(t)=\exp \left[{-iH_{0}t}/\hbar \right].}$

Usando la notación de arriba, nuestro hamiltoniano transformado se convierte en${\displaystyle (a)}$

${\displaystyle {\breve {H}}=U\left[H_{0}+V(t)\right]U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }\quad \quad (b)}$

En primer lugar, tenga en cuenta que, dado que es una función de , las dos deben conmutar . Entonces${\displaystyle U}$${\displaystyle H_{0}}$

${\displaystyle UH_{0}U^{\dagger }=H_{0}}$,

que se ocupa del primer término en la transformación en , es decir . A continuación, utilice la regla de la cadena para calcular${\displaystyle (b)}$${\displaystyle {\breve {H}}=H_{0}+UV(t)U^{\dagger }+i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar {\dot {U}}U^{\dagger }&=i\hbar \left({\operatorname {d} \!U \over \operatorname {d} \!t}\right)e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar {\Big (}iH_{0}/\hbar {\Big )}e^{+iH_{0}t/\hbar }e^{-iH_{0}t/\hbar }\\&=i\hbar \left({iH_{0}}/\hbar \right)\\&=-H_{0},\\\end{aligned}}}$

que se cancela con el otro . Evidentemente nos queda , dando como resultado lo que se muestra arriba.${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle {\breve {H}}=UVU^{\dagger }}$${\displaystyle {\dot {\psi _{I}}}=-{\frac {i}{\hbar }}UVU^{\dagger }\psi _{I}}$

Sin embargo, al aplicar una transformación unitaria general, no es necesario que se divida en partes, ni siquiera que sea función de alguna parte del hamiltoniano.${\displaystyle H(t)}$${\displaystyle U(t)}$

Consideremos un átomo con dos estados , fundamental y excitado . El átomo tiene un hamiltoniano , donde es la frecuencia de la luz asociada con la transición de fundamental a excitado . Ahora supongamos que iluminamos el átomo con un impulso a una frecuencia que acopla los dos estados, y que el hamiltoniano impulsado dependiente del tiempo es${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle H=\hbar \omega {|{e}\rangle \langle {e}|}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{d}}$

${\displaystyle H/\hbar =\omega |e\rangle \langle e|+\Omega \ e^{i\omega _{d}t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ e^{-i\omega _{d}t}|e\rangle \langle g|}$

para una fuerza de impulso compleja . Debido a las escalas de frecuencia en competencia ( , , y ), es difícil anticipar el efecto del impulso (ver movimiento armónico impulsado ).${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{d}}$${\displaystyle \Omega }$

Sin un impulso, la fase de oscilaría con respecto a . En la representación de la esfera de Bloch de un sistema de dos estados, esto corresponde a la rotación alrededor del eje z. Conceptualmente, podemos eliminar este componente de la dinámica introduciendo un marco de referencia giratorio definido por la transformación unitaria . Bajo esta transformación, el hamiltoniano se convierte en${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle U=e^{i\omega t|e\rangle \langle e|}}$

${\displaystyle H/\hbar \to \Omega \,e^{i(\omega _{d}-\omega )t}|g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\,e^{i(\omega -\omega _{d})t}|e\rangle \langle g|}$.

Si la frecuencia de conducción es igual a la frecuencia de transición ge, se producirá resonancia y luego la ecuación anterior se reduce a${\displaystyle \omega _{d}=\omega }$

${\displaystyle {\breve {H}}/\hbar =\Omega \ |g\rangle \langle e|+\Omega ^{*}\ |e\rangle \langle g|}$.

De esto se desprende, incluso sin entrar en detalles, que la dinámica implicará una oscilación entre los estados fundamental y excitado en la frecuencia . ^[4]${\displaystyle \Omega }$

Como otro caso límite, supongamos que el impulsor está muy fuera de resonancia, . Podemos averiguar la dinámica en ese caso sin resolver la ecuación de Schrödinger directamente. Supongamos que el sistema comienza en el estado fundamental . Inicialmente, el hamiltoniano llenará algún componente de . Sin embargo, poco tiempo después, llenará aproximadamente la misma cantidad de pero con una fase completamente diferente. Por lo tanto, el efecto de un impulsor fuera de resonancia tenderá a cancelarse a sí mismo. Esto también se puede expresar diciendo que un impulsor fuera de resonancia está girando rápidamente en el marco del átomo .${\displaystyle |\omega _{d}-\omega |\gg 0}$${\displaystyle |g\rangle }$${\displaystyle |e\rangle }$${\displaystyle |e\rangle }$

Estos conceptos se ilustran en la siguiente tabla, donde la esfera representa la esfera de Bloch , la flecha representa el estado del átomo y la mano representa el impulso.

	Marco de laboratorio	Marco giratorio
Impulsión resonante
Unidad fuera de resonancia

El ejemplo anterior también podría haberse analizado en la imagen de interacción. Sin embargo, el siguiente ejemplo es más difícil de analizar sin la formulación general de transformaciones unitarias. Consideremos dos osciladores armónicos , entre los cuales nos gustaría diseñar una interacción de divisor de haz ,

${\displaystyle g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$.

Esto se logró experimentalmente con dos resonadores de cavidad de microondas que sirven como y . ^[5] A continuación, esbozamos el análisis de una versión simplificada de este experimento.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

Además de las cavidades de microondas, el experimento también implicó un qubit transmon , , acoplado a ambos modos. El qubit se activa simultáneamente a dos frecuencias, y , para las cuales .${\displaystyle c}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{1}-\omega _{2}=\omega _{a}-\omega _{b}}$

${\displaystyle H_{\mathrm {drive} }/\hbar =\Re \left[\epsilon _{1}e^{i\omega _{1}t}+\epsilon _{2}e^{i\omega _{2}t}\right](c+c^{\dagger }).}$

Además, hay muchos términos de cuarto orden que acoplan los modos , pero la mayoría de ellos pueden ignorarse. En este experimento, dos de esos términos que serán importantes son

${\displaystyle H_{4}/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}{\Big )}c^{\dagger }c}$.

(Hc es la abreviatura del conjugado hermítico ). Podemos aplicar una transformación de desplazamiento , , al modo ^{[ aclaración necesaria ]} . Para amplitudes cuidadosamente elegidas, esta transformación se cancelará mientras que también desplazará el operador de escalera, . Esto nos deja con${\displaystyle U=D(-\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}-\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{\textrm {drive}}}$${\displaystyle c\to c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t}}$

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}{\Big (}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a})t}ab^{\dagger }+e^{i(\omega _{a}-\omega _{b})t}a^{\dagger }b{\big )}(c^{\dagger }+\xi _{1}^{*}e^{i\omega _{1}t}+\xi _{2}^{*}e^{i\omega _{2}t})(c+\xi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+\xi _{2}e^{-i\omega _{2}t})}$.

Desarrollando esta expresión y eliminando los términos que giran rápidamente, nos quedamos con el hamiltoniano deseado,

${\displaystyle H/\hbar =g_{4}\xi _{1}^{*}\xi _{2}e^{i(\omega _{b}-\omega _{a}+\omega _{1}-\omega _{2})t}\ ab^{\dagger }+{\text{h.c.}}=g\,ab^{\dagger }+g^{*}\,a^{\dagger }b}$.

Es común que los operadores involucrados en transformaciones unitarias se escriban como exponenciales de operadores, , como se vio anteriormente. Además, los operadores en los exponenciales comúnmente obedecen la relación , de modo que la transformada de un operador es, . Al introducir ahora el conmutador iterador,${\displaystyle U=e^{X}}$${\displaystyle X^{\dagger }=-X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle UYU^{\dagger }=e^{X}Ye^{-X}}$

${\displaystyle [(X)^{n},Y]\equiv \underbrace {[X,\dotsb [X,[X} _{n{\text{ times }}},Y]]\dotsb ],\quad [(X)^{0},Y]\equiv Y,}$

Podemos utilizar un resultado especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para escribir esta transformación de forma compacta como,

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(X)^{n},Y]}{n!}},}$

o, en forma larga para completar,

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=Y+\left[X,Y\right]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots .}$