Transformación S

La transformada S como distribución de tiempo-frecuencia fue desarrollada en 1994 para analizar datos geofísicos. ^{[1] [2]} De esta manera, la transformada S es una generalización de la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT), que extiende la transformada wavelet continua y supera algunas de sus desventajas. Por un lado, las sinusoides de modulación son fijas con respecto al eje del tiempo; esto localiza las dilataciones y traslaciones de la ventana gaussiana escalable en la transformada S. Además, la transformada S no tiene un problema de términos cruzados y produce una mejor claridad de señal que la transformada de Gabor . Sin embargo, la transformada S tiene sus propias desventajas: la claridad es peor que la función de distribución de Wigner y la función de distribución de clase de Cohen . ^{[ cita requerida ]}

En 2010 se inventó un algoritmo de transformación S rápido . ^{[3] [4]} Reduce la complejidad computacional de O[N ² ·log(N)] a O[N·log(N)] y hace que la transformación sea uno a uno, donde la transformación tiene el mismo número de puntos que la señal o imagen de origen, en comparación con la complejidad de almacenamiento de N ² para la formulación original. ^{[4] [5]} Una implementación está disponible para la comunidad de investigación bajo una licencia de código abierto . ^[6]

Una formulación general de la transformada S ^[4] deja clara la relación con otras transformadas de frecuencia de tiempo como la transformada de Fourier, la transformada de Fourier de tiempo corto y la transformada wavelet. ^[4]

Hay varias formas de representar la idea de la transformada S. Aquí, la transformada S se deriva como la corrección de fase de la transformada wavelet continua, siendo la ventana la función gaussiana .

• Transformada S

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )|f|e^{-\pi (t-\tau )^{2}f^{2}}e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau }$

• Transformada S inversa

${\displaystyle x(\tau)=\int _{-\infty}^{\infty}\left[\int _{-\infty}^{\infty}S_{x}(t,f)\,dt\right]\,e^{j2\pi f\tau}\,df}$

• Forma del espectro

La definición anterior implica que la función de transformada s se puede expresar como la convolución de y . Al aplicar la transformada de Fourier a ambos y se obtiene${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$
${\displaystyle (x(\tau )e^{-j2\pi f\tau })}$${\displaystyle (|f|e^{-\pi t^{2}f^{2}})}$

${\displaystyle S_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }X(f+\alpha )\,e^{-\pi \alpha ^{2}/f^{ 2}}\,e^{j2\pi \alpha t}\,d\alpha }$.

• Transformada S de tiempo discreto

A partir de la forma espectral de la transformada S, podemos derivar la transformada S de tiempo discreto.
Sea , donde es el intervalo de muestreo y es la frecuencia de muestreo. La transformada S de tiempo discreto puede expresarse entonces como:${\displaystyle t=n\Delta _{T}\,\,f=m\Delta _{F}\,\,\alpha =p\Delta _{F}}$${\displaystyle \Delta_{T}}$${\displaystyle \Delta_{F}}$

${\displaystyle S_{x}(n\Delta _{T}\,,m\Delta _{F})=\sum _{p=0}^{N-1}X[(p+m)\,\Delta _{F}]\,e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}\,e^{\frac {j2pn}{N}}}$

A continuación se muestra el código pseudo de la implementación.

 Paso 1. Calcular${\displaystyle X[p\Delta _{F}]\,}$ 
 bucle sobre m (voces) Paso 2. Calcule para el paso 3. Pase al paso 4. Multiplique el paso 2 y el paso 3. Paso 5. IDFT( ).${\displaystyle e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$${\displaystyle f=m\Delta _{F}}$
${\displaystyle X[p\Delta _{F}]}$${\displaystyle X[(p+m)\Delta _{F}]}$
${\displaystyle B[m,p]=X[(p+m)\Delta _{F}]\cdot e^{-\pi {\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}$
${\displaystyle B[m,p]}$ Repetir.}

La única diferencia entre la transformada de Gabor (GT) y la transformada S es el tamaño de la ventana. Para GT, el tamaño de la ventana es una función gaussiana , mientras que la función de ventana para la transformada S es una función de f. Con una función de ventana proporcional a la frecuencia, la transformada S funciona bien en el análisis del dominio de la frecuencia cuando la frecuencia de entrada es baja. Cuando la frecuencia de entrada es alta, la transformada S tiene una mejor claridad en el dominio del tiempo. Como se muestra en la tabla siguiente. ${\displaystyle (e^{-\pi (t-\tau )^{2}})}$

Este tipo de propiedad hace que S-Transform sea una herramienta poderosa para analizar el sonido porque el ser humano es sensible a las partes de baja frecuencia de una señal de sonido.

El principal problema de la Transformada de Wigner es el término cruzado, que se origina en la función de autocorrelación de la Transformada de Wigner. Este término cruzado puede causar ruido y distorsiones en los análisis de señales. Los análisis de la Transformada S evitan este problema.

Podemos comparar la transformada S y la transformada de Fourier de tiempo corto (STFT). ^{[2] [7]} Primero, una señal de alta frecuencia, una señal de baja frecuencia y una señal de ráfaga de alta frecuencia se utilizan en el experimento para comparar el rendimiento. La característica de la transformada S de resolución dependiente de la frecuencia permite la detección de la ráfaga de alta frecuencia. Por otro lado, como la STFT consta de un ancho de ventana constante, conduce a que el resultado tenga una definición más pobre. En el segundo experimento, se agregan dos ráfagas de alta frecuencia más a los chirridos cruzados. En el resultado, las cuatro frecuencias fueron detectadas por la transformada S. Por otro lado, las dos ráfagas de alta frecuencia no son detectadas por la STFT. El término cruzado de ráfagas de alta frecuencia hizo que la STFT tuviera una sola frecuencia a una frecuencia más baja.

• Filtrados de señales ^[8]
• Imágenes por resonancia magnética (IRM) ^[9]
• Reconocimiento de perturbaciones del sistema eléctrico
  • Se ha demostrado que la transformada S puede identificar algunos tipos de perturbaciones, como caídas de tensión, subidas de tensión, interrupciones momentáneas y transitorios oscilatorios. ^[10]
  • La transformada S también se puede aplicar para otros tipos de perturbaciones como muescas, armónicos con caídas y subidas, etc.
  • La transformada S genera contornos que son adecuados para una inspección visual simple. Sin embargo, la transformada wavelet requiere herramientas específicas como el análisis multirresolución estándar .
• Análisis de señales geofísicas
  • Sismología de reflexión
  • Sismología global

• Transformada de Laplace
• Transformada wavelet
• Transformada de Fourier de corta duración

• Rocco Ditommaso, Felice Carlo Ponzo, Gianluca Auletta (2015). Detección de daños en estructuras arqueadas: evaluación de la curvatura modal mediante la transformada de Stockwell bajo excitación sísmica. Ingeniería sísmica e ingeniería de vibraciones. Junio ​​de 2015, volumen 14, número 2, págs. 265-274.
• Rocco Ditommaso, Marco Mucciarelli, Felice C. Ponzo (2010). Filtro basado en la transformada S aplicado al análisis del comportamiento dinámico no lineal de suelos y edificios. 14.ª Conferencia Europea sobre Ingeniería Sísmica. Volumen de actas. Ohrid, República de Macedonia. 30 de agosto – 3 de septiembre de 2010. (Descargable desde http://roccoditommaso.xoom.it)
• M. Mucciarelli, M. Bianca, R. Ditommaso, MR Gallipoli, A. Masi, C Milkereit, S. Parolai, M. Picozzi, M. Vona (2011). DAÑOS EN CAMPO LEJANO EN EDIFICIOS RC: EL ESTUDIO DE CASO DE NAVELLI DURANTE LA SECUENCIA SÍSMICA DE L'AQUILA (ITALIA), 2009. Boletín de Ingeniería Sísmica . doi :10.1007/s10518-010-9201-y.
• JJ Ding, "Notas del curso sobre análisis tiempo-frecuencia y transformada wavelet", Departamento de Ingeniería Eléctrica, Universidad Nacional de Taiwán (NTU), Taipei, Taiwán, 2007.
• Jaya Bharata Reddy, Dusmanta Kumar Mohanta y BM Karan, "Reconocimiento de perturbaciones en sistemas de energía utilizando técnicas wavelet y transformada s", Instituto Birla de Tecnología, Mesra, Ranchi-835215, 2004.
• B. Boashash, "Notas sobre el uso de la distribución de Wigner para el análisis de señales de frecuencia temporal", IEEE Trans. on Acoust. Speech. and Signal Processing, vol. 26, no. 9, 1987
• RN Bracewell, La transformada de Fourier y sus aplicaciones, McGraw Hill Book Company, Nueva York, 1978
• EO Brigham, La transformada rápida de Fourier , Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1974
• Cohen, L. (1989). "Distribuciones de tiempo-frecuencia: una revisión". Proc. IEEE . 77 (7): 941–981. CiteSeerX  10.1.1.1026.2853 . doi :10.1109/5.30749.
• I. Daubechies, "La transformada wavelet, localización tiempo-frecuencia y análisis de señales", IEEE Trans. on Information Theory , vol. 36, núm. 5, septiembre de 1990
• Farge, M. (1992). "Transformadas wavelet y su aplicación a la turbulencia". Revista anual de mecánica de fluidos . 24 : 395–457. doi :10.1146/annurev.fluid.24.1.395.
• D. Gabor, "Teoría de la comunicación", J. Inst. Elect. Eng., vol. 93, núm. 3, págs. 429–457, 1946
• Goupillaud, P.; Grossmann, A.; Morlet, J. (1984). "Transformaciones ciclo-octava y relacionadas en el análisis sísmico". Geoexploration . 23 : 85–102. doi :10.1016/0016-7142(84)90025-5.
• F. Hlawatsch y GF Boudreuax-Bartels, 1992 "Representaciones de señales de tiempo-frecuencia lineales y cuadráticas", IEEE Signal Processing Magazine, págs. 21-67
• Rioul, O.; Vetterli, M. (1991). "Wavelets y procesamiento de señales" (PDF) . Revista IEEE Signal Processing . 8 (4): 14–38. Bibcode :1991ISPM....8...14R. doi :10.1109/79.91217. S2CID  13266737.
• RK Young, Teoría wavelet y sus aplicaciones, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993