Rigidez topológica
Este artículo se basa en gran parte o en su totalidad en una sola fuente . ( octubre de 2013 ) |
En el campo matemático de la topología , una variedad M se denomina topológicamente rígida si cada variedad homotópicamente equivalente a M es también homeomorfa a M. [1]
Motivación
Un problema central en topología es determinar cuándo dos espacios son iguales, es decir, homeomorfos o difeomorfos. Construir un morfismo de manera explícita casi siempre es poco práctico. Si ponemos una condición adicional en uno o ambos espacios (variedades), podemos aprovechar esta estructura adicional para demostrar que el morfismo deseado debe existir.
El teorema de rigidez trata sobre cuándo una equivalencia bastante débil entre dos variedades (normalmente una equivalencia de homotopía ) implica la existencia de un homeomorfismo, difeomorfismo o isometría de equivalencia más fuerte .
Definición.
Una variedad topológica cerrada M se denomina rígida topológicamente si cualquier equivalencia de homotopía f : N → M con alguna variedad N como fuente y M como destino es homotópica a un homeomorfismo.
Ejemplos
Ejemplo 1.
Si las 2-variedades cerradas M y N son homotópicamente equivalentes, entonces son homeomorfas. Además, cualquier equivalencia homotópica de superficies cerradas se deforma en un homeomorfismo.
Ejemplo 2.
Si una variedad cerrada M n ( n ≠ 3) es homotópicamente equivalente a S n entonces M n es homeomorfa a S n .
Teorema de rigidez en geometría
Definición.
Se dice que un difeomorfismo de variedades riemannianas planas es afín si y solo si lleva geodésicas a geodésicas.
Teorema de Bieberbach
Si f : M → N es una equivalencia de homotopía entre variedades de Riemann planas cerradas y conexas, entonces f es homotópica a un homeomorfismo afín.
Teorema de rigidez de Mostow
Teorema: Sean M y N variedades de Riemann compactas , localmente simétricas, con curvatura no positiva en todas partes y que no tienen subespacios geodésicos cerrados unidimensionales o bidimensionales que sean factores directos localmente. Si f : M → N es una equivalencia de homotopía, entonces f es homotópica respecto de una isometría.
Teorema (teorema de Mostow para n - variedades hiperbólicas, n ≥ 3): Si M y N son n -variedades hiperbólicas completas, n ≥ 3 con volumen finito y f : M → N es una equivalencia de homotopía, entonces f es homotópica a una isometría.
Estos resultados llevan el nombre de George Mostow .
Forma algebraica
Sean Γ y Δ subgrupos discretos del grupo de isometría del n -espacio hiperbólico H , donde n ≥ 3, cuyos cocientes H /Γ y H /Δ tienen volumen finito. Si Γ y Δ son isomorfos como grupos discretos entonces son conjugados.
Observaciones
(1) En el caso bidimensional, cualquier variedad de género al menos dos tiene una estructura hiperbólica. El teorema de rigidez de Mostow no se aplica en este caso. De hecho, existen muchas estructuras hiperbólicas en cualquier variedad de este tipo; cada una de estas estructuras corresponde a un punto en el espacio de Teichmuller.
(2) Por otra parte, si M y N son 2-variedades de volumen finito, entonces es fácil demostrar que son homeomorfas exactamente cuando sus grupos fundamentales son los mismos.
Solicitud
El grupo de isometrías de una variedad hiperbólica n de volumen finito M (para n ≥ 3) se genera finitamente [2] y es isomorfo a π 1 ( M ).
Referencias
- ^ Martin, Alexandre. "La rigidez topológica del toro (tesis)" (PDF) . Universidad de Edimburgo . Consultado el 10 de octubre de 2013 .
- ^ Howie, James. "Apuntes de la clase sobre grupos hiperbólicos" (PDF) . Universidad Heriot-Watt. Archivado desde el original (PDF) el 29 de agosto de 2017.
