Poliedro esférico
En geometría , un poliedro esférico o mosaico esférico es un mosaico de la esfera en el que la superficie está dividida o particionada por grandes arcos en regiones acotadas llamadas polígonos esféricos . Un poliedro cuyos vértices son equidistantes de su centro se puede estudiar convenientemente proyectando sus aristas sobre la esfera para obtener un poliedro esférico correspondiente.
El poliedro esférico más conocido es el balón de fútbol , considerado como un icosaedro truncado esférico . El siguiente poliedro esférico más popular es el balón de playa , considerado como un hosoedro .
Algunos poliedros "impropios", como los hosoedros y sus duales , los diedros , existen como poliedros esféricos, pero sus análogos de caras planas son degenerados . La pelota de playa hexagonal de ejemplo, {2, 6}, es un hosoedro y {6, 2} es su diedro dual.
Historia
Durante el siglo X, el erudito islámico Abū al-Wafā' Būzjānī (Abu'l Wafa) estudió los poliedros esféricos como parte de un trabajo sobre la geometría que necesitaban los artesanos y arquitectos. [1]
El trabajo de Buckminster Fuller sobre las cúpulas geodésicas a mediados del siglo XX desencadenó un auge en el estudio de los poliedros esféricos. [2] Aproximadamente al mismo tiempo, Coxeter los utilizó para enumerar todos menos uno de los poliedros uniformes , mediante la construcción de caleidoscopios ( construcción de Wythoff ). [3]
Ejemplos
Todos los poliedros regulares , poliedros semirregulares y sus duales se pueden proyectar sobre la esfera como teselas:
Símbolo de Schläfli | {p,q} | t{p,q} | r{p,q} | t{q,p} | {q,p} | rr{p,q} | tr{p,q} | sr{p,q} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Configuración de vértice . | pq | q.2p.2p | pqpq | pág.2q.2q | qp | q.4.p.4 | 4.2q.2p | 3.3.q.3.p |
Simetría tetraédrica (3 3 2) |  3 3 |  3.6.6 |  3.3.3.3 |  3.6.6 |  3 3 |  3.4.3.4 |  4.6.6 |  3.3.3.3.3 |
 V3.6.6 |  V3.3.3.3 | V3.6.6 |  V3.4.3.4 |  V4.6.6 |  V3.3.3.3.3 | |||
Simetría octaédrica (4 3 2) |  4 3 |  3.8.8 |  3.4.3.4 |  4.6.6 |  3 4 |  3.4.4.4 |  4.6.8 |  3.3.3.3.4 |
 Versión 3.8.8 | V3.4.3.4 | V4.6.6 |  V3.4.4.4 |  V4.6.8 |  V3.3.3.3.4 | |||
Simetría icosaédrica (5 3 2) | 5 3 |  3.10.10 |  3.5.3.5 |  5.6.6 |  3 5 |  3.4.5.4 |  4.6.10 |  3.3.3.3.5 |
 V3.10.10 |  V3.5.3.5 |  V5.6.6 |  V3.4.5.4 |  V4.6.10 |  V3.3.3.3.5 | |||
Ejemplo diedro (p=6) (2 2 6) |  6 2 |  2.12.12 | 2.6.2.6 |  6.4.4 |  2 6 |  2.4.6.4 |  4.4.12 |  3.3.3.6 |
| norte | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| n - Prisma (2 2 p) |  |  |  |  |  |  | ... |
| n - Bipirámide (2 2 p) |  |  |  |  |  |  | ... |
| n - Antiprisma |  |  |  |  | |  | ... |
| n - Trapezoedro | |  |  |  |  |  | ... |
Casos impropios
Las teselas esféricas permiten casos que los poliedros no admiten, a saber, hosoedros : figuras como {2,n} y diedros : figuras como {n,2}. Generalmente se utilizan hosoedros y diedros regulares.
| Espacio | Esférico | Euclidiano | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre del mosaico | Hosoedro hexagonal | Hosoedro digonal | Hosoedro trigonal | Hosoedro cuadrado | Hosoedro pentagonal | ... | Hosoedro apeirogonal |
Imagen en mosaico |  |  |  |  |  | ... |  |
Símbolo de Schläfli | {2,1} | {2,2} | {2,3} | {2,4} | {2,5} | ... | {2,∞} |
Diagrama de Coxeter |    | |  |  |  | ... |  |
| Caras y aristas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | ∞ |
| Vértices | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | ... | 2 |
| Configuración de vértice . | 2 | 2.2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | ... | 2 ∞ |
| Espacio | Esférico | Euclidiano | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre del mosaico | Diedro monogonal | Diedro digonal | Diedro trigonal | Diedro cuadrado | Diedro pentagonal | ... | Diedro apeirogonal |
Imagen en mosaico |  |  |  |  |  | ... |  |
Símbolo de Schläfli | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | ... | {∞,2} |
Diagrama de Coxeter |  | | | | | ... | |
| Caras | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | ... | 2 {∞} |
| Aristas y vértices | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ... | ∞ |
| Configuración de vértice . | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | ... | ∞.∞ |
Relación con teselaciones del plano proyectivo
Los poliedros esféricos que tienen al menos una simetría inversa están relacionados con los poliedros proyectivos [4] (teselaciones del plano proyectivo real ) – así como la esfera tiene un mapa de cobertura 2 a 1 del plano proyectivo, los poliedros proyectivos corresponden bajo una cobertura doble a poliedros esféricos que son simétricos bajo la reflexión a través del origen .
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos centralmente simétricos , así como dos clases infinitas de diedros y hosoedros pares : [5]
- Hemicubo , {4,3}/2
- Hemioctaedro , {3,4}/2
- Hemidodecaedro , {5,3}/2
- Hemiicosaedro , {3,5}/2
- Hemi-diedro, {2p,2}/2, p>=1
- Hemi-hosoedro, {2,2p}/2, p>=1
Véase también
- Geometría esférica
- Trigonometría esférica
- Poliedro
- Poliedro proyectivo
- Poliedro toroidal
- Notación del poliedro de Conway
Referencias
- ^ Sarhangi, Reza (septiembre de 2008). "Ilustrando Abu al-Wafā' Būzjānī: Imágenes planas, construcciones esféricas". Estudios iraníes . 41 (4): 511–523. doi :10.1080/00210860802246184.
- ^ Popko, Edward S. (2012). Esferas divididas: geodésicas y subdivisión ordenada de la esfera. CRC Press. p. xix. ISBN 978-1-4665-0430-1La invención de la cúpula geodésica
por parte de Buckminster Fuller fue el mayor estímulo para la investigación y el desarrollo de la subdivisión esférica.
- ^ Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Phil. Trans . 246 A (916): 401–50. JSTOR 91532.
- ^ McMullen, Peter ; Schulte, Egon (2002). "6C. Politopos regulares proyectivos". Resumen Politopos regulares . Cambridge University Press. págs. 162–5. ISBN 0-521-81496-0.
- ^ Coxeter, HSM (1969). "§21.3 Mapas regulares"". Introducción a la geometría (2.ª ed.). Wiley. págs. 386-8. ISBN 978-0-471-50458-0.Sr. 0123930 .
