Teorema del módulo de continuidad de Lévy

El teorema del módulo de continuidad de Lévy es un teorema que da un resultado sobre un comportamiento casi seguro de una estimación del módulo de continuidad para el proceso de Wiener , que se utiliza para modelar lo que se conoce como movimiento browniano .

El teorema del módulo de continuidad de Lévy debe su nombre al matemático francés Paul Lévy .

Declaración del resultado

Sea un proceso estándar de Wiener. Entonces, casi con seguridad , B : [ 0 , 1 ] × Ohmio R {\displaystyle B:[0,1]\times \Omega \to \mathbb {R} }

límite yo 0 sorber a , a " 1 ; | a a " | yo | B a " B a | 2 yo registro ( 1 / yo ) = 1. {\displaystyle \lim_{h\to 0}\sup_{t,t'\leq 1;|tt'|\leq h}{\frac {|B_{t'}-B_{t}|}{\sqrt {2h\log(1/h)}}}=1.}

En otras palabras, las trayectorias de muestra del movimiento browniano tienen módulo de continuidad.

ω B ( del ) = do 2 del registro ( 1 / del ) {\displaystyle \omega _{B}(\delta )=c{\sqrt {2\delta \log(1/\delta )}}}

con probabilidad uno, para y suficientemente pequeño . [1] do > 1 {\displaystyle c>1} del > 0 {\displaystyle \delta >0}

Véase también

Referencias

  1. ^ Lévy, P. Perfil del autor Théorie de l'addition des variables aléatoires. 2. ed. (Francés) página 172 Zbl 0056.35903 (Monographies des probabilités.) París: Gauthier-Villars, XX, 387 p. (1954)
  • Paul Pierre Lévy, Teoría de la adición de variables aleatorias. Gauthier-Villars, París (1937).
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