Teorema de Weller

El teorema de Weller ^[1] es un teorema de economía que afirma que un recurso heterogéneo ("pastel") se puede dividir entre n socios con diferentes valoraciones de una manera que sea eficiente en términos de Pareto (EP) y libre de envidia (FE). Por lo tanto, es posible dividir un pastel de manera justa sin comprometer la eficiencia económica.

Además, el teorema de Weller dice que existe un precio tal que la asignación y el precio son un equilibrio competitivo (EC) con ingresos iguales (IE). Por lo tanto, conecta dos campos de investigación que antes no estaban relacionados: el reparto justo de la torta y el equilibrio general .

El reparto justo de la torta se ha estudiado desde los años 1940. Hay un recurso divisible heterogéneo, como una torta o una finca. Hay n socios, cada uno de los cuales tiene una función de densidad de valor personal sobre la torta. El valor de una porción para un socio es la integral de su densidad de valor sobre esa porción (esto significa que el valor es una medida no atómica sobre la torta). El problema del reparto de la torta sin envidia consiste en dividir la torta en n porciones disjuntas, una porción por agente, de modo que para cada agente, el valor de su porción sea ligeramente mayor que los valores de todas las demás porciones (de modo que ningún agente envidie la porción de otro agente).

Un corolario del teorema de convexidad de Dubins-Spanier (1961) es que siempre existe una "partición de consenso": una partición de la torta en n porciones de modo que cada agente valore cada porción exactamente como . Una partición de consenso es, por supuesto, EF, pero no es EP. Además, otro corolario del teorema de convexidad de Dubins-Spanier es que, cuando al menos dos agentes tienen diferentes medidas de valor, existe una división que le da a cada agente estrictamente más de . Esto significa que la partición de consenso no es ni siquiera débilmente EP.${\estilo de visualización 1/n}$${\estilo de visualización 1/n}$

La ausencia de envidia, como criterio de asignación justa, se introdujo en la economía en la década de 1960 y se estudió intensamente durante la década de 1970. Los teoremas de Varian la estudian en el contexto de la división de bienes homogéneos . Bajo restricciones leves en las funciones de utilidad de los agentes, existen asignaciones que son tanto EP como FE. La prueba utiliza un resultado previo sobre la existencia de un equilibrio competitivo a partir de ingresos iguales (CEEI). David Gale demostró un resultado de existencia similar para agentes con utilidades lineales .

El reparto de la torta es más complicado que la asignación de bienes homogéneos, ya que una torta es heterogénea. En cierto sentido, una torta es un continuo de bienes: cada punto de la torta es un bien diferente. Este es el tema del teorema de Weller.

La torta se representa con . El número de socios se representa con .${\estilo de visualización C}$${\estilo de visualización n}$

Una partición de torta , denotada por , es una n -tupla de subconjuntos de ; es la pieza entregada al socio .${\estilo de visualización X}$${\displaystyle X_{1},\puntos ,X_{n}}$${\estilo de visualización C}$$Estilo de visualización X_{i}}$${\estilo de visualización i}$

Una partición se denomina PEEF si satisface las dos condiciones siguientes:

• Eficiencia de Pareto : ninguna otra división es débilmente mejor para todos los socios y estrictamente mejor para al menos un socio.
• Libre de envidia : ningún socio prefiere estrictamente una pieza asignada a otro agente.

Una partición y una medida de precio se denominan CEEI si satisfacen las dos condiciones siguientes (donde es la medida de valor del agente y es la medida de precio):${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización C}$$Estilo de visualización V_{i}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización P}$

• Equilibrio competitivo : Para cada agente i , cada porción positiva , y cada porción positiva : .${\displaystyle Z_{i}\subseteq X_{i}}$${\displaystyle Z\subseteq C}$${\displaystyle V_{i}(Z_{i})/P(Z_{i})\geq V_{i}(Z)/P(Z)}$
• Ingresos iguales: Para cada agente i: .${\displaystyle P(X_{i})=1}$

El CEEI es mucho más fuerte que el PEEF: cada asignación del CEEI es PEEF, pero hay muchas asignaciones del PEEF que no son CEEI.

El teorema de Weller demuestra la existencia de una asignación CEEI, lo que implica la existencia de una asignación PEEF.

La presentación a continuación se basa en el artículo de Weller y en parte en ^{[2] : 341–351} .

La prueba de Weller se basa en divisiones de pastel con el método de máxima utilidad ponderada (WUM) . Una división WUM es una división que maximiza una función de la siguiente forma:

${\displaystyle \suma _{i=1}^{n}{V_{i}(X_{i}) \sobre w_{i}}}$

donde es un índice de un agente, es la medida del valor del agente, es la pieza entregada a y es un peso positivo.${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización V_{i}}$${\estilo de visualización i}$$Estilo de visualización X_{i}}$${\estilo de visualización i}$$estilo de visualización w_{i}}$

Un corolario del teorema de compacidad de Dubins-Spanier es que, para cada vector de peso , existen asignaciones WUM. Intuitivamente, cada pequeño trozo de tarta debería dársele a la persona para la que es más grande. Si hay dos o más personas para las que este valor es el mismo, entonces cada división arbitraria de ese trozo entre ellas da como resultado una división WUM (las asignaciones WUM también se pueden definir utilizando el conjunto Radon-Nikodym . Cada vector de peso , como un punto en el símplex unitario de dimensión , define una partición de ese símplex. Esta partición induce una asignación del conjunto Radon-Nikodym de la tarta, que induce una o más asignaciones de la tarta) .${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización Z}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle {V_{i}(Z) \over w_{i}}}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización (n-1)}$

Obviamente, cada división WUM es PE. Sin embargo, una división WUM puede ser muy injusta; por ejemplo, si es muy grande, entonces el agente podría obtener solo una pequeña fracción de la torta (el vector de peso está muy cerca del vértice del agente del símplex unitario, lo que significa que obtendrá solo puntos del conjunto Radon-Nikodym que estén muy cerca de su vértice) . Por el contrario, si es muy pequeño, entonces el agente podría obtener la torta entera.$estilo de visualización w_{i}}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización w}$${\estilo de visualización i}$${\estilo de visualización i}$$estilo de visualización w_{i}}$${\estilo de visualización i}$

Weller demuestra que existe un vector de pesos para el cual la división WUM es también EF. Esto se hace definiendo varias funciones:

1. La función : para cada vector de peso positivo , es el conjunto de particiones WUM con pesos . La función es una función con valores de conjunto desde el interior del símplex unitario hacia el espacio de conjuntos de particiones de torta PE.${\displaystyle \operatorname {Par} }$${\displaystyle w=[w_{1},\dots,w_{n}]}$${\displaystyle \operatorname {Par} (w)}$${\estilo de visualización w}$${\displaystyle \operatorname {Par} }$

2. La función : para cada partición , es un vector proporcional a los valores de los socios: . La función mapea el espacio de particiones de torta en el símplex unitario.${\displaystyle \nombre del operador {Val} }$${\displaystyle X=X_{1},\puntos ,X_{n}}$${\displaystyle \operatorname {Val} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (X)={\frac {[V_{1}(X_{1}),\dots ,V_{n}(X_{n})]}{V_{1}(X_{1})+\cdots +V_{n}(X_{n})}}}$${\displaystyle \operatorname {Val} }$

3. La función : para cada vector de peso positivo , es un conjunto de nuevos vectores de peso. Esta es una función con valores de conjunto desde el interior del símplex unitario hacia el conjunto de subconjuntos del símplex unitario. Los vectores en son, en cierto sentido, opuestos a : si es pequeño, entonces las particiones en dan al agente un valor grande y su peso en es grande. Por el contrario, si es grande, entonces las particiones en dan al agente un valor pequeño y su peso en es grande. Esto indica que, si tiene un punto fijo, entonces este punto fijo corresponde a la partición PEEF que buscamos.${\displaystyle \operatorname {Wel} =\operatorname {Val} \circ \operatorname {Par} }$${\displaystyle w}$${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Par} (w)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle \operatorname {Par} (w)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Wel} (w)}$${\displaystyle \operatorname {Wel} }$

Para demostrar que la función tiene un punto fijo, nos gustaría utilizar el teorema de punto fijo de Kakutani . Sin embargo, hay un problema técnico que debe resolverse: la función está definida solo en el interior del símplex unitario, mientras que su rango es todo el símplex unitario. Afortunadamente, es posible extender hasta el límite del símplex unitario, de una manera que garantizará que ningún punto fijo NO estará en el límite. ^{[2] : 343–344} La función extendida, , es de hecho una función del símplex unitario a subconjuntos del símplex unitario. satisface los requisitos del teorema de punto fijo de Kakutani, ya que: ^{[2] : 345–349}${\displaystyle \operatorname {Wel} }$${\displaystyle \operatorname {Wel} }$${\displaystyle \operatorname {Wel} }$${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$

• Es una aplicación punto a conjunto del símplex unitario, que es un subconjunto compacto y convexo del espacio euclidiano;
• Es semicontinua superior ;
• Para cada en el símplex unitario, es no vacío y cerrado y convexo;${\displaystyle w}$${\displaystyle \operatorname {Wel} '(w)}$

Por lo tanto, tiene un punto fijo – un vector en el símplex unitario tal que . Mediante la construcción de , es posible demostrar que el punto fijo debe estar en el interior del símplex unitario, donde . Por lo tanto:${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W\in \operatorname {Wel} '(W)}$${\displaystyle \operatorname {Wel} '}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \operatorname {Wel} '\equiv \operatorname {Wel} }$

${\displaystyle W\in \operatorname {Wel} (W)}$

Por definición de , , entonces existe una partición tal que:${\displaystyle \operatorname {Wel} }$${\displaystyle W\in \operatorname {Val} (\operatorname {Par} (W))}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X\in \operatorname {Par} (W)}$
• ${\displaystyle W=\operatorname {Val} (X)}$

${\displaystyle X}$es claramente PE ya que es WUM (con vector de peso W). También es EF, ya que:

• ${\displaystyle X\in \operatorname {Par} (W)}$implica que X maximiza la suma ponderada con pesos . Esto significa que cada fracción de torta se entrega a un agente para el cual la densidad de valor ponderada es máxima. Por lo tanto, para cada dos agentes :${\displaystyle W=[W_{1},\dots ,W_{n}]}$${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {V_{j}(X_{j})}{w_{j}}}\geq {\frac {V_{i}(X_{j})}{w_{i}}}\implies {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{j})}}\geq {\frac {w_{j}}{w_{i}}}.}$

• ${\displaystyle W=\operatorname {Val} (X)}$implica que la relación entre los valores de cada dos agentes es igual a la relación de sus pesos:${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{i})}}={\frac {w_{j}}{w_{i}}}.}$

Combinando las dos últimas desigualdades se obtiene, para cada dos agentes :${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{j})}}\geq {\frac {V_{j}(X_{j})}{V_{i}(X_{i})}}\implies V_{i}(X_{j})\leq V_{i}(X_{i})}$

que es exactamente la definición de estar libre de envidia.

Una vez que tenemos una asignación PEEF , se puede calcular una medida de precio de la siguiente manera:${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$

• Por cada pieza que esté en poder íntegramente del agente ,${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle P(Z_{i})=V_{i}(Z_{i})/V_{i}(X_{i})}$
• Para cada pieza dividida entre varios agentes, el precio es la suma de los precios de sus subconjuntos en poder de estos agentes.

Es posible demostrar que el par satisface las condiciones de equilibrio competitivo con ingresos iguales (CEEI). En concreto, el ingreso de cada agente, bajo la medida de precios , es exactamente 1, ya que${\displaystyle X,P}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle P(X_{i})=V_{i}(X_{i})/V_{i}(X_{i})=1.}$

A modo de ilustración, consideremos un pastel con dos partes: chocolate y vainilla, y dos socios: Alicia y Jorge, con las siguientes valoraciones:

Como hay dos agentes, el vector se puede representar con un solo número: la relación entre el peso de Alice y el peso de George:${\displaystyle w}$

• Si la proporción es menor de 1:4, entonces una división WUM debería darle todo el pastel a Alice. La proporción de valores que disfrutan las personas será infinita (o 1:0), por lo que, por supuesto, no se encontrará ningún punto fijo en este rango.
• Si la proporción es exactamente 1:4, entonces todo el chocolate debe ser entregado a Alice, pero la vainilla puede ser dividida arbitrariamente entre Alice y George. La proporción de valores de las divisiones de WUM varía entre 1:0 y 9:4. Este rango no contiene la proporción 1:4, por lo tanto, el punto fijo no está aquí.
• Si la proporción está entre 1:4 y 9:6, entonces toda la vainilla debe ser entregada a George y todo el chocolate a Alice. La proporción de valores es 9:4, que no está dentro del rango, por lo que aún no se ha encontrado el punto fijo.
• Si la proporción es exactamente 9:6, entonces se le debe dar toda la vainilla a George, pero el chocolate se puede dividir arbitrariamente entre Alice y George. La proporción de valores de las divisiones WUM varía entre 9:4 y 0:1. Vemos que 9:6 está dentro del rango, por lo que tenemos un punto fijo. Se puede lograr dándole a George toda la vainilla y 1/6 del chocolate (para un valor total de 5) y dándole a Alice los 5/6 restantes del chocolate (para un valor total de 7,5). Esta división es PEEF.

Berliant, Thomson y Dunz ^[3] introdujeron el criterio de ausencia de envidia de grupo , que generaliza tanto la eficiencia de Pareto como la ausencia de envidia. Demostraron la existencia de asignaciones libres de envidia de grupo con utilidades aditivas. Más tarde, Berliant y Dunz ^[4] estudiaron algunas funciones de utilidad naturales no aditivas, motivadas por el problema de la división de la tierra. Cuando las utilidades no son aditivas, ya no se garantiza la existencia de una asignación CEEI, pero sí existe bajo ciertas restricciones.

Se pueden encontrar más resultados relacionados en Corte de pastel eficiente y Corte de pastel utilitario .

El teorema de Weller es puramente existencial. Algunos trabajos posteriores estudiaron los aspectos algorítmicos de la búsqueda de una partición CEEI. Estos trabajos suelen suponer que las medidas de valor son constantes por partes , es decir, la torta se puede dividir en regiones homogéneas en las que la densidad de valor de cada agente es uniforme.

El primer algoritmo para encontrar una partición CEEI en este caso fue desarrollado por Reijnierse y Potters. ^[5]

Aziz y Ye desarrollaron un algoritmo computacionalmente más eficiente. ^[6]

De hecho, cada partición de torta CEEI maximiza el producto de las utilidades, y viceversa: cada partición que maximiza el producto de las utilidades es un CEEI. ^[7] Por lo tanto, un CEEI se puede encontrar resolviendo un programa convexo que maximice la suma de los logaritmos de las utilidades.

Para dos agentes, se puede utilizar el procedimiento del ganador ajustado para encontrar una asignación PEEF que también sea equitativa (pero no necesariamente un CEEI).

Todos los algoritmos anteriores se pueden generalizar a medidas de valor que sean continuas en el sentido de Lipschitz . Dado que dichas funciones se pueden aproximar como funciones constantes por partes "tan cerca como queramos", los algoritmos anteriores también pueden aproximarse a una asignación PEEF "tan cerca como queramos". ^[5]

En la partición CEEI garantizada por Weller, la parte asignada a cada socio puede estar desconectada. En lugar de una sola parte contigua, cada socio puede recibir un montón de "migajas". De hecho, cuando las partes deben estar conectadas, las particiones CEEI pueden no existir. Consideremos las siguientes valoraciones constantes por partes:

La condición CE implica que todas las porciones periféricas deben tener el mismo precio (digamos, p ) y ambas porciones centrales deben tener el mismo precio (digamos q ). La condición EI implica que el precio total de la torta debe ser 2, por lo que . La condición EI nuevamente implica que, en cualquier división CEEI conectada, la torta se corta por la mitad. Tanto Alice como George reciben dos porciones periféricas y una porción central. La condición CE para Alice implica que pero la condición CE para George implica que , lo cual es una contradicción.${\displaystyle q+2p=1}$${\displaystyle q=p}$${\displaystyle q=4p}$

Si bien la condición CEEI puede ser inalcanzable con piezas conectadas, la condición PEEF más débil siempre es alcanzable cuando hay dos socios. Esto se debe a que con dos socios, la ausencia de envidia es equivalente a la proporcionalidad, y la proporcionalidad se conserva bajo mejoras de Pareto. Sin embargo, cuando hay tres o más socios, incluso la condición PEEF más débil puede ser inalcanzable. Considere las siguientes valoraciones constantes por partes: ^{[8] : Ejemplo 5.1}

EF implica que Bob recibe al menos una parte de su porción de 7 valores (PE entonces implica que la recibe toda).

Por conectividad, existen tres opciones:

• La pieza de Carl está a la derecha de la pieza de Bob. Por lo tanto, Carl obtiene la porción más a la derecha y su valor es 3. La PE implica que Alice obtiene las cinco porciones a la izquierda de la pieza de Bob, que valen 4 para Carl. Por lo tanto, Carl envidia a Alice.
• La pieza de Carl está a la izquierda de la de Bob, y él obtiene sus dos piezas de valor 2. Entonces, el valor de Alice es como máximo 2, y la pieza de Carl vale 3 para Alice. Por lo tanto, Alice envidia a Carl.
• La pieza de Carl está a la izquierda de la pieza de Bob, y obtiene como máximo una pieza de valor 2. En ese caso, la asignación no es PE, ya que Carl puede aumentar su valor a 3 moviéndose a la derecha de Bob sin dañar a nadie.

Por lo tanto, no existe asignación alguna de PEEF.

En el ejemplo anterior, si consideramos que la torta es una "tarta" (es decir, si se permite que un trozo rodee el límite de la torta hasta el otro límite), entonces existe una asignación PEEF; sin embargo, Stromquist ^[9] mostró un ejemplo más sofisticado donde no existe una asignación PEEF ni siquiera en una tarta.

• División libre de envidia y eficiencia de Pareto : el problema análogo para los bienes divisibles homogéneos.