Teorema de Russo-Dye

En matemáticas , el teorema de Russo-Dye es un resultado en el campo del análisis funcional . Afirma que en un álgebra unitaria C* , el cierre de la envoltura convexa de los elementos unitarios es la bola unitaria cerrada . ^{[1] : 44} El teorema fue publicado por B. Russo y HA Dye en 1966. ^[2]

Resultados similares al teorema de Russo-Dye se cumplen en contextos más generales. Por ejemplo, en un álgebra unitaria de *-Banach, la esfera unitaria cerrada está contenida en la envoltura convexa cerrada de los elementos unitarios . ^{[1] : 73}

Un resultado más preciso es cierto para el C*-álgebra de todos los operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert : Si T es un operador de este tipo y || T || < 1 − 2/ n para algún entero n > 2, entonces T es la media de n operadores unitarios . ^{[3] : 98}

Este ejemplo se debe a Russo y Dye, ^[2] Corolario 1: Si U ( A ) denota los elementos unitarios de una C*-álgebra A , entonces la norma de una aplicación lineal f de A a un espacio lineal normado B es

${\displaystyle \sup_{U\in U(A)}||f(U)||.}$

En otras palabras, la norma de un operador se puede calcular utilizando sólo los elementos unitarios del álgebra.

• Una demostración especialmente sencilla del teorema se da en: Gardner, LT (1984). "Una demostración elemental del teorema de Russo-Dye". Actas de la American Mathematical Society . 90 (1): 171. doi :10.2307/2044692. JSTOR  2044692.