Teorema de descomposición de Doob-Meyer

El teorema de descomposición de Doob-Meyer es un teorema de cálculo estocástico que establece las condiciones en las que una submartingala puede descomponerse de una manera única como la suma de una martingala y un proceso predecible creciente . Recibe su nombre en honor a Joseph L. Doob y Paul-André Meyer .

En 1953, Doob publicó el teorema de descomposición de Doob , que proporciona una descomposición única para ciertas martingalas de tiempo discreto. ^[1] Conjeturó una versión de tiempo continuo del teorema y en dos publicaciones en 1962 y 1963 Paul-André Meyer demostró dicho teorema, que se conoció como la descomposición de Doob-Meyer. ^{[2] [3]} En honor a Doob, Meyer utilizó el término "clase D" para referirse a la clase de supermartingalas para las que se aplicaba su teorema de descomposición único. ^[4]

Una supermartingala càdlàg es de clase D si y la colección ${\estilo de visualización Z}$${\displaystyle Z_{0}=0}$

${\displaystyle \{Z_{T}\mid T{\text{ un tiempo de parada de valor finito}}\}}$

es uniformemente integrable . ^[5]

Sea una supermartingala cadlag de clase D. Entonces existe un proceso único, no decreciente y predecible con tal que es una martingala uniformemente integrable. ^[5]${\estilo de visualización Z}$ ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A_{0}=0}$${\displaystyle M_{t}=Z_{t}+A_{t}}$

• Teorema de descomposición de Doob

• Doob, JL (1953). Procesos estocásticos . Wiley.
• Meyer, Paul-André (1962). "Un teorema de descomposición para supermartingalas". Illinois Journal of Mathematics . 6 (2): 193–205. doi : 10.1215/ijm/1255632318 .
• Meyer, Paul-André (1963). "Descomposición de supermartingalas: el teorema de unicidad". Illinois Journal of Mathematics . 7 (1): 1–17. doi : 10.1215/ijm/1255637477 .
• Protter, Philip (2005). Integración estocástica y ecuaciones diferenciales . Springer-Verlag. pp. 107–113. ISBN 3-540-00313-4.