Teorema de continuidad de Lévy

Resultado en la teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad , el teorema de continuidad de Lévy , o teorema de convergencia de Lévy , [1] llamado así por el matemático francés Paul Lévy , conecta la convergencia en la distribución de la secuencia de variables aleatorias con la convergencia puntual de sus funciones características . Este teorema es la base de un enfoque para demostrar el teorema del límite central y es uno de los principales teoremas relacionados con las funciones características.

Declaración

Supongamos que tenemos

  • una secuencia de variables aleatorias , que no necesariamente comparten un espacio de probabilidad común , { incógnita norte } norte = 1 {\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
  • la secuencia de funciones características correspondientes , que por definición son { φ norte } norte = 1 {\textstyle \{\varphi _ {n}\}_ {n=1}^{\infty }}
    φ norte ( a ) = mi [ mi i a incógnita norte ] a R ,   norte norte , {\displaystyle \varphi _{n}(t)=\nombre del operador {E} \left[e^{itX_{n}}\right]\quad \forall t\in \mathbb {R} ,\ \forall n\in \mathbb {N} ,}
    ¿Dónde está el operador de valor esperado ? mi {\displaystyle \nombre del operador {E} }

Si la secuencia de funciones características converge puntualmente a alguna función φ {\estilo de visualización \varphi}

φ norte ( a ) φ ( a ) a R , {\displaystyle \varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R} ,}

Entonces las siguientes afirmaciones se vuelven equivalentes:

  • incógnita norte Estilo de visualización X_{n} converge en distribución a alguna variable aleatoria X
    incógnita norte   D   incógnita , {\displaystyle X_{n}\ {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\ X,}
    es decir, las funciones de distribución acumulativa correspondientes a variables aleatorias convergen en cada punto de continuidad de la función de distribución acumulativa de  X ;
  • { incógnita norte } norte = 1 {\textstyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} está apretado :
    límite incógnita ( sorber norte PAG [ | incógnita norte | > incógnita ] ) = 0 ; {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\left(\sup _{n}\operatorname {P} {\big [}\,|X_{n}|>x\,{\big ]}\right)=0;}
  • φ ( a ) {\displaystyle \varphi(t)} es una función característica de alguna variable aleatoria X ;
  • φ ( a ) {\displaystyle \varphi(t)} es una función continua de t ;
  • φ ( a ) {\displaystyle \varphi(t)} es continua en t  = 0.

Prueba

Existen pruebas rigurosas de este teorema. [1] [2]

Referencias

  1. ^ ab Williams, D. (1991). Probabilidad con martingalas . Cambridge University Press. Sección 18.1. ISBN 0-521-40605-6.
  2. ^ Fristedt, BE; Gray, LF (1996). Un enfoque moderno de la teoría de la probabilidad . Boston: Birkhäuser. Teoremas 14.15 y 18.21. ISBN 0-8176-3807-5.
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