Campo fuente

En física teórica , una fuente es un concepto abstracto, desarrollado por Julian Schwinger , motivado por los efectos físicos de las partículas circundantes involucradas en la creación o destrucción de otra partícula . ^[1] Por lo tanto, uno puede percibir las fuentes como el origen de las propiedades físicas llevadas por la partícula creada o destruida, y por lo tanto uno puede usar este concepto para estudiar todos los procesos cuánticos, incluidas las propiedades localizadas del espacio-tiempo y las formas de energía, es decir, masa y momento, de los fenómenos. La amplitud de probabilidad de la partícula creada o en descomposición se define por el efecto de la fuente en una región localizada del espacio-tiempo de modo que la partícula afectada captura su física dependiendo de la naturaleza tensorial ^[2] y espinorial ^[3] de la fuente. Un ejemplo al que se refirió Julian Schwinger es la creación de mesones debido a las correlaciones de masas entre cinco mesones. ^[4] .$estilo de visualización {\eta ^{*}}$${\estilo de visualización \pi}$

La misma idea se puede utilizar para definir campos de origen . Matemáticamente, un campo de origen es un campo de fondo acoplado al campo original como${\estilo de visualización J}$${\estilo de visualización \phi}$

${\displaystyle S_{\text{fuente}}=J\phi }$.

Este término aparece en la acción de la formulación de la integral de trayectorias de Richard Feynman y es responsable de las interacciones de la teoría. En una reacción de colisión, una fuente podría ser otras partículas en la colisión. ^[5] Por lo tanto, la fuente aparece en la amplitud del vacío que actúa desde ambos lados sobre el correlador de la función de Green de la teoría. ^[1]

La teoría de fuentes de Schwinger se deriva del principio de acción cuántica de Schwinger y puede relacionarse con la formulación de la integral de trayectoria, ya que la variación con respecto a la fuente en sí corresponde al campo , es decir, ^[6]${\estilo de visualización \delta J}$${\estilo de visualización \phi}$

${\displaystyle \delta J=\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~J(t)\phi (t)}}$.

Además, una fuente actúa efectivamente ^[7] en una región del espacio-tiempo. Como se ve en los ejemplos siguientes, el campo fuente aparece en el lado derecho de las ecuaciones de movimiento (normalmente ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden ) para . Cuando el campo es el potencial electromagnético o el tensor métrico , el campo fuente es la corriente eléctrica o el tensor de tensión-energía , respectivamente. ^{[8] [9]}${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización \phi}$

En términos de aplicaciones estadísticas y no relativistas, la formulación de fuentes de Schwinger juega un papel crucial en la comprensión de muchos sistemas que no están en equilibrio. ^{[10] [11]} La teoría de fuentes es teóricamente significativa ya que no necesita regularizaciones de divergencia ni renormalización. ^[5]

En la formulación de la integral de trayectoria de Feynman con normalización , la función de partición ^[12]${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]}$

${\displaystyle Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi , {\punto {\phi }})+J(t)\phi (t)]}}$

genera funciones de Green ( correladores )

${\displaystyle G(t_{1},\cdots ,t_{N})=(-i)^{N}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{N})}}{\Bigg |}_{J=0}}$.

Se implementa la metodología variacional cuántica para darse cuenta de que es una fuente impulsora externa de . Desde las perspectivas de la teoría de la probabilidad, puede verse como el valor esperado de la función . Esto motiva considerar el hamiltoniano del oscilador armónico forzado como un modelo de juguete${\estilo de visualización J}$${\estilo de visualización \phi}$${\estilo de visualización Z[J]}$${\displaystyle e^{J\phi}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}a)}$dónde .${\displaystyle E^{2}=m^{2}+{\vec {p}}^{2}}$

De hecho, la corriente es real, es decir . ^[13] Y el lagrangiano es . De ahora en adelante, nos quitamos el sombrero y el asterisco. Recuerde que la cuantificación canónica establece . A la luz de la relación entre la función de partición y sus correladores, la variación de la amplitud del vacío da${\displaystyle J=J^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}}$${\displaystyle \phi \sim (a^{\dagger }+a)}$

${\displaystyle \delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i{\Big \langle }0,x'_{0}{\Big |}\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\Big (}a^{\dagger }+a{\Big )}{\Big |}0,x''_{0}~{\Big \rangle }_{J}}$, dónde .${\displaystyle x_{0}'>x_{0}>x_{0}''}$

Como la integral está en el dominio del tiempo, se puede realizar una transformación de Fourier junto con los operadores de creación/aniquilación, de modo que la amplitud finalmente se convierta en ^[6]

${\displaystyle \langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f){\Big ]}}}$.

Es fácil notar que hay una singularidad en . Entonces, podemos aprovechar la prescripción y desplazar el polo de manera que para la función de Green se revele${\displaystyle f=E}$${\displaystyle i\epsilon }$${\displaystyle f-E+i\epsilon }$${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int dx_{0}~dx'_{0}J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0}){\Big ]}}\\&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if(x_{0}-x'_{0})}}{f-E+i\epsilon }}\end{aligned}}}$

El último resultado es la teoría fuente de Schwinger para campos escalares en interacción y se puede generalizar a cualquier región del espacio-tiempo. ^[7] Los ejemplos analizados a continuación siguen la métrica .${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$

La teoría de perturbación causal explica cómo actúan débilmente las fuentes. Para una fuente débil que emite partículas de espín 0 al actuar sobre el estado de vacío con una amplitud de probabilidad , se crea una única partícula con momento y amplitud dentro de cierta región del espacio-tiempo . Luego, otra fuente débil absorbe esa única partícula dentro de otra región del espacio-tiempo de modo que la amplitud se convierte en . ^[5] Por lo tanto, la amplitud de vacío total está dada por${\displaystyle J_{e}}$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \langle p|0\rangle _{J_{e}}}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle J_{a}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \langle 0|p\rangle _{J_{a}}}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx~dx'J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')}$

donde es el propagador (correlacionador) de las fuentes. El segundo término de la última amplitud define la función de partición de la teoría de campos escalares libres . Y para alguna teoría de interacción, el lagrangiano de un campo escalar acoplado a una corriente está dado por ^[14]${\displaystyle \Delta (x-x')}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .}$

Si se suma al término de masa, entonces se realizan las transformadas de Fourier y al espacio de momento, la amplitud del vacío se convierte en${\displaystyle -i\epsilon }$${\displaystyle J}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}J(-p)\right]\right)}}$,

Es fácil notar que el término en la amplitud anterior puede transformarse mediante Fourier en , es decir, .${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}.}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)}$${\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)J(x)}$${\displaystyle (\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}=J}$

De esta manera, la función generadora se obtiene a partir de la función de partición de la siguiente manera. ^[8] El último resultado nos permite leer la función de partición como

${\displaystyle Z[J]=Z[0]e^{{\frac {i}{2}}\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }}$, donde , y es la amplitud de vacío derivada por la fuente . En consecuencia, el propagador se define variando la función de partición de la siguiente manera.${\displaystyle Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}~e^{-i\int dt~[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\frac {1}{2}}(m^{2}-i\epsilon ){\tilde {\phi }}^{2}]}}$${\displaystyle \langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}{\Bigg \vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\Bigg \{}Z[J]\left(\int d^{4}y'\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}yJ(y)\Delta (y-x')\right){\Bigg \}}{\Bigg \vert }_{J=0}={\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x'){\Bigg \vert }_{J=0}\\\quad \\&=\Delta (x-x').\end{aligned}}}$Esto motiva la discusión de la aproximación del campo medio a continuación.

Basándose en la teoría de las fuentes de Schwinger, Steven Weinberg sentó las bases de la teoría de campos efectivos, ampliamente apreciada entre los físicos. A pesar del “ incidente de los zapatos ”, Weinberg le dio el crédito a Schwinger por catalizar este marco teórico. ^[15]

Todas las funciones de Green pueden encontrarse formalmente a través de la expansión de Taylor de la suma de partición considerada como una función de los campos fuente. Este método se utiliza comúnmente en la formulación de la integral de trayectorias de la teoría cuántica de campos . El método general por el cual se utilizan dichos campos fuente para obtener propagadores tanto en sistemas cuánticos, de mecánica estadística y otros se describe a continuación. Al redefinir la función de partición en términos de amplitud rotada por Wick , la función de partición se convierte en . Se puede introducir , que se comporta como energía libre de Helmholtz en teorías de campos térmicos , ^[16] para absorber el número complejo, y por lo tanto . La función también se llama acción cuántica reducida . ^[17] Y con la ayuda de la transformada de Legendre , podemos inventar una "nueva" energía efectiva funcional, ^[18] o acción efectiva , como${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})}$${\displaystyle Z[J]=e^{iW[J]}}$${\displaystyle F[J]=iW[J]}$${\displaystyle \ln Z[J]=F[J]}$${\displaystyle F[J]}$

${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}xJ(x){\bar {\phi }}(x)}$, con las transformadas ^[19] ${\displaystyle {\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,~{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.}$

Se permite que la integración en la definición de la acción efectiva se reemplace con la suma sobre , es decir, . ^[20] La última ecuación se asemeja a la relación termodinámica entre la energía libre de Helmholtz y la entropía. Ahora está claro que las teorías de campo térmicas y estadísticas se derivan fundamentalmente de integraciones funcionales y derivadas funcionales . Volviendo a las transformadas de Legendre,${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)}$${\displaystyle F=E-TS}$

El se llama campo medio obviamente porque , mientras que es un campo clásico de fondo . ^[17] Un campo se descompone en una parte clásica y una parte de fluctuación , es decir, , por lo que la amplitud de vacío se puede reintroducir como${\displaystyle \langle \phi \rangle }$${\displaystyle \langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}}$${\displaystyle {\bar {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\bar {\phi }}}$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\eta }$

${\displaystyle e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi }$,

y cualquier función se define como${\displaystyle {\mathcal {F}}[\phi ]}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]~\exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi }$,

donde es la acción del Lagrangiano libre. Las dos últimas integrales son los pilares de cualquier teoría de campo efectiva. ^[20] Esta construcción es indispensable para estudiar la dispersión ( fórmula de reducción LSZ ), la ruptura espontánea de simetría , ^{[21] [22]} las identidades de Ward , los modelos sigma no lineales y las teorías efectivas de baja energía . ^[16] Además, este marco teórico inicia una línea de pensamiento, publicitada principalmente por Bryce DeWitt , quien fue estudiante de doctorado de Schwinger, sobre el desarrollo de una teoría efectiva cuantizada canónica para la gravedad cuántica. ^[23]${\displaystyle S[\phi ]}$

Volviendo a las funciones de Green de las acciones. Puesto que es la transformada de Legendre de , y define un correlador de N puntos conectados , entonces el correlador correspondiente obtenido de , conocido como función de vértice , viene dado por . En consecuencia, en los grafos irreducibles de una partícula (usualmente acrónimos como 1PI ), el correlador de 2 puntos conectados se define como el inverso del correlador de 2 puntos, es decir, la correlación reducida usual es , y la correlación efectiva es . Para , las relaciones más generales entre los N puntos conectados y son${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle G_{\Gamma [J]}^{N,~c}={\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}}$${\displaystyle G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}$${\displaystyle J_{i}=J(x_{i})}$${\displaystyle F[J]}$${\displaystyle Z[J]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta ^{N}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}Z[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta ^{3}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}Z[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}}$y

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{N}F[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}F[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}F[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}}$

Para una fuente débil que produce una partícula misiva de espín 1 con una corriente general que actúa sobre diferentes puntos causales del espacio-tiempo , la amplitud del vacío es${\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}$${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right]\right)}}$

En el espacio de momento, la partícula de espín 1 con masa en reposo tiene un momento definido en su sistema de reposo, es decir . Entonces, la amplitud da ^[5]${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{\mu }=(m,0,0,0)}$${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}(p_{\mu }J^{\mu }(p))^{T}~p_{\nu }J^{\nu }(p)&=(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-(J^{\mu }(p))^{T}~{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }}}{\Big |}_{on-shell}~J^{\nu }(p)\\&=(J^{\mu }(p))^{T}~\left[\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p)\end{alignedat}}}$

donde y es la transpuesta de . El último resultado coincide con el propagador utilizado en la amplitud de vacío en el espacio de configuración, es decir,${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$${\displaystyle (J_{\mu }(p))^{T}}$${\displaystyle J_{\mu }(p)}$

${\displaystyle \langle 0|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(x')|0\rangle =-i\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p_{\alpha }p^{\alpha }+i\epsilon }}\left[\eta _{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }-\xi m^{2}}}\right]e^{ip^{\mu }(x_{\mu }-x'_{\mu })}}$.

Cuando , la fijación de calibre de Feynman-'t Hooft elegida hace que el espín 1 no tenga masa. Y cuando , la fijación de calibre de Landau elegida hace que el espín 1 tenga masa. ^[24] El caso sin masa es obvio, tal como se estudia en la electrodinámica cuántica . El caso con masa es más interesante, ya que no se exige que la corriente se conserve. Sin embargo, la corriente se puede mejorar de una manera similar a cómo se mejora el tensor de Belinfante-Rosenfeld para que termine conservándose. Y para obtener la ecuación de movimiento para el vector con masa, se puede definir ^[5]${\displaystyle \xi =1}$${\displaystyle \xi =0}$

${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})={\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].}$

Se puede aplicar la integración por partes en el segundo término y luego separarlo para obtener una definición del campo masivo de espín 1.${\displaystyle \int dxJ_{\mu }(x)}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\equiv \int dx'\Delta (x-x')J^{\mu }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\left[\int dx'\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].}$

Además, la ecuación anterior dice que . Por lo tanto, la ecuación de movimiento se puede escribir en cualquiera de las siguientes formas${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=(1/m^{2})\partial _{\mu }J^{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Box +m^{2})A_{\mu }=J_{\mu }+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }J^{\nu },\\(\Box +m^{2})A_{\mu }+\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }=J_{\mu }.\end{aligned}}}$

Para una fuente débil en un fondo plano de Minkowski , que produce y luego absorbe una partícula misiva de espín 2 con un tensor de energía-momento general redefinido , que actúa como una corriente , donde es el tensor de polarización del vacío , la amplitud del vacío en una forma compacta es ^[5]${\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \alpha }{\bar {\eta }}_{\nu \beta }T^{\alpha \beta }}$${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p)=(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}p_{\mu }p_{\nu })}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{\bar {T}}=\exp {\Big (}-{\frac {i}{2}}\int {\Big [}{\bar {T}}_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x'){\bar {T}}^{\mu \nu }(x')&+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x'){\Big ]}dx~dx'{\Big )},\end{aligned}}}$

o

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{T}=\exp {\Bigg (}-{\frac {i}{2}}\int &{\Bigg [}T_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }T^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu }(x)-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }T^{\mu \nu }(x)\right)\Delta (x-x')\left(\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right){\Bigg ]}dx~dx'{\Bigg )}.\end{aligned}}}$

Esta amplitud en el espacio de momento da (la transposición está incrustada)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\\&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }p^{\mu }p^{\kappa }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)+{\frac {1}{m^{4}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)=\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta ^{\mu \kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}\\&-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\{\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p){\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}\eta ^{\nu \lambda }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\nu }p^{\lambda }{\Big )}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p).\end{aligned}}}$

Y con la ayuda de las propiedades simétricas de la fuente, el último resultado se puede escribir como , donde el operador de proyección, o la transformada de Fourier del operador de campo de Jacobi obtenido al aplicar el corchete de Peierls en el principio variacional de Schwinger , ^[25] es .${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}$${\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)={\frac {1}{2}}{\Big (}{\bar {\eta }}_{\mu \kappa }(p){\bar {\eta }}_{\nu \lambda }(p)+{\bar {\eta }}_{\mu \lambda }(p){\bar {\eta }}_{\nu \kappa }(p)-{\frac {2}{3}}{\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p){\bar {\eta }}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}}$

En el espacio-tiempo plano N-dimensional, 2/3 se reemplaza por 2/(N-1). ^[26] Y para campos de espín 2 sin masa , el operador de proyección se define como ^[5] .${\displaystyle \Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }^{m=0}={\frac {1}{2}}{\Big (}\eta _{\mu \kappa }\eta _{\nu \lambda }+\eta _{\mu \lambda }\eta _{\nu \kappa }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\kappa \lambda }{\Big )}}$

Junto con la ayuda de la identidad de Ward-Takahashi , el operador del proyector es crucial para verificar las propiedades simétricas del campo, la ley de conservación de la corriente y los grados de libertad físicos permitidos.

Vale la pena señalar que el tensor de polarización de vacío y el tensor de momento de energía mejorado aparecen en las primeras versiones de las teorías de gravedad masiva . ^{[27] [28]} Curiosamente, las teorías de gravedad masiva no han sido ampliamente apreciadas hasta hace poco debido a las aparentes inconsistencias obtenidas en los estudios de principios de la década de 1970 sobre el intercambio de un solo campo de espín 2 entre dos fuentes. Pero en 2010, el enfoque dRGT ^[29] de explotar la redefinición del campo de Stueckelberg condujo a una teoría masiva covariantizada consistente libre de todos los fantasmas y discontinuidades obtenidas anteriormente.${\displaystyle {\bar {\eta }}_{\nu \beta }}$${\displaystyle {\bar {T}}^{\mu \nu }}$

Si uno observa y sigue el mismo procedimiento utilizado para definir campos masivos de espín 1, entonces es fácil definir campos masivos de espín 2 como${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{T}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\mu \nu }(x)&=\int \Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \mu }(x')dx'\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')dx'\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\right)\int \Delta (x-x')\left[\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right]dx'.\end{aligned}}}$

La condición de divergencia correspondiente se lee , donde la corriente no se conserva necesariamente (no es una condición de calibre como la del caso sin masa). Pero el tensor de energía-momento se puede mejorar de tal manera que según la construcción de Belinfante-Rosenfeld . Por lo tanto, la ecuación de movimiento${\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h={\frac {1}{m^{2}}}\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}$${\displaystyle \partial ^{\mu }T_{\mu \nu }}$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}}$${\displaystyle \partial ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0}$

${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }+{\dfrac {1}{m^{2}}}\left(\partial _{\mu }\partial ^{\rho }T_{\rho \nu }+\partial _{\nu }\partial ^{\rho }T_{\rho \mu }-{\frac {1}{2}}~\eta _{\mu \nu }\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }\right)+{\frac {2}{3m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }}$

se convierte en

${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\dfrac {1}{6m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\left(\square +3m^{2}\right){\mathfrak {T}}.}$

Se puede utilizar la condición de divergencia para desacoplar los campos no físicos y , por lo que la ecuación de movimiento se simplifica como ^[30]${\displaystyle \partial ^{\mu }h_{\mu \nu }}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle \left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\frac {1}{3m^{2}}}~\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathfrak {T}}}$.

Se puede generalizar la fuente para que se convierta en una fuente de espín superior de modo que se convierta en . ^[5] El operador de proyección generalizada también ayuda a generalizar el vector de polarización electromagnética del potencial vectorial electromagnético cuantificado de la siguiente manera. Para los puntos del espacio-tiempo , el teorema de adición de armónicos esféricos establece que${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)}$${\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)}$ ${\displaystyle T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)}$${\displaystyle S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}$${\displaystyle e_{m}^{\mu }(p)}$${\displaystyle x~{\text{and}}~x'}$

${\displaystyle x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{\ell }}\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)x'^{\nu _{1}}\cdots x'^{\nu _{\ell }}={\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell ,m}(x)Y_{\ell ,m}^{*}(x')}$.

Además, la teoría de representación del espacio de polinomios homogéneos de valor complejo de grado en una esfera unitaria (N-1) define el tensor de polarización como ^[31] Entonces, el vector de polarización generalizado es .${\displaystyle \ell }$${\displaystyle e_{(m)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}e_{(m)i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }},~\forall x_{i}\in S^{N-1}.}$${\displaystyle e^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)~x_{\mu _{1}}\cdots x_{\mu _{\ell }}={\sqrt {{\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}~~Y_{\ell ,m}(x)}$

Y el operador de proyección se puede definir como .${\displaystyle \Pi ^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)=\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }[e_{m}^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)]~[e_{m}^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)]^{*}}$

Las propiedades simétricas del operador de proyección facilitan el manejo de la amplitud del vacío en el espacio de momento. Por lo tanto, en lugar de expresarlo en términos del correlacionador en el espacio de configuración, escribimos${\displaystyle \Delta (x-x')}$

${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int {\frac {dp^{4}}{(2\pi )^{4}}}S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(-p){\frac {\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}{p_{\sigma }p^{\sigma }-m^{2}+i\epsilon }}S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p){\Big ]}}}$.

Además, es teóricamente consistente generalizar la teoría de la fuente para describir campos de calibración hipotéticos con propiedades antisimétricas y simétricas mixtas en dimensiones arbitrarias y espines arbitrarios . Pero uno debe tener cuidado con los grados de libertad no físicos en la teoría. Por ejemplo, en N-dimensiones y para una versión sin masa simétrica mixta del campo de Curtright y una fuente , la amplitud del vacío es que para una teoría en N = 4 hace que la fuente finalmente revele que es una teoría de un campo no físico. ^[32] Sin embargo, la versión masiva sobrevive en N ≥ 5.${\displaystyle T_{[\mu \nu ]\lambda }}$${\displaystyle S_{[\mu \nu ]\lambda }=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }T_{[\mu \nu ]\lambda }}$${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{S}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[S_{[\mu \nu ]\lambda }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \nu ]\lambda }(x')+{\frac {2}{3-N}}S_{[\mu \alpha ]\alpha }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \beta ]\beta }(x')\right]\right)}}$

Para el propagador de fermiones de espín y la corriente definida anteriormente, la amplitud de vacío es ^[5]${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle S(x-x')=(p\!\!\!/+m)\Delta (x-x')}$${\displaystyle J=J_{e}+J_{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Bigg [}{\frac {i}{2}}\int dxdx'~J(x)~{\Big (}\gamma ^{0}S(x-x'){\Big )}~J(x'){\Bigg ]}}\\&=\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\exp {{\Bigg [}i\int dxdx'~J_{e}(x)~{\Big (}\gamma ^{0}S(x-x')~{\Big )}~J_{a}(x'){\Bigg ]}}\langle 0|0\rangle _{J_{a}}.\end{aligned}}}$

En el espacio de momento la amplitud reducida viene dada por

${\displaystyle W_{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J(-p){\Big [}\gamma ^{0}{\frac {p\!\!\!/+m}{p^{2}-m^{2}}}{\Big ]}~J(p).}$