Teoría de De Donder-Weyl

En física matemática , la teoría de De Donder-Weyl es una generalización del formalismo hamiltoniano en el cálculo de variaciones y la teoría clásica de campos en el espacio-tiempo , que trata las coordenadas espaciales y temporales en pie de igualdad. En este marco, el formalismo hamiltoniano en mecánica se generaliza a la teoría de campos en la forma en que un campo se representa como un sistema que varía tanto en el espacio como en el tiempo. Esta generalización es diferente del formalismo hamiltoniano canónico en la teoría de campos, que trata las variables espaciales y temporales de manera diferente y describe los campos clásicos como sistemas de dimensión infinita que evolucionan en el tiempo.

Ecuaciones de De Donder-Weyl:
∂ pag a i / ∂ incógnita i = − ∂ yo / ∂ y a {\displaystyle \parcial p_{a}^{i}/\parcial x^{i}=-\parcial H/\parcial y^{a}}
∂ y a / ∂ incógnita i = ∂ yo / ∂ pag a i {\displaystyle \parcial y^{a}/\parcial x^{i}=\parcial H/\parcial p_{a}^{i}}

Formulación de De Donder-Weyl de la teoría de campos

La teoría de De Donder–Weyl se basa en un cambio de variables conocido como transformación de Legendre . Sean x i las coordenadas del espacio-tiempo , para i = 1 a n (donde n = 4 representa 3 + 1 dimensiones de espacio y tiempo), e y una variable de campo, para a = 1 a m , y L la densidad lagrangiana.

yo = yo ( y a , ∂ i y a , incógnita i ) {\displaystyle L=L(y^{a},\partial _{i}y^{a},x^{i})}

Con los polimomentos p i a definidos como

pag a i = ∂ yo / ∂ ( ∂ i y a ) {\displaystyle p_{a}^{i}=\parcial L/\parcial (\parcial _{i}y^{a})}

y la función hamiltoniana de De Donder-Weyl H definida como

yo = pag a i ∂ i y a − yo {\displaystyle H=p_{a}^{i}\partial _{i}y^{a}-L}

Las ecuaciones de De Donder–Weyl son: [1]

∂ pag a i / ∂ incógnita i = − ∂ yo / ∂ y a , ∂ y a / ∂ incógnita i = ∂ yo / ∂ pag a i {\displaystyle \parcial p_{a}^{i}/\parcial x^{i}=-\parcial H/\parcial y^{a}\,,\,\parcial y^{a}/\parcial x^{i}=\parcial H/\parcial p_{a}^{i}}

Esta forma hamiltoniana de De Donder-Weyl de ecuaciones de campo es covariante y es equivalente a las ecuaciones de Euler-Lagrange cuando la transformación de Legendre para las variables p i a y H no es singular. La teoría es una formulación de una teoría de campo hamiltoniana covariante que es diferente del formalismo hamiltoniano canónico y para n = 1 se reduce a la mecánica hamiltoniana (véase también principio de acción en el cálculo de variaciones ).

Hermann Weyl en 1935 desarrolló la teoría de Hamilton-Jacobi para la teoría de De Donder-Weyl. [2]

De manera similar al formalismo hamiltoniano en mecánica formulado utilizando la geometría simpléctica del espacio de fases, la teoría de De Donder-Weyl puede formularse utilizando la geometría multisimpléctica o la geometría polisimpléctica y la geometría de los haces jet .

En 1993, Kanatchikov encontró una generalización de los corchetes de Poisson a la teoría de De Donder-Weyl y la representación de las ecuaciones de De Donder-Weyl en términos de corchetes de Poisson generalizados que satisfacen el álgebra de Gerstenhaber. [3]

Historia

El formalismo, ahora conocido como teoría de De Donder–Weyl (DW), fue desarrollado por Théophile De Donder [4] [5] y Hermann Weyl . Hermann Weyl hizo su propuesta en 1934 inspirándose en el trabajo de Constantin Carathéodory , que a su vez se fundó en el trabajo de Vito Volterra . El trabajo de De Donder por otro lado partió de la teoría de invariantes integrales de Élie Cartan . [6] La teoría de De Donder–Weyl ha sido parte del cálculo de variaciones desde la década de 1930 e inicialmente encontró muy pocas aplicaciones en física. Recientemente se aplicó en física teórica en el contexto de la teoría cuántica de campos [7] y la gravedad cuántica . [8]

En 1970, Jedrzej Śniatycki, autor de Cuantización geométrica y mecánica cuántica , desarrolló una formulación geométrica invariante de los haces de jets , basándose en el trabajo de De Donder y Weyl. [9] En 1999, Igor Kanatchikov demostró que las ecuaciones de campo hamiltonianas covariantes de De Donder-Weyl se pueden formular en términos de matrices de Duffin-Kemmer-Petiau . [10]

Véase también

Lectura adicional

  • Artículos seleccionados sobre CAMPOS GEODÉSICOS, traducidos y editados por DH Delphenich. Parte 1 [2] Archivado el 21 de octubre de 2016 en Wayback Machine , Parte 2 [3] Archivado el 20 de octubre de 2016 en Wayback Machine
  • HA Kastrup, Teorías canónicas de sistemas dinámicos lagrangianos en física, Physics Reports, Volumen 101, Números 1-2, Páginas 1-167 (1983).
  • Mark J. Gotay, James Isenberg, Jerrold E. Marsden, Richard Montgomery: "Mapas de momento y campos relativistas clásicos. Parte I: Teoría de campos covariantes" arXiv :physics/9801019
  • Cornelius Paufler, Hartmann Römer: Ecuaciones de Donder–Weyl y geometría multisimpléctica Archivado el 15 de abril de 2012 en Wayback Machine , Reports on Mathematical Physics, vol. 49 (2002), núm. 2–3, págs. 325–334
  • Krzysztof Maurin: El legado de Riemann: Ideas riemannianas en matemáticas y física , Parte II, Capítulo 7.16 Teorías de campo para el cálculo de variación para integrales múltiples , Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-4636-X , 1997, pág. 482 y siguientes.

Referencias

  1. ^ Hanno Rund, "Teoría de Hamilton-Jacobi en el cálculo de variaciones: su papel en las matemáticas y la física", Van Nostrand, Reinhold, 1966.
  2. ^ Hermann Weyl, "Campos geodésicos en el cálculo de variación para integrales múltiples", Ann. Math. 36, 607 (1935). https://www.jstor.org/stable/1968645
  3. ^ Igor V. Kanatchikov: Sobre la estructura canónica de la formulación hamiltoniana covariante De Donder-Weyl de la teoría de campos I. Corchetes de Poisson graduados y ecuaciones de movimiento, arXiv:hep-th/9312162 (enviado el 20 de diciembre de 1993).
  4. ^ Théophile De Donder, "Théorie invariantive du calcul des variaciones", Gauthier-Villars, 1930. [1]
  5. ^ Frédéric Hélein: Formalismos hamiltonianos para el cálculo multidimensional de variaciones y la teoría de perturbaciones En Haïm Brézis, Felix E. Browder, Abbas Bahri, Sergiu Klainerman, Michael Vogelius (ads.): Problemas no compactos en la intersección de la geometría, el análisis y la topología , American Mathematical Society, 2004, págs. 127-148, pág. 131, ISBN 0-8218-3635-8 , 
  6. ^ Roger Bielawski, Kevin Houston , Martin Speight: Problemas variacionales en geometría diferencial , London Mathematical Society Lecture Notes Series, n.º 394, Universidad de Leeds, 2009, ISBN 978-0-521-28274-1 , pág. 104 y siguientes. 
  7. ^ Igor V. Kanatchikov: Teoría de De Donder-Weyl y una extensión hipercompleja de la mecánica cuántica a la teoría de campos, arXiv:hep-th/9810165 (enviado el 21 de octubre de 1998)
  8. ^ Igor V. Kanatchikov: Gravedad cuántica precanónica: cuantificación sin descomposición espacio-temporal, arXiv:gr-qc/0012074 (enviado el 20 de diciembre de 2000)
  9. ^ Jedrzej Śniatycki, 1970. Citado después de: Yvette Kosmann-Schwarzbach : Los teoremas de Noether: leyes de invariancia y conservación en el siglo XX , Springer, 2011, ISBN 978-0-387-87867-6 , pág. 111 
  10. ^ Igor V. Kanatchikov: Sobre la formulación de Duffin–Kemmer–Petiau de la dinámica hamiltoniana covariante en la teoría de campos, arXiv:hep-th/9911175 (enviado el 23 de noviembre de 1999)
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