Teoría de conjuntos de Scott-Potter

La teoría de conjuntos de Scott-Potter, una aproximación a los fundamentos de las matemáticas de origen relativamente reciente, es una colección de teorías de conjuntos axiomáticos anidados establecidas por el filósofo Michael Potter, basándose en trabajos anteriores del matemático Dana Scott y el filósofo George Boolos .

Potter (1990, 2004) aclaró y simplificó el enfoque de Scott (1974), y mostró cómo la teoría de conjuntos axiomáticos resultante puede hacer lo que se espera de dicha teoría, es decir, fundamentar los números cardinales y ordinales , la aritmética de Peano y los otros sistemas numéricos usuales , y la teoría de las relaciones .

Esta sección y la siguiente siguen de cerca la Parte I de Potter (2004). La lógica de fondo es lógica de primer orden con identidad . La ontología incluye urelementos así como conjuntos , lo que deja claro que puede haber conjuntos de entidades definidas por teorías de primer orden que no se basan en conjuntos. Los urelementos no son esenciales en el sentido de que otras estructuras matemáticas pueden definirse como conjuntos, y es permisible que el conjunto de urelementos esté vacío.

Algunos términos peculiares de la teoría de conjuntos de Potter:

• ι es un operador de descripción definido y vincula una variable. (En la notación de Potter, el símbolo iota está invertido).
• El predicado U es válido para todos los urelementos (no colecciones).
• ιxΦ(x) existe sólo si y sólo si ( ∃!x )Φ(x). (Potter utiliza Φ y otras letras griegas mayúsculas para representar fórmulas).
• {x : Φ(x)} es una abreviatura de ιy(no U(y) y ( ∀x )(x ∈ y ⇔ Φ(x))).
• a es una colección si existe { x  : x ∈ a }. (Todos los conjuntos son colecciones, pero no todas las colecciones son conjuntos).
• La acumulación de a , acc( a ), es el conjunto { x  : x es un urelemento o ∃ b ∈ a ( x ∈ b o x ⊂ b )}.
• Si ∀ v ∈ V ( v = acc( V ∩ v )) entonces V es una historia .
• Un nivel es la acumulación de una historia.
• Un nivel inicial no tiene otros niveles como miembros.
• Un nivel límite es un nivel que no es el nivel inicial ni el nivel superior a cualquier otro nivel.
• Un conjunto es una subcolección de algún nivel.
• El cumpleaños del conjunto a , denotado V ( a ), es el nivel más bajo V tal que a ⊂ V .

Los siguientes tres axiomas definen la teoría ZU .

Creación : ∀ V ∃ V' ( V ∈ V' ).

Observación : No existe un nivel superior, por lo tanto, hay infinitos niveles. Este axioma establece la ontología de los niveles.

Separación : esquema axiomático . Para cualquier fórmula de primer orden Φ( x ) con variables (atadas) que se extienden por encima del nivel V , la colección { x ∈ V  : Φ( x )} también es un conjunto. (Véase Esquema axiomático de separación ).

Observación : Dados los niveles establecidos por la Creación , este esquema establece la existencia de conjuntos y cómo formarlos. Nos dice que un nivel es un conjunto, y todos los subconjuntos de niveles, definibles mediante lógica de primer orden , también son conjuntos. Este esquema puede verse como una extensión de la lógica de fondo.

Infinito : Existe al menos un nivel límite. (Véase Axioma del infinito .)

Observación : Entre los conjuntos que permite la separación , al menos uno es infinito . Este axioma es principalmente matemático , ya que no hay necesidad de que exista un infinito real en otros contextos humanos, ya que el orden sensorial humano es necesariamente finito. Para fines matemáticos, el axioma "Existe un conjunto inductivo " sería suficiente.

Las siguientes afirmaciones, si bien tienen la naturaleza de axiomas, no son axiomas de ZU . En cambio, afirman la existencia de conjuntos que satisfacen una condición establecida. Como tales, son "premisas de existencia", es decir, lo siguiente. Sea X cualquier enunciado a continuación. Cualquier teorema cuya demostración requiera X se formula entonces condicionalmente como "Si X se cumple, entonces..." Potter define varios sistemas que utilizan premisas de existencia, incluidas las dos siguientes:

• ZfU = _df ZU + Ordinales ;
• ZFU = _df Separación + Reflexión .

Ordinales : Para cada ordinal (infinito) α, existe un nivel correspondiente V _α .

Observación : En palabras, "Existe un nivel correspondiente a cada ordinal infinito". Los ordinales hacen posible la definición convencional de Von Neumann de los números ordinales .

Sea τ( x ) un término de primer orden .

Reemplazo : Un esquema axiomático . Para cualquier colección a , ∀ x ∈ a [τ( x ) es un conjunto] → {τ( x ) : x ∈ a } es un conjunto.

Observación : Si el término τ( x ) es una función (llamémosla f ( x )), y si el dominio de f es un conjunto, entonces el rango de f también es un conjunto.

Reflexión : Sea Φ una fórmula de primer orden en la que estén presentes cualquier número de variables libres . Sea Φ ^{( V )} Φ con estas variables libres todas cuantificadas, con las variables cuantificadas restringidas al nivel V .

Entonces ∃ V [Φ→Φ ^{( V )} ] es un axioma.

Observación : Este esquema afirma la existencia de un universo "parcial", es decir, el nivel V , en el que todas las propiedades Φ que se cumplen cuando las variables cuantificadas abarcan todos los niveles, también se cumplen cuando estas variables abarcan solo V. La reflexión convierte Creación , Infinito , Ordinales y Reemplazo en teoremas (Potter 2004: §13.3).

Sean A y a secuencias de conjuntos no vacíos , cada uno indexado por n .

Opción contable : Dada cualquier secuencia A , existe una secuencia a tal que:

∀ n ∈ω[ a _n ∈ A _n ].

Observación . La elección contable permite demostrar que cualquier conjunto debe ser finito o infinito.

Sean B y C conjuntos, y sea n el índice de los miembros de B , cada uno denotado como B _n .

Opción : Sean los miembros de B conjuntos no vacíos disjuntos. Entonces:

∃ C ∀ n [ C ∩ B _n es un singleton ].

El universo de von Neumann implementa la "concepción iterativa de conjunto" al estratificar el universo de conjuntos en una serie de "niveles", donde los conjuntos en un nivel dado son los miembros de los conjuntos que conforman el siguiente nivel superior. Por lo tanto, los niveles forman una secuencia anidada y bien ordenada , y formarían una jerarquía si la pertenencia al conjunto fuera transitiva . La concepción iterativa resultante evita, de una manera bien motivada, las conocidas paradojas de Russell , Burali-Forti y Cantor . Todas estas paradojas resultan del uso irrestricto del principio de comprensión que permite la teoría de conjuntos ingenua . Las colecciones como "la clase de todos los conjuntos" o "la clase de todos los ordinales" incluyen conjuntos de todos los niveles de la jerarquía. Dada la concepción iterativa, dichas colecciones no pueden formar conjuntos en ningún nivel dado de la jerarquía y, por lo tanto, no pueden ser conjuntos en absoluto. La concepción iterativa se ha vuelto gradualmente más aceptada con el tiempo, a pesar de una comprensión imperfecta de sus orígenes históricos.

El tratamiento axiomático de Boolos (1989) de la concepción iterativa es su teoría de conjuntos S , una teoría de primer orden de dos ordenamientos que involucra conjuntos y niveles.

Scott (1974) no mencionó la "concepción iterativa de conjunto", sino que propuso su teoría como una consecuencia natural de la teoría simple de tipos . No obstante, la teoría de Scott puede verse como una axiomatización de la concepción iterativa y la jerarquía iterativa asociada.

Scott comenzó con un axioma que se negó a nombrar: la fórmula atómica x ∈ y implica que y es un conjunto. En símbolos:

∀ x , y ∃ a [ x ∈ y → y = a ].

Su axioma de extensionalidad y su esquema axiomático de comprensión ( separación ) son estrictamente análogos a sus contrapartes de ZF y, por lo tanto, no mencionan niveles. Luego invocó dos axiomas que sí mencionan niveles:

• Acumulación . Un nivel determinado "acumula" todos los miembros y subconjuntos de todos los niveles anteriores. Véase la definición anterior de acumulación .
• Restricción . Todas las colecciones pertenecen a algún nivel.

La restricción también implica la existencia de al menos un nivel y asegura que todos los conjuntos estén bien fundados.

El axioma final de Scott, el esquema de reflexión , es idéntico a la premisa de existencia anterior que lleva el mismo nombre y también cumple funciones para el infinito y el reemplazo de ZF . El sistema de Scott tiene la misma fuerza que ZF.

Potter (1990, 2004) introdujo la terminología idiosincrásica descrita anteriormente en esta entrada y descartó o reemplazó todos los axiomas de Scott excepto Reflection ; el resultado es ZU . ZU , como ZF, no puede axiomatizarse finitamente . ZU se diferencia de ZFC en que:

• No incluye ningún axioma de extensionalidad porque el principio de extensionalidad habitual se desprende de la definición de colección y de un lema fácil.
• Admite conjuntos no bien fundados . Sin embargo, Potter (2004) nunca invoca tales conjuntos, y todos los conjuntos (conjuntos que están contenidos en un nivel) están bien fundados. Ningún teorema de Potter quedaría anulado si se añadiera a ZU un axioma que estableciera que todos los conjuntos son conjuntos .
• No incluye equivalentes de Elección o el esquema axiomático de Reemplazo .

Por lo tanto, ZU está más cerca de la teoría de conjuntos de Zermelo de 1908, es decir, ZFC menos Elección, Reemplazo y Fundación. Sin embargo, es más fuerte que esta teoría, ya que los cardinales y ordinales se pueden definir, a pesar de la ausencia de Elección, utilizando el truco de Scott y la existencia de niveles, y tal definición no es posible en la teoría de conjuntos de Zermelo. Por lo tanto, en ZU, una clase de equivalencia de:

• Los conjuntos equinumerosos de un nivel común son un número cardinal ;
• Los buenos ordenamientos isomorfos , también de un nivel común, son un número ordinal.

De manera similar, los números naturales no se definen como un conjunto particular dentro de la jerarquía iterativa, sino como modelos de un álgebra de Dedekind "pura". "Álgebra de Dedekind" es el nombre que Potter le da a un conjunto cerrado bajo una operación inyectiva unaria , sucesor , cuyo dominio contiene un elemento único, cero, ausente de su rango . Debido a que la teoría de las álgebras de Dedekind es categórica (todos los modelos son isomorfos ), cualquier álgebra de este tipo puede representar a los números naturales.

Aunque Potter (2004) dedica un apéndice entero a las clases propias , la fortaleza y los méritos de la teoría de conjuntos de Scott-Potter en relación con los conocidos rivales de ZFC que admiten clases propias, a saber, NBG y la teoría de conjuntos de Morse-Kelley , aún deben explorarse.

La teoría de conjuntos de Scott-Potter se parece a la NFU en que esta última es una teoría de conjuntos axiomática ideada recientemente (Jensen 1967) que admite tanto urelementos como conjuntos que no están bien fundados . Pero los urelementos de la NFU, a diferencia de los de la ZU, juegan un papel esencial; ellos y las restricciones resultantes sobre la Extensionalidad hacen posible una prueba de la consistencia de la NFU en relación con la aritmética de Peano . Pero no se sabe nada sobre la fuerza de la NFU en relación con Creación + Separación , NFU + Infinito en relación con ZU, y de NFU + Infinito + Elección Contable en relación con ZU + Elección Contable .

A diferencia de casi todos los escritos sobre teoría de conjuntos de las últimas décadas, Potter (2004) menciona las fusiones mereológicas . Sus colecciones también son sinónimo de los "conjuntos virtuales" de Willard Quine y Richard Milton Martin : entidades que surgen del libre uso del principio de comprensión y que nunca pueden ser admitidas en el universo del discurso .

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• Jerarquía (matemáticas)
• Lista de temas de teoría de conjuntos
• Filosofía de las matemáticas
• S (Bolos 1989)
• El universo de von Neumann
• Teoría de conjuntos de Zermelo
• ZFC

• George Boolos , 1971, "La concepción iterativa de conjunto", Journal of Philosophy 68 : 215-31. Reimpreso en Boolos 1999. Logic, Logic, and Logic . Harvard Univ. Press: 13-29.
• --------, 1989, "Iteración de nuevo", Philosophical Topics 42 : 5-21. Reimpreso en Boolos 1999. Logic, Logic, and Logic . Harvard Univ. Press: 88-104.
• Potter, Michael, 1990. Conjuntos: una introducción . Oxford Univ. Press.
• ------, 2004. Teoría de conjuntos y su filosofía . Oxford Univ. Press.
• Dana Scott , 1974, "Axiomatización de la teoría de conjuntos" en Jech, Thomas, J., ed., Teoría de conjuntos axiomáticos II , Actas de simposios sobre matemáticas puras 13. American Mathematical Society: 207–14.

Reseña de Potter (1990):

• McGee, Vann, "[1]" "Revista de lógica simbólica 1993":1077-1078

Reseñas de Potter (2004):

• Bays, Timothy, 2005, "Reseña", Notre Dame Philosophical Reviews .
• Uzquiano, Gabriel, 2005, "Reseña", Philosophia Mathematica 13 : 308-46.