Tensor de Schouten

En geometría de Riemann, el tensor de Schouten es un tensor de segundo orden introducido por Jan Arnoldus Schouten definido para n ≥ 3 por:

PAG = 1 norte − 2 ( R i do − R 2 ( norte − 1 ) gramo ) ⇔ R i do = ( norte − 2 ) PAG + Yo gramo , {\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {R}{2(n-1)}}g\right)\,\Leftrightarrow \mathrm {Ric} =(n-2)P+Jg\,,}

donde Ric es el tensor de Ricci (definido al contraer el primer y tercer índice del tensor de Riemann), R es la curvatura escalar , g es la métrica de Riemann , es la traza de P y n es la dimensión de la variedad. Yo = 1 2 ( norte − 1 ) R {\displaystyle J={\frac {1}{2(n-1)}}R}

El tensor de Weyl es igual al tensor de curvatura de Riemann menos el producto de Kulkarni-Nomizu del tensor de Schouten con la métrica. En una notación de índice

R i yo a yo = Yo i yo a yo + gramo i a PAG yo yo − gramo yo a PAG i yo − gramo i yo PAG yo a + gramo yo yo PAG i a . {\displaystyle R_{ijkl}=W_{ijkl}+g_{ik}P_{jl}-g_{jk}P_{il}-g_{il}P_{jk}+g_{jl}P_{ik}\, .}

El tensor de Schouten aparece a menudo en geometría conforme debido a su ley de transformación conforme relativamente simple.

gramo i yo ↦ Ohmio 2 gramo i yo ⇒ PAG i yo ↦ PAG i yo − ∇ i Oh yo + Oh i Oh yo − 1 2 Oh a Oh a gramo i yo , {\displaystyle g_{ij}\mapsto \Omega ^{2}g_{ij}\Rightarrow P_{ij}\mapsto P_{ij}-\nabla _{i}\Upsilon _{j}+\Upsilon _{i }\Upsilon _{j}-{\frac {1}{2}}\Upsilon _{k}\Upsilon ^{k}g_{ij}\,,}

dónde Oh i := Ohmio − 1 ∂ i Ohmio . {\displaystyle \Upsilon _{i}:=\Omega ^{-1}\partial _{i}\Omega \,.}

Lectura adicional

  • Arthur L. Besse, Einstein Manifolds . Springer-Verlag, 2007. Véase el capítulo 1, §J "Cambios conformes de las métricas de Riemann".
  • Spyros Alexakis, The Decomposition of Global Conformal Invariants . Princeton University Press, 2012. Cap. 2, donde se señala en una nota al pie que el tensor de Schouten es un "tensor de Ricci ajustado por trazas" y puede considerarse "esencialmente el tensor de Ricci".
  • Wolfgang Kuhnel y Hans-Bert Rademacher, "Difeomorfismos conformes que preservan el tensor de Ricci", Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), núm. 9, 2841–2848. Publicación electrónica en línea (pdf).
  • T. Bailey, MG Eastwood y AR Gover, "El paquete de estructuras de Thomas para estructuras conformes, proyectivas y relacionadas", Rocky Mountain Journal of Mathematics, vol. 24, número 4, 1191-1217.

Véase también


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