Estrés en el plano

En mecánica de medios continuos , se dice que un material está bajo tensión plana si el vector de tensión es cero a lo largo de un plano particular. Cuando esa situación se da en un elemento entero de una estructura, como suele ser el caso de las placas delgadas, el análisis de tensión se simplifica considerablemente, ya que el estado de tensión se puede representar mediante un tensor de dimensión 2 (representable como una matriz de 2×2 en lugar de 3×3). ^[1] Un concepto relacionado, la deformación plana , suele aplicarse a elementos muy gruesos.

La tensión plana se produce normalmente en placas planas delgadas sobre las que actúan únicamente fuerzas de carga paralelas a ellas. En determinadas situaciones, también se puede suponer que una placa delgada ligeramente curvada tiene tensión plana a efectos de análisis de tensión. Este es el caso, por ejemplo, de un cilindro de paredes delgadas lleno de un fluido bajo presión. En tales casos, los componentes de tensión perpendiculares a la placa son insignificantes en comparación con los paralelos a ella. ^[1]

En otras situaciones, sin embargo, no se puede despreciar la tensión de flexión de una placa delgada. Se puede simplificar el análisis utilizando un dominio bidimensional, pero el tensor de tensión plano en cada punto debe complementarse con términos de flexión.

Matemáticamente, la tensión en algún punto del material es una tensión plana si una de las tres tensiones principales (los valores propios del tensor de tensiones de Cauchy ) es cero. Es decir, existe un sistema de coordenadas cartesianas en el que el tensor de tensiones tiene la forma

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&0&0\\0&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&0&0\\0&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

Por ejemplo, considere un bloque rectangular de material que mide 10, 40 y 5 cm a lo largo de los lados , , y , que se estira en la dirección y se comprime en la dirección , por pares de fuerzas opuestas con magnitudes de 10 N y 20 N, respectivamente, distribuidas uniformemente sobre las caras correspondientes. El tensor de tensión dentro del bloque será${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}500\mathrm {Pa} &0&0\\0&-4000\mathrm {Pa} &0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

De manera más general, si se eligen los dos primeros ejes de coordenadas de manera arbitraria pero perpendicular a la dirección de tensión cero, el tensor de tensión tendrá la forma

${\displaystyle \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&0\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

y por lo tanto puede representarse mediante una matriz de 2 × 2,

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\end{bmatrix}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}\end{bmatrix}}}$

En ciertos casos, el modelo de tensión plana se puede utilizar en el análisis de superficies suavemente curvadas. Por ejemplo, considere un cilindro de paredes delgadas sometido a una carga de compresión axial uniformemente distribuida a lo largo de su borde y lleno de un fluido presurizado. La presión interna generará una tensión circunferencial reactiva en la pared, una tensión de tracción normal dirigida perpendicularmente al eje del cilindro y tangencial a su superficie. El cilindro se puede desenrollar conceptualmente y analizar como una placa rectangular delgada y plana sometida a una carga de tracción en una dirección y una carga de compresión en otra dirección, ambas paralelas a la placa.

Si una dimensión es muy grande en comparación con las demás, la deformación principal en la dirección de la dimensión más larga está restringida y se puede suponer constante, lo que significa que habrá una deformación efectivamente cero a lo largo de ella, lo que produce una condición de deformación plana (Figura 7.2). En este caso, aunque todas las tensiones principales son distintas de cero, la tensión principal en la dirección de la dimensión más larga se puede descartar para los cálculos. De este modo, se permite un análisis bidimensional de las tensiones, por ejemplo, una presa analizada en una sección transversal cargada por el embalse.

El tensor de deformación correspondiente es:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\,\!}$

y el tensor de tensión correspondiente es:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,\!}$

en el que el término distinto de cero surge del efecto Poisson . Sin embargo, este término se puede eliminar temporalmente del análisis de tensión para dejar solo los términos en el plano, lo que reduce efectivamente el análisis a dos dimensiones. ^[1]${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$

Consideremos un punto en un continuo bajo un estado de tensión plana, o deformación plana, con componentes de tensión y todos los demás componentes de tensión iguales a cero (Figura 8.1). A partir del equilibrio estático de un elemento de material infinitesimal en (Figura 8.2), la tensión normal y la tensión cortante en cualquier plano perpendicular al plano - que pasa por un vector unitario que forma un ángulo de con la horizontal, es decir, es el coseno director en la dirección, está dada por:${\estilo de visualización P\,\!}$${\displaystyle (\sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy})\,\!}$${\estilo de visualización P\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$${\estilo de visualización x\,\!}$${\estilo de visualización y\,\!}$${\estilo de visualización P\,\!}$${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle \cos \theta \,\!}$${\estilo de visualización x\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta \,\!}$

Estas ecuaciones indican que en una condición de tensión o deformación plana, se pueden determinar los componentes de la tensión en un punto en todas las direcciones, es decir, como una función de , si se conocen los componentes de la tensión en dos direcciones perpendiculares cualesquiera en ese punto. Es importante recordar que estamos considerando un área unitaria del elemento infinitesimal en la dirección paralela al plano - .${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle (\sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy})\,\!}$${\estilo de visualización y\,\!}$${\estilo de visualización z\,\!}$

Las direcciones principales (Figura 8.3), es decir, la orientación de los planos donde los componentes de esfuerzo cortante son cero, se pueden obtener haciendo que la ecuación anterior para el esfuerzo cortante sea igual a cero. Así, tenemos:${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{xy}\cos 2\theta =0\,\!}$

y obtenemos

${\displaystyle \tan 2\theta _{\mathrm {p} }={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}\,\!}$

Esta ecuación define dos valores que están separados (Figura 8.3). El mismo resultado se puede obtener hallando el ángulo que hace que la tensión normal sea máxima, es decir${\displaystyle \theta _ {\mathrm {p} }\,\!}$${\displaystyle 90^{\circ }\,\!}$${\displaystyle \theta \,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle {\frac {d\sigma _{\mathrm {n} }}{d\theta }}=0\,\!}$

Las tensiones principales y , o las tensiones normales mínima y máxima y , respectivamente, se pueden obtener reemplazando ambos valores de en la ecuación anterior para . Esto se puede lograr reorganizando las ecuaciones para y , primero transponiendo el primer término en la primera ecuación y elevando al cuadrado ambos lados de cada una de las ecuaciones y luego sumándolos. Por lo tanto, tenemos${\displaystyle \sigma _{1}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{2}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {max} }\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {min} }\,\!}$${\displaystyle \theta _{\mathrm {p} }\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$

${\displaystyle \left[\sigma _{\mathrm {n} }-{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}\,\!}$

${\displaystyle (\sigma _{\mathrm {n} }-\sigma _{\mathrm {avg} })^{2}+\tau _{\mathrm {n} }^{2}=R^{2}\,\!}$

dónde

${\displaystyle R={\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{\mathrm {avg} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})\,\!}$

que es la ecuación de un círculo de radio centrado en un punto con coordenadas , llamado círculo de Mohr . Pero sabiendo que para las tensiones principales el esfuerzo cortante , entonces obtenemos de esta ecuación:${\displaystyle R\,\!}$${\displaystyle [\sigma _{\mathrm {avg} },0]\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{\mathrm {max} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{\mathrm {min} }={\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})-{\sqrt {\left[{\tfrac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}}\,\!}$

Cuando el elemento infinitesimal está orientado en la dirección de los planos principales, entonces las tensiones que actúan sobre el elemento rectangular son tensiones principales: y . Entonces la tensión normal y la tensión cortante como función de las tensiones principales se pueden determinar haciendo . Por lo tanto, tenemos${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$${\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{1}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{y}=\sigma _{2}\,\!}$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }\,\!}$${\displaystyle \tau _{xy}=0\,\!}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}+\sigma _{2})+{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\cos 2\theta \,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\sin 2\theta \,\!}$

Entonces, el esfuerzo cortante máximo ocurre cuando , es decir (Figura 8.3):${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }\,\!}$${\displaystyle \sin 2\theta =1\,\!}$${\displaystyle \theta =45^{\circ }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {max} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

Entonces, el esfuerzo cortante mínimo ocurre cuando , es decir (Figura 8.3):${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }\,\!}$${\displaystyle \sin 2\theta =-1\,\!}$${\displaystyle \theta =135^{\circ }\,\!}$

${\displaystyle \tau _{\mathrm {min} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{1}-\sigma _{2})\,\!}$

• Deformación del plano