Superficie algebraica

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En matemáticas , una superficie algebraica es una variedad algebraica de dimensión dos. En el caso de la geometría sobre el campo de los números complejos , una superficie algebraica tiene dimensión compleja dos (como una variedad compleja , cuando no es singular ) y, por lo tanto, dimensión cuatro como una variedad suave .

La teoría de las superficies algebraicas es mucho más complicada que la de las curvas algebraicas (incluidas las superficies compactas de Riemann , que son superficies genuinas de dimensión (real) dos). Se obtuvieron muchos resultados, pero, en la escuela italiana de geometría algebraica , tienen hasta 100 años de antigüedad.

En el caso de la dimensión uno, las variedades se clasifican únicamente por el género topológico , pero, en la dimensión dos, es necesario distinguir el género aritmético y el género geométrico porque no se puede distinguir biracionalmente solo el género topológico. Luego, se introduce la irregularidad para la clasificación de las variedades. A continuación, se presenta un resumen de los resultados (en detalle, para cada tipo de superficie se hace referencia a cada redirección):${\displaystyle p_{a}}$ ${\displaystyle p_{g}}$

Algunos ejemplos de superficies algebraicas incluyen (κ es la dimensión de Kodaira ):

• κ = −∞: el plano proyectivo , cuádricas en P ³ , superficies cúbicas , superficie de Veronese , superficies de Del Pezzo , superficies regladas
• κ = 0: superficies K3 , superficies abelianas , superficies de Enriques , superficies hiperelípticas
• κ = 1: superficies elípticas
• κ = 2: superficies de tipo general .

Para más ejemplos consulte la lista de superficies algebraicas .

Los primeros cinco ejemplos son, de hecho, birracionalmente equivalentes . Es decir, por ejemplo, una superficie cúbica tiene un cuerpo de funciones isomorfo al del plano proyectivo , siendo las funciones racionales dos indeterminadas. El producto cartesiano de dos curvas también proporciona ejemplos.

La geometría birracional de las superficies algebraicas es rica, debido a la transformación monoidal (también conocida como explosión ), en la que un punto se reemplaza por la curva de todas las direcciones tangentes limitantes que llegan a él (una línea proyectiva ). Algunas curvas también pueden ser derribadas , pero existe una restricción (el número de autointersecciones debe ser −1).

Uno de los teoremas fundamentales para la geometría biracional de superficies es el teorema de Castelnuovo , que establece que cualquier función biracional entre superficies algebraicas está dada por una secuencia finita de ampliaciones y descomposiciones.

El criterio de Nakai dice que:

Un divisor D sobre una superficie S es amplio si y sólo si D ² > 0 y para toda curva irreducible C sobre S D•C > 0.

Los divisores amplios tienen una propiedad interesante, como es el pullback de algún fibrado hiperplano del espacio proyectivo, cuyas propiedades son muy conocidas. Sea el grupo abeliano que consta de todos los divisores en S . Entonces, debido al teorema de intersección${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(S)\times {\mathcal {D}}(S)\rightarrow \mathbb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y}$

se considera como una forma cuadrática . Sea

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{0}(S):=\{D\in {\mathcal {D}}(S)|D\cdot X=0,{\text{for all }}X\in {\mathcal {D}}(S)\}}$

entonces pasa a ser un grupo de clases numéricamente equivalente de S y${\displaystyle {\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)}$

${\displaystyle Num(S)\times Num(S)\mapsto \mathbb {Z} =({\bar {D}},{\bar {E}})\mapsto D\cdot E}$

también se convierte en una forma cuadrática en , donde es la imagen de un divisor D en S . (En la siguiente imagen se abrevia con D .)${\displaystyle Num(S)}$${\displaystyle {\bar {D}}}$${\displaystyle {\bar {D}}}$

Para un fibrado lineal amplio H en S , la definición

${\displaystyle \{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S)|D\cdot H=0\}.}$

se utiliza en la versión de superficie del teorema del índice de Hodge :

para , es decir, la restricción de la forma de intersección a es una forma cuadrática definida negativa.${\displaystyle D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0}$${\displaystyle \{H\}^{\perp }}$

Este teorema se demuestra utilizando el criterio de Nakai y el teorema de Riemann-Roch para superficies. El teorema del índice de Hodge se utiliza en la demostración de la conjetura de Weil de Deligne .

Los resultados básicos sobre superficies algebraicas incluyen el teorema del índice de Hodge y la división en cinco grupos de clases de equivalencia biracional denominada clasificación de superficies algebraicas . La clase de tipo general , de dimensión Kodaira 2, es muy grande (el grado 5 o mayor para una superficie no singular en P ³ se encuentra en ella, por ejemplo).

Hay tres invariantes esenciales de números de Hodge de una superficie. De ellos, h ^1,0 se denominaba clásicamente irregularidad y se denotaba por q ; y h ^2,0 se denominaba género geométrico p _g . El tercero, h ^1,1 , no es un invariante biracional , porque la explosión puede añadir curvas enteras, con clases en H ^1,1 . Se sabe que los ciclos de Hodge son algebraicos y que la equivalencia algebraica coincide con la equivalencia homológica, de modo que h ^1,1 es una cota superior para ρ, el rango del grupo de Néron-Severi . El género aritmético p _a es la diferencia

género geométrico − irregularidad.

Esto explica por qué la irregularidad recibió su nombre, como una especie de "término de error".

El teorema de Riemann-Roch para superficies fue formulado por primera vez por Max Noether . Las familias de curvas de superficies se pueden clasificar, en cierto sentido, y dan lugar a gran parte de su interesante geometría.

• Dolgachev, IV (2001) [1994], "Superficie algebraica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Zariski, Oscar (1995), Superficies algebraicas , Classics in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, Sr.  1336146

• Programa gratuito SURFER para visualizar superficies algebraicas en tiempo real, incluye galería de usuarios.
• SingSurf un visor 3D interactivo para superficies algebraicas.
• Página sobre superficies algebraicas iniciada en 2008
• Descripción general y reflexiones sobre el diseño de superficies algebraicas