Paralelo (operador)
Modelado matemático de operaciones de resistencias en paralelo

Interpretación gráfica del operador paralelo con . a ∥ b = do {\displaystyle a\paralelo b=c}

El operador paralelo (pronunciado "paralelo", [1] siguiendo la notación de líneas paralelas de la geometría ; [2] [3] también conocido como suma reducida , suma paralela o adición paralela ) es una operación binaria que se utiliza como abreviatura en ingeniería eléctrica , [4] [5] [6] [nb 1] pero también se utiliza en cinética , mecánica de fluidos y matemáticas financieras . [7] [8] El nombre paralelo proviene del uso del operador que calcula la resistencia combinada de resistencias en paralelo . " {\estilo de visualización \|}

Descripción general

El operador paralelo representa el valor recíproco de una suma de valores recíprocos (a veces también denominado "fórmula recíproca" o " suma armónica ") y se define por: [9] [6] [10] [11]

a ∥ b := 1 1 a + 1 b = a b a + b , {\displaystyle a\parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab} {a+b}},}

donde a , b y son elementos de los números complejos extendidos [12] [13] a ∥ b {\displaystyle a\paralelo b} do ¯ = do ∪ { ∞ } . {\displaystyle {\overline {\mathbb {C}}}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}

El operador da la mitad de la media armónica de dos números a y b . [7] [8]

Como caso especial, para cualquier número : a ∈ do ¯ {\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}

a ∥ a = 1 2 / a = 1 2 a . {\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={\tfrac {1}{2}}a.}

Además, para todos los números distintos : a ≠ b {\displaystyle a\neq b}

| a ∥ b | > 1 2 min ( | a | , | b | ) , {\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}>{\tfrac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )},}

representando el valor absoluto de , y significando el mínimo (menor elemento) entre x e y . | a ∥ b | {\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}} a ∥ b {\displaystyle a\parallel b} min ( x , y ) {\displaystyle \min(x,y)}

Si y son números reales positivos distintos entonces a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 1 2 min ( a , b ) < | a ∥ b | < min ( a , b ) . {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b).}

El concepto se ha extendido desde una operación escalar a matrices [14] [15] [16] [17] [18] y se ha generalizado aún más . [19]

Notación

El operador fue introducido originalmente como suma reducida por Sundaram Seshu en 1956, [20] [21] [14] estudiado como operador  ∗por Kent E. Erickson en 1959, [22] [23] [14] y popularizado por Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. como operador de suma paralela u operador  de suma paralela: en matemáticas y teoría de redes desde 1966. [15] [16] [1] Si bien algunos autores continúan usando este símbolo hasta el presente, [7] [8] por ejemplo, Sujit Kumar Mitra lo usó ∙como símbolo en 1970. [14] En electrónica aplicada , un  ∥signo se volvió más común como símbolo del operador alrededor de 1974. [24] [25] [26] [27] [28] [nb 1] [nb 2] Esto a menudo se escribía como una línea vertical doble (||) disponible en la mayoría de los conjuntos de caracteres (a veces en cursiva como //[29] [30] ), pero ahora se puede representar utilizando el carácter Unicode U+2225 ( ∥ ) para "paralelo a". En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, las macros \|y \parallelse utilizan a menudo (y rara vez \smallparallelse utilizan) para indicar el símbolo del operador.

Propiedades

Sea el plano complejo extendido excluyendo el cero, y la función biyectiva de a tal que Uno tiene identidades C ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}} C ~ := C ∪ { ∞ } ∖ { 0 } , {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\},} φ {\displaystyle \varphi } C {\displaystyle \mathbb {C} } C ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}} φ ( z ) = 1 / z . {\displaystyle \varphi (z)=1/z.}

φ ( z t ) = φ ( z ) φ ( t ) , {\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t),}

y

φ ( z + t ) = φ ( z ) ∥ φ ( t ) {\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t)}

Esto implica inmediatamente que es un campo donde el operador paralelo toma el lugar de la adición, y que este campo es isomorfo a C ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}} C . {\displaystyle \mathbb {C} .}

Las siguientes propiedades se pueden obtener traduciendo las propiedades correspondientes de los números complejos. φ {\displaystyle \varphi }

Propiedades del campo

Como ocurre con cualquier campo, satisface una variedad de identidades básicas. ( C ~ , ∥ , ⋅ ) {\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\,\parallel \,,\,\cdot \,)}

Es conmutativa bajo paralelo y multiplicación:

a ∥ b = b ∥ a a b = b a {\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}

Es asociativa bajo paralelismo y multiplicación: [12] [7] [8]

( a ∥ b ) ∥ c = a ∥ ( b ∥ c ) = a ∥ b ∥ c = 1 1 a + 1 b + 1 c = a b c a b + a c + b c , ( a b ) c = a ( b c ) = a b c . {\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}

Ambas operaciones tienen un elemento identidad ; para la paralela la identidad es mientras que para la multiplicación la identidad es 1 : ∞ {\displaystyle \infty }

a ∥ ∞ = ∞ ∥ a = 1 1 a + 0 = a , 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a . {\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}

Cada elemento de tiene un inverso en paralelo, igual al inverso aditivo en la adición. (Pero 0 no tiene inverso en paralelo). a {\displaystyle a} C ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}} − a , {\displaystyle -a,}

a ∥ ( − a ) = 1 1 a − 1 a = ∞ . {\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}

El elemento identidad es su propio inverso, ∞ {\displaystyle \infty } ∞ ∥ ∞ = ∞ . {\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}

Cada elemento de tiene un inverso multiplicativo : a ≠ ∞ {\displaystyle a\neq \infty } C ~ {\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}} a − 1 = 1 / a {\displaystyle a^{-1}=1/a}

a ⋅ 1 a = 1. {\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}

La multiplicación es distributiva sobre paralela: [1] [7] [8]

k ( a ∥ b ) = k 1 a + 1 b = 1 1 k a + 1 k b = k a ∥ k b . {\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}

Paralelo repetido

El paralelo repetido es equivalente a la división,

a ∥ a ∥ ⋯ ∥ a ⏟ n  times = 1 1 a + 1 a + ⋯ + 1 a ⏟ n  times = a n . {\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}

O bien, multiplicando ambos lados por n ,

n ( a ∥ a ∥ ⋯ ∥ a ⏟ n  times ) = a . {\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}

A diferencia de la suma repetida , esto no conmuta:

a b ≠ b a implies a ∥ a ∥ ⋯ ∥ a ⏟ b  times ≠ b ∥ b ∥ ⋯ ∥ b ⏟ a  times   . {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {b}{a}}\quad {\text{implies}}\quad \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{b{\text{ times}}}\,\neq \,\underbrace {b\parallel b\parallel \cdots \parallel b} _{a{\text{ times}}}~\!.}

Expansión binomial

Utilizando la propiedad distributiva dos veces, el producto de dos binomios paralelos se puede desarrollar como

( a ∥ b ) ( c ∥ d ) = a ( c ∥ d ) ∥ b ( c ∥ d ) = a c ∥ a d ∥ b c ∥ b d . {\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}

El cuadrado de un binomio es

( a ∥ b ) 2 = a 2 ∥ a b ∥ b a ∥ b 2 = a 2 ∥ 1 2 a b ∥ b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}

El cubo de un binomio es

( a ∥ b ) 3 = a 3 ∥ 1 3 a 2 b ∥ 1 3 a b 2 ∥ b 3 . {\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}

En general, la potencia n de un binomio se puede desarrollar utilizando coeficientes binomiales que son el recíproco de los de la suma, lo que da como resultado un análogo de la fórmula binomial :

( a ∥ b ) n = a n ( n 0 ) ∥ a n − 1 b ( n 1 ) ∥ ⋯ ∥ a n − k b k ( n k ) ∥ ⋯ ∥ b n ( n n ) . {\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}

Logaritmo y exponencial

Se cumplen las siguientes identidades:

1 log ⁡ ( a b ) = 1 log ⁡ ( a ) ∥ 1 log ⁡ ( b ) , {\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}
exp ⁡ ( 1 a ∥ b ) = exp ⁡ ( 1 a ) exp ⁡ ( 1 b ) {\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}

Factorización de polinomios paralelos

Al igual que con un polinomio bajo adición, un polinomio paralelo con coeficientes en (con ) se puede factorizar en un producto de monomios: a k {\displaystyle a_{k}} C ~ {\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}} a 0 ≠ ∞ {\displaystyle a_{0}\neq \infty }

a 0 x n ∥ a 1 x n − 1 ∥ ⋯ ∥ a n = a 0 ( x ∥ − r 1 ) ( x ∥ − r 2 ) ⋯ ( x ∥ − r n ) {\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}

para algunas raíces (posiblemente repetidas) en r k {\displaystyle r_{k}} C ~ . {\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}

Análoga a los polinomios bajo adición, la ecuación polinómica

( x ∥ − r 1 ) ( x ∥ − r 2 ) ⋯ ( x ∥ − r n ) = ∞ {\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }

implica que para algún k . x = r k {\textstyle x=r_{k}}

Fórmula cuadrática

Una ecuación lineal se puede resolver fácilmente mediante la inversa paralela:

a x ∥ b = ∞ ⟹ x = − b a . {\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}

Para resolver una ecuación cuadrática paralela, complete el cuadrado para obtener un análogo de la fórmula cuadrática.

a x 2 ∥ b x ∥ c = ∞ x 2 ∥ b a x = − c a x 2 ∥ b a x ∥ 4 b 2 a 2 = ( − c a ) ∥ 4 b 2 a 2 ( x ∥ 2 b a ) 2 = b 2 ∥ − 1 4 a c 1 4 a 2 ⟹ x = ( − b ) ∥ ± b 2 ∥ − 1 4 a c 1 2 a . {\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}

Incluyendo cero

Los números complejos extendidos , incluido el cero, ya no son un cuerpo en operaciones paralelas y de multiplicación, porque el 0 no tiene inverso en operaciones paralelas. (Esto es análogo a la forma en que no es un cuerpo porque no tiene inverso aditivo). C ¯ := C ∪ ∞ , {\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,} ( C ¯ , + , ⋅ ) {\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}} ∞ {\displaystyle \infty }

Para cada a distinto de cero ,

a ∥ 0 = 1 1 a + 1 0 = 0 {\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}

La cantidad puede dejarse indefinida (ver forma indeterminada ) o definirse como igual a 0 . 0 ∥ ( − 0 ) = 0 ∥ 0 {\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}

Precedencia

En ausencia de paréntesis, el operador paralelo se define como que tiene prioridad sobre la suma o la resta, de forma similar a la multiplicación. [1] [31] [9] [10]

Aplicaciones

Existen aplicaciones del operador paralelo en electrónica, óptica y estudio de la periodicidad:

Análisis de circuitos

En ingeniería eléctrica , el operador paralelo se puede utilizar para calcular la impedancia total de varios circuitos eléctricos en serie y en paralelo . [nb 2] Existe una dualidad entre la suma habitual (en serie) y la suma en paralelo. [7] [8]

Por ejemplo, la resistencia total de las resistencias conectadas en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las resistencias individuales .

Un diagrama de varias resistencias, una al lado de la otra, con ambos conductores de cada una conectados a los mismos cables.
1 R eq = 1 R 1 + 1 R 2 + ⋯ + 1 R n R eq = R 1 ∥ R 2 ∥ ⋯ ∥ R n . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}

Lo mismo ocurre con la capacitancia total de los capacitores en serie . [nb 2]

Ecuación de la lente

En óptica geométrica, la aproximación de la lente delgada a la ecuación del fabricante de lentes.

f = ρ v i r t u a l ∥ ρ o b j e c t {\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}

Periodo sinódico

El tiempo transcurrido entre las conjunciones de dos cuerpos en órbita se denomina período sinódico . Si el período del cuerpo más lento es T 2 y el del más rápido es T 1 , entonces el período sinódico es

T s y n = T 1 ∥ ( − T 2 ) . {\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}

Ejemplos

Pregunta:

Tres resistencias y están conectadas en paralelo . ¿Cuál es su resistencia resultante? R 1 = 270 k Ω {\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } } R 2 = 180 k Ω {\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } } R 3 = 120 k Ω {\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }

Respuesta:

R 1 ∥ R 2 ∥ R 3 = 270 k Ω ∥ 180 k Ω ∥ 120 k Ω = 1 1 270 k Ω + 1 180 k Ω + 1 120 k Ω ≈ 56.84 k Ω {\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned}}}
La resistencia efectivamente resultante es de aproximadamente 57 k Ω .

Pregunta: [7] [8]

Un trabajador de la construcción levanta un muro en 5 horas. Otro trabajador necesitaría 7 horas para realizar el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo se tarda en levantar el muro si ambos trabajadores trabajan en paralelo?

Respuesta:

t 1 ∥ t 2 = 5 h ∥ 7 h = 1 1 5 h + 1 7 h ≈ 2.92 h {\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }
Terminarán en cerca de 3 horas.

Implementación

WP 34S con operador paralelo ( ∥) en la tecla g+ .÷

Sugerido ya por Kent E. Erickson como una subrutina en computadoras digitales en 1959, [22] el operador paralelo se implementa como un operador de teclado en las calculadoras científicas de Notación Polaca Inversa (RPN) WP 34S desde 2008 [32] [33] [34] así como en la WP 34C [35] y WP 43S desde 2015, [36] [37] permitiendo resolver incluso problemas en cascada con pocas pulsaciones de teclas como .270↵ Enter180∥120∥

Visión proyectiva

Dado un cuerpo F hay dos incrustaciones de F en la línea proyectiva P( F ): z → [ z  : 1] y z → [1 : z ]. Estas incrustaciones se superponen excepto para [0:1] y [1:0]. El operador paralelo relaciona la operación de adición entre las incrustaciones. De hecho, las homografías en la línea proyectiva están representadas por matrices de 2 x 2 M(2, F ), y las operaciones de cuerpo (+ y ×) se extienden a las homografías. Cada incrustación tiene su adición a + b representada por las siguientes multiplicaciones de matrices en M(2, A ):

( 1 0 a 1 ) ( 1 0 b 1 ) = ( 1 0 a + b 1 ) , ( 1 a 0 1 ) ( 1 b 0 1 ) = ( 1 a + b 0 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}

Los dos productos matriciales muestran que hay dos subgrupos de M(2, F ) isomorfos a ( F ,+), el grupo aditivo de F . Dependiendo de qué incrustación se utilice, una operación es +, la otra es ∥ . {\displaystyle \parallel .}

Notas

  1. ^ ab Si bien el uso del símbolo ∥ para "paralelo" en geometría se remonta a 1673 en la obra de John Kersey el mayor , [A] este comenzó a usarse más a partir de aproximadamente 1875. [B] El uso de un operador matemático para circuitos paralelos se origina en la teoría de redes en ingeniería eléctrica . Sundaram Seshu introdujo un operador de suma reducida en 1956, [C] Kent E. Erickson propuso un asterisco (∗) para simbolizar el operador en 1959, [D] mientras que Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. usaron dos puntos (:) para la adición paralela desde 1966. [E] Sujit Kumar Mitra usó un punto medio (∙) para ello en 1970. [F] Se desconoce el primer uso del símbolo paralelo (∥) para este operador en electrónica aplicada , pero podría haberse originado en el libro de Stephen D. Senturia  [d] y Bruce D. Wedlock de 1974 "Electronic Circuits and Applications", [G] que evolucionó a partir de su curso introductorio de electrónica en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT) con conceptos de enseñanza de teoría de redes y electrónica derivados de un curso anterior impartido por Campbell "Cam" Leach Searle. Se popularizó aún más a través del libro de John W. McWane de 1981 "Introducción a la electrónica y la instrumentación", [H] que surgió de un curso del MIT con el mismo nombre desarrollado como parte del influyente Proyecto de Desarrollo del Currículo Técnico entre 1974 y 1979. Este símbolo probablemente también se introdujo porque los otros símbolos utilizados podían confundirse fácilmente con los signos comúnmente utilizados para la multiplicación y la división en algunos contextos.
  2. ^ abc En circuitos eléctricos el operador paralelo puede aplicarse, respectivamente, a resistencias paralelas ( R en [Ω]) o inductancias ( L en [H]) así como a impedancias ( Z en [Ω]) o reactancias ( X en [Ω]). Ignorando el glifo del símbolo del operador, que en ese momento puede resultar engañoso , también puede aplicarse a circuitos en serie de, respectivamente, conductancias ( G en [S]) o capacitancias ( C en [F]) así como a admitancias ( Y en [S]) o susceptancias ( B en [S]).

Referencias

  1. ^ abcd Duffin, Richard James (1971) [1970, 1969]. "Network Models". Escrito en Durham, Carolina del Norte, EE. UU. En Wilf, Herbert Saul ; Hararay, Frank (eds.). Mathematical Aspects of Electrical Network Analysis. Actas de un simposio sobre matemáticas aplicadas de la American Mathematical Society y la Society for Industrial and Applied Mathematics celebrado en la ciudad de Nueva York, 1969-04-02/03. Vol. III de las Actas SIAM-AMS (edición ilustrada). Providence, Rhode Island: American Mathematical Society (AMS) / Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). págs. 65–92 [68]. ISBN 0-8218-1322-6. ISSN  0080-5084. LCCN  79-167683. ISBN 978-0-8218-1322-5 . Informe 69-21 . Consultado el 5 de agosto de 2019 . págs. 68–69: […] Para tener una notación corta conveniente para la resistencia conjunta de resistencias conectadas en paralelo, sea […] A:B = AB/(A+B) […] A:B puede considerarse como una nueva operación denominada adición en paralelo […] La adición en paralelo se define para cualquier número no negativo. El modelo de red muestra que la adición en paralelo es conmutativa y asociativa . Además, la multiplicación es distributiva sobre esta operación. Consideremos ahora una expresión algebraica en las operaciones (+) y (:) que operan sobre números positivos A, B, C, etc. […] Para dar una interpretación de red de dicho polinomio, léase A + B como "A serie B" y A : B como "A paralelo B", entonces es claro que la expresión […] es la resistencia conjunta de la red […] [1] [2] (206 páginas)
  2. ^ Kersey (el mayor), John (1673). "Capítulo I: Sobre el alcance de este cuarto libro y el significado de los caracteres, abreviaturas y citas que se utilizan en él". Los elementos de ese arte matemático, comúnmente llamado álgebra. Vol. Libro IV - Los elementos de las artes algebraicas. Londres: Thomas Passinger, Three-Bibles, London-Bridge. págs. 177–178. Archivado desde el original el 2020-08-05 . Consultado el 2019-08-09 .
  3. ^ Cajori, Florian (1993) [septiembre de 1928]. "§ 184, § 359, § 368". Una historia de las notaciones matemáticas: notaciones en matemáticas elementales. Vol. 1 (dos volúmenes en una sola edición reimpresa sin modificaciones). Chicago, EE. UU.: Open Court Publishing Company . págs. 193, 402–403, 411–412. ISBN 0-486-67766-4. LCCN  93-29211 . Consultado el 22 de julio de 2019 . págs. 402–403, 411–412: §359. […] ∥ para paralelo aparece en la Opuscula mathematica hactenus inedita (1677) de Oughtred [p. 197], una obra póstuma (§ 184) […] §368. Signos para líneas paralelas. […] cuando el signo de igualdad de Recorde se abrió camino en el continente , las líneas verticales comenzaron a usarse para el paralelismo. Encontramos ∥ para "paralelo" en Kersey , [A] Caswell , Jones , [B] Wilson, [C] Emerson , [D] Kambly, [E] y los escritores de los últimos cincuenta años que ya han sido citados en relación con otros pictogramas. Antes de 1875 aproximadamente no aparecía con tanta frecuencia […] Hall y Stevens [F] usan "par [F] o ∥" para paralelo […] [A] John Kersey , Álgebra (Londres, 1673), Libro IV, pág. 177.[B] W. Jones , Sinopsis palmarioum matheseos (Londres, 1706).[C] John Wilson, Trigonometría (Edimburgo, 1714), caracteres explicados.[D] W. Emerson , Elementos de geometría (Londres, 1763), pág. 4.[E] L. Kambly  [de] , Die Elementar-Mathematik , Parte 2: Planimetrie , 43. edición (Breslau, 1876), p. 8. […][F] HS Hall y FH Stevens, Elementos de Euclides , Partes I y II (Londres, 1889), pág. 10. […][3]
  4. ^ "INA 326/INA 327 – Amplificador de instrumentación de E/S de precisión de riel a riel" (PDF) . Burr-Brown / Texas Instruments . 2018 [noviembre de 2004, noviembre de 2001]. págs. 3, 9, 13. SBOS222D. Archivado (PDF) desde el original el 2019-07-13 . Consultado el 2019-07-13 .
  5. ^ Bober, William; Stevens, Andrew (2016). "Capítulo 7.6. Transformadas de Laplace aplicadas a circuitos". Métodos numéricos y analíticos con MATLAB para ingenieros eléctricos. Mecánica aplicada y computacional (1.ª ed.). CRC Press . p. 224. ISBN 978-1-46657607-0. ISBN 1-46657607-3 . (388 páginas)
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  7. ^ abcdefg Ellerman, David Patterson (21 de marzo de 1995). "Capítulo 12: Adición paralela, dualidad serie-paralelo y matemáticas financieras". La intrusión intelectual como forma de vida: ensayos de filosofía, economía y matemáticas (PDF) . La filosofía mundana: estudios en la intersección de la filosofía y la economía (edición ilustrada). Rowman & Littlefield Publishers, Inc., págs. 237-268. ISBN 0-8476-7932-2. Archivado (PDF) del original el 5 de marzo de 2016 . Consultado el 9 de agosto de 2019 . p. 237: […] Cuando se colocan en serie resistencias con resistencia a y b, su resistencia compuesta es la suma habitual (en adelante, suma en serie ) de las resistencias a + b. Si las resistencias se colocan en paralelo, su resistencia compuesta es la suma en paralelo de las resistencias, que se denota con los dos puntos […][4] (271 páginas)
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