Atlas (topología)

En matemáticas , particularmente en topología , un atlas es un concepto utilizado para describir una variedad . Un atlas consiste en gráficos individuales que, en términos generales, describen regiones individuales de la variedad. En general, la noción de atlas subyace a la definición formal de una variedad y estructuras relacionadas, como los fibrados vectoriales y otros fibrados de fibras .

La definición de un atlas depende de la noción de gráfico . Un gráfico para un espacio topológico M es un homeomorfismo de un subconjunto abierto U de M a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano . El gráfico se registra tradicionalmente como el par ordenado . ^[1]${\estilo de visualización \varphi}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

Cuando se elige un sistema de coordenadas en el espacio euclidiano, este define coordenadas en : las coordenadas de un punto de se definen como las coordenadas de El par formado por un gráfico y dicho sistema de coordenadas se denomina sistema de coordenadas local , gráfico de coordenadas , parche de coordenadas , mapa de coordenadas o marco local .${\estilo de visualización U}$${\estilo de visualización P}$${\estilo de visualización U}$${\displaystyle \varphi (P).}$

Un atlas de un espacio topológico es una familia indexada de cartas en la que se encuentran cubiertas (es decir, ). Si para algún n fijo , la imagen de cada carta es un subconjunto abierto del espacio euclidiano n -dimensional , entonces se dice que es una variedad n -dimensional . ${\estilo de visualización M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$${\estilo de visualización M}$ ${\estilo de visualización M}$${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$${\estilo de visualización M}$

El plural de atlas es atlases , aunque algunos autores utilizan atlantes . ^{[2] [3]}

Un atlas sobre una variedad -dimensional se denomina atlas adecuado si se cumplen las siguientes condiciones: ^{[ aclaración necesaria ]}${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización M}$

• La imagen de cada gráfico es o , donde es el semiespacio cerrado , ^{[ aclaración necesaria ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R}_{+}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R}_{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$es una cubierta abierta localmente finita de , y${\estilo de visualización M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, donde es la bola abierta de radio 1 centrada en el origen.$Estilo de visualización B_{1}$

Toda variedad de segundo número contable admite un atlas adecuado. ^[4] Además, si es una cobertura abierta de la variedad de segundo número contable , entonces hay un atlas adecuado en , tal que es un refinamiento de . ^[4]${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Un mapa de transición permite comparar dos cartas de un atlas. Para ello, se considera la composición de una carta con la inversa de la otra. Esta composición no está bien definida a menos que limitemos ambas cartas a la intersección de sus dominios de definición. (Por ejemplo, si tenemos una carta de Europa y una carta de Rusia, podemos comparar estas dos cartas en su superposición, es decir, la parte europea de Rusia).

Para ser más precisos, supongamos que y son dos gráficos para una variedad M tal que no está vacía . El mapa de transición es el mapa definido por${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha } \cap U_{\beta })}$$${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Nótese que dado que y son ambos homeomorfismos, el mapa de transición también es un homeomorfismo.${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$${\displaystyle \varphi _{\beta }}$${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

A menudo se desea que una variedad tenga más estructura que la simple estructura topológica. Por ejemplo, si se desea una noción inequívoca de diferenciación de funciones en una variedad, entonces es necesario construir un atlas cuyas funciones de transición sean diferenciables . Una variedad de este tipo se llama diferenciable . Dada una variedad diferenciable, se puede definir inequívocamente la noción de vectores tangentes y luego las derivadas direccionales .

Si cada función de transición es una función suavizada , entonces el atlas se denomina atlas suavizado y la variedad misma se denomina suavizada . Alternativamente, se podría exigir que las funciones de transición tengan solo k derivadas continuas, en cuyo caso se dice que el atlas es .$Estilo de visualización C^{k}}$

De manera muy general, si cada función de transición pertenece a un pseudogrupo de homeomorfismos del espacio euclidiano, entonces el atlas se denomina -atlas. Si las funciones de transición entre los gráficos de un atlas conservan una trivialización local , entonces el atlas define la estructura de un haz de fibras.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

• Atlas liso
• Marco liso

• Atlas de Rowland, Todd