Semigrupo de matrices de Rees
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En matemáticas , los semigrupos de matrices de Rees son una clase especial de semigrupos introducidos por David Rees en 1940. Son de importancia fundamental en la teoría de semigrupos porque se utilizan para clasificar ciertas clases de semigrupos simples .
Definición
Sea S un semigrupo, I y Λ conjuntos no vacíos y P una matriz indexada por I y Λ con entradas p λ , i tomadas de S . Entonces el semigrupo de matrices de Rees M ( S ; I , Λ ; P ) es el conjunto I × S × Λ junto con la multiplicación
- (i, s, λ)(j, t, μ) = (i, s p λ,j t, μ) .
Los semigrupos de matrices de Rees son una técnica importante para construir nuevos semigrupos a partir de los antiguos.
Teorema de Rees
En su artículo de 1940, Rees demostró el siguiente teorema que caracteriza a semigrupos completamente simples :
Un semigrupo es completamente simple si y sólo si es isomorfo a un semigrupo de matrices de Rees sobre un grupo .
Es decir, todo semigrupo completamente simple es isomorfo a un semigrupo de la forma M ( G ; I , Λ ; P ) para algún grupo G . Además, Rees demostró que si G es un grupo y G 0 es el semigrupo obtenido a partir de G añadiendo un elemento cero , entonces M ( G 0 ; I , Λ ; P ) es un semigrupo regular si y solo si cada fila y columna de la matriz P contiene un elemento que no es 0. Si tal M ( G 0 ; I , Λ ; P ) es regular, entonces también es completamente 0-simple .
Véase también
Referencias
- Rees, David (1940), Sobre semigrupos , vol. 3, Proc. Camb. Philos. Soc. , págs. 387–400.
- Howie, John M. (1995), Fundamentos de la teoría de semigrupos , Clarendon Press , ISBN 0-19-851194-9.
