Matriz definida

En matemáticas , una matriz simétrica con entradas reales es definida positiva si el número real es positivo para cada vector columna real distinto de cero donde es la transpuesta del vector fila de ^[1] De manera más general, una matriz hermítica (es decir, una matriz compleja igual a su transpuesta conjugada ) es definida positiva si el número real es positivo para cada vector columna complejo distinto de cero donde denota la transpuesta conjugada de${\estilo de visualización \ M\}$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \\mathbf {x} \ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }$ ${\displaystyle \\mathbf {x} ~.}$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }$${\displaystyle \\mathbf {z} ~.}$

Las matrices semidefinidas positivas se definen de manera similar, excepto que se requiere que los escalares y sean positivos o cero (es decir, no negativos). Las matrices definidas negativas y semidefinidas negativas se definen de manera análoga. Una matriz que no es semidefinida positiva ni semidefinida negativa a veces se denomina indefinida .${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$

De las definiciones anteriores se desprende que una matriz es definida positiva si y solo si es la matriz de una forma cuadrática definida positiva o forma hermítica . En otras palabras, una matriz es definida positiva si y solo si define un producto interno .

Las matrices definidas positivas y semidefinidas positivas se pueden caracterizar de muchas maneras, lo que puede explicar la importancia del concepto en varias partes de las matemáticas. Una matriz M es definida positiva si y solo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes.

• ${\estilo de visualización \ M\}$es congruente con una matriz diagonal con entradas reales positivas.
• ${\estilo de visualización \ M\}$es simétrica o hermítica, y todos sus valores propios son reales y positivos.
• ${\estilo de visualización \ M\}$es simétrica o hermítica, y todos sus principales menores son positivos.
• Existe una matriz invertible con transpuesta conjugada tal que${\estilo de visualización \ B\}$${\estilo de visualización \ B^{*}\ }$${\displaystyle \ M=B^{*}B~.}$

Una matriz es semidefinida positiva si satisface condiciones equivalentes similares donde "positivo" se reemplaza por "no negativo", "matriz invertible" se reemplaza por "matriz" y se elimina la palabra "principal".

Las matrices reales definidas positivas y semidefinidas positivas son la base de la optimización convexa , ya que, dada una función de varias variables reales que es dos veces diferenciable , entonces si su matriz hessiana (matriz de sus segundas derivadas parciales) es definida positiva en un punto , entonces la función es convexa cerca de p , y, a la inversa, si la función es convexa cerca de p, entonces la matriz hessiana es semidefinida positiva en${\estilo de visualización \ p\ ,}$${\estilo de visualización \ p\ ,}$${\estilo de visualización \ p~.}$

El conjunto de matrices definidas positivas es un cono convexo abierto , mientras que el conjunto de matrices semidefinidas positivas es un cono convexo cerrado . ^[2]

Algunos autores utilizan definiciones más generales de definición, incluidas algunas matrices reales no simétricas o complejas no hermíticas.

En las siguientes definiciones, es la transpuesta de es la transpuesta conjugada de y denota el vector cero de n dimensiones .${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }$${\displaystyle \\mathbf {x} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \\mathbf {0} \}$

Se dice que una matriz real simétrica es definida positiva si para todo valor distinto de cero en Formalmente,${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

Se dice que una matriz real simétrica es positiva-semidefinida o no negativa-definida si para todo en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \geq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

Se dice que una matriz real simétrica es definida negativamente si para todo valor distinto de cero en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} <0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

Se dice que una matriz real simétrica es semidefinida negativa o no definida positiva si para todo en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

Una matriz real simétrica que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se llama indefinida .${\displaystyle n\times n}$

Las siguientes definiciones implican el término. Nótese que este siempre es un número real para cualquier matriz cuadrada hermítica.${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ~.}$${\displaystyle \ M~.}$

Se dice que una matriz compleja hermítica es definida positiva si para todos los valores distintos de cero en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

Se dice que una matriz compleja hermítica es semidefinida positiva o no definida negativamente si para todo en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \geq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

Se dice que una matriz compleja hermítica es definida negativamente si para todos los valores distintos de cero en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} <0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

Se dice que una matriz compleja hermítica es semidefinida negativa o no definida positiva si para todo en Formalmente,${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \leq 0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

Una matriz compleja hermítica que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se denomina indefinida .${\displaystyle \ n\times n\ }$

Dado que toda matriz real es también una matriz compleja, las definiciones de "definición" para las dos clases deben coincidir.

Para matrices complejas, la definición más común dice que es definida positiva si y solo si es real y positiva para todo vector columna complejo distinto de cero. Esta condición implica que es hermítica (es decir, su transpuesta es igual a su conjugado), ya que al ser real, es igual a su transpuesta conjugada para todo lo que implica${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \mathbf {z} ~.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ M^{*}\ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ M=M^{*}~.}$

Según esta definición, una matriz real definida positiva es hermítica, por lo tanto simétrica; y es positiva para todos los vectores columna reales distintos de cero . Sin embargo, la última condición por sí sola no es suficiente para que sea definida positiva. Por ejemplo, si${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}$${\displaystyle \ M\ }$$${\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}~1~&~1~\\-1~&~1~\end{bmatrix}},}$$

Entonces, para cualquier vector real con entradas y tenemos que siempre es positivo si no es cero. Sin embargo, si es el vector complejo con entradas 1 y se obtiene${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ a\ }$${\displaystyle \ b\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ i\ ,}$

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ={\begin{bmatrix}~1~&-i~\end{bmatrix}}\ M\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~1+i~&~1-i~\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}=2+2i~.}$$

que no es real. Por lo tanto, no es positiva-definida.${\displaystyle \ M\ }$

Por otra parte, para una matriz real simétrica la condición " para todos los vectores reales distintos de cero implica que es positiva-definida en el sentido complejo.${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} >0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

Si una matriz hermítica es semidefinida positiva, a veces se escribe y si es positiva-definida se escribe Para denotar que es semidefinida negativa se escribe y para denotar que es negativa-definida se escribe${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\succeq 0\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\succ 0~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\preceq 0\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\prec 0~.}$

La noción proviene del análisis funcional donde las matrices semidefinidas positivas definen operadores positivos . Si dos matrices y satisfacen podemos definir un orden parcial no estricto que es reflexivo , antisimétrico y transitivo ; no es un orden total , sin embargo, como en general, puede ser indefinido.${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B-A\succeq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ B\succeq A\ }$${\displaystyle \ B-A\ ,}$

Una notación alternativa común es y para matrices semidefinidas positivas y definidas positivas, semidefinidas negativas y definidas negativas, respectivamente. Esto puede resultar confuso, ya que a veces las matrices no negativas (respectivamente, matrices no positivas) también se denotan de esta manera.${\displaystyle \ M\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M>0\ ,}$ ${\displaystyle \ M\leq 0\ ,}$${\displaystyle \ M<0\ }$

Sea una matriz hermítica (esto incluye matrices simétricas reales ). Todos los valores propios de son reales y su signo caracteriza su definitividad:${\displaystyle M}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$es definida positiva si y sólo si todos sus valores propios son positivos.
• ${\displaystyle M}$es semidefinida positiva si y sólo si todos sus valores propios son no negativos.
• ${\displaystyle M}$es definida negativa si y sólo si todos sus valores propios son negativos
• ${\displaystyle M}$es semidefinida negativa si y sólo si todos sus valores propios son no positivos.
• ${\displaystyle M}$es indefinido si y sólo si tiene valores propios tanto positivos como negativos.

Sea una descomposición propia de donde es una matriz compleja unitaria cuyas columnas comprenden una base ortonormal de vectores propios de y es una matriz diagonal real cuya diagonal principal contiene los valores propios correspondientes . La matriz puede considerarse como una matriz diagonal que se ha reexpresado en coordenadas de la base (de los vectores propios). Dicho de otro modo, aplicar a algún vector dar es lo mismo que cambiar la base al sistema de coordenadas del vector propio usando dar aplicar la transformación de estiramiento al resultado, dar y luego volver a cambiar la base usando dar${\displaystyle \ PDP^{-1}\ }$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ P\ }$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ P~.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ M\mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ P^{-1}\ ,}$${\displaystyle \ P^{-1}\mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ DP^{-1}\mathbf {z} \ ,}$${\displaystyle \ P\ ,}$${\displaystyle \ PDP^{-1}\mathbf {z} ~.}$

Teniendo esto en mente, el cambio de variable uno a uno muestra que es real y positivo para cualquier vector complejo si y solo si es real y positivo para cualquier en otras palabras, si es definido positivo. Para una matriz diagonal, esto es cierto solo si cada elemento de la diagonal principal (es decir, cada valor propio de ) es positivo. Dado que el teorema espectral garantiza que todos los valores propios de una matriz hermítica sean reales, la positividad de los valores propios se puede verificar utilizando la regla de signos alternantes de Descartes cuando se dispone del polinomio característico de una matriz real y simétrica .${\displaystyle \ \mathbf {y} =P\mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} \ }$${\displaystyle \ y\ ;}$${\displaystyle \ D\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M\ }$

Sea una matriz hermítica . es semidefinida positiva si y sólo si puede descomponerse como producto de una matriz con su transpuesta conjugada .${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$$${\displaystyle \ M=B^{*}B\ }$$${\displaystyle \ B\ }$

Cuando es real, también puede ser real y la descomposición se puede escribir como${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ B\ }$$${\displaystyle \ M=B^{\top }B~.}$$

${\displaystyle M}$es positiva definida si y solo si existe tal descomposición con invertible . De manera más general, es positiva semidefinida con rango si y solo si existe una descomposición con una matriz de rango de fila completo (es decir, de rango ). Además, para cualquier descomposición ^[3]${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ k\ }$${\displaystyle \ k\times n\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ k\ }$${\displaystyle \ M=B^{*}B\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B)~.}$

Las columnas de pueden verse como vectores en el espacio vectorial complejo o real respectivamente. Entonces las entradas de son productos internos (es decir, productos escalares , en el caso real) de estos vectores. En otras palabras, una matriz hermítica es semidefinida positiva si y solo si es la matriz de Gram de algunos vectores. Es definida positiva si y solo si es la matriz de Gram de algunos vectores linealmente independientes . En general, el rango de la matriz de Gram de vectores es igual a la dimensión del espacio abarcado por estos vectores. ^[4]${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}\ ,}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \ M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle ~.}$$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}~.}$${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$

La descomposición no es única: si para alguna matriz y si es cualquier matriz unitaria (es decir ), entonces para${\displaystyle \ M=B^{*}B\ }$${\displaystyle \ k\times n\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ Q\ }$ ${\displaystyle k\times k}$${\displaystyle \ Q^{*}Q=QQ^{*}=I\ }$${\displaystyle \ M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A\ }$${\displaystyle \ A=QB~.}$

Sin embargo, esta es la única forma en que dos descomposiciones pueden diferir: La descomposición es única hasta las transformaciones unitarias . Más formalmente, si es una matriz y es una matriz tal que entonces hay una matriz con columnas ortonormales (es decir ) tal que ^[5] Cuando esto significa es unitaria .${\displaystyle \ A\ }$${\displaystyle \ k\times n\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ \ell \times n\ }$${\displaystyle \ A^{*}A=B^{*}B\ ,}$${\displaystyle \ \ell \times k\ }$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \ Q^{*}Q=I_{k\times k}\ }$${\displaystyle \ B=QA~.}$${\displaystyle \ell =k}$${\displaystyle Q}$

Esta afirmación tiene una interpretación geométrica intuitiva en el caso real: sean las columnas de y los vectores y en Una matriz unitaria real es una matriz ortogonal , que describe una transformación rígida (una isometría del espacio euclidiano ) que conserva el punto 0 (es decir, rotaciones y reflexiones , sin traslaciones). Por lo tanto, los productos escalares y son iguales si y solo si alguna transformación rígida de transforma los vectores a (y 0 a 0).${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}~.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Una matriz hermítica es semidefinida positiva si y solo si hay una matriz semidefinida positiva (en particular es hermítica, por lo que ) que satisface Esta matriz es única, ^[6] se llama raíz cuadrada no negativa de y se denota con Cuando es definida positiva, por lo que es por lo tanto también se llama raíz cuadrada positiva de${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ B^{*}=B\ }$${\displaystyle \ M=BB~.}$${\displaystyle \ B\ }$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle \ B=M^{\frac {1}{2}}~.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\ ,}$${\displaystyle \ M~.}$

La raíz cuadrada no negativa no debe confundirse con otras descomposiciones Algunos autores utilizan el nombre raíz cuadrada y para cualquier descomposición de este tipo, o específicamente para la descomposición de Cholesky , o cualquier descomposición de la forma otros solo lo utilizan para la raíz cuadrada no negativa.${\displaystyle \ M=B^{*}B~.}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \ M=BB\ ;}$

Si entonces${\displaystyle \ M\succ N\succ 0\ }$${\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0~.}$

Una matriz semidefinida positiva hermítica se puede escribir como donde es triangular inferior con diagonal no negativa (equivalentemente donde es triangular superior); esta es la descomposición de Cholesky . Si es definida positiva, entonces la diagonal de es positiva y la descomposición de Cholesky es única. Por el contrario, si es triangular inferior con diagonal no negativa, entonces es semidefinida positiva. La descomposición de Cholesky es especialmente útil para cálculos numéricos eficientes. Una descomposición estrechamente relacionada es la descomposición LDL , donde es diagonal y es unitriangular inferior .${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M=LL^{*}\ ,}$${\displaystyle \ L\ }$${\displaystyle M=B^{*}B}$${\displaystyle \ B=L^{*}\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ L\ }$${\displaystyle \ L\ }$${\displaystyle \ LL^{*}\ }$${\displaystyle \ M=LDL^{*}\ ,}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \ L\ }$

Cualquier matriz real hermítica definida positiva puede diagonalizarse mediante matrices simplécticas (reales). Más precisamente, el teorema de Williamson asegura la existencia de matrices reales simplécticas y diagonales positivas tales que .${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$

Sea una matriz simétrica real , y sea la "bola unidad" definida por Entonces tenemos lo siguiente${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 1\}\ }$${\displaystyle \ M~.}$

• ${\displaystyle \ B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })}$es una losa sólida intercalada entre${\displaystyle \ \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}~.}$
• ${\displaystyle \ M\succeq 0\ }$si y solo si es un elipsoide o un cilindro elipsoidal.${\displaystyle \ B_{1}(M)\ }$
• ${\displaystyle \ M\succ 0\ }$si y solo si está acotado, es decir, es un elipsoide.${\displaystyle \ B_{1}(M)\ }$
• Si entonces si y sólo si si y sólo si${\displaystyle \ N\succ 0\ ,}$${\displaystyle \ M\succeq N\ }$${\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N)\ ;}$ ${\displaystyle \ M\succ N\ }$${\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} \!{\bigl (}\ B_{1}(N)\ {\bigr )}~.}$
• Si entonces para todos si y sólo si Entonces, dado que el dual polar de un elipsoide es también un elipsoide con los mismos ejes principales, con longitudes inversas, tenemos Es decir, si es positivo-definido, entonces para todos si y sólo si${\displaystyle \ N\succ 0\ ,}$${\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }$${\displaystyle v\neq 0}$${\textstyle \ B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top })~.}$$${\displaystyle \ B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}~.}$$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} \neq \mathbf {0} \ }$${\displaystyle \ M\succeq N^{-1}~.}$

Sea una matriz hermítica . Las siguientes propiedades son equivalentes a ser definida positiva:${\displaystyle M}$${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

La forma sesquilínea asociada es un producto interno

La forma sesquilínea definida por es la función de a tal que para todos y en donde es la transpuesta conjugada de Para cualquier matriz compleja esta forma es lineal en y semilineal en Por lo tanto, la forma es un producto interno de si y solo si es real y positivo para todo distinto de cero , es decir si y solo si es definido positivo. (De hecho, cada producto interno de surge de esta manera a partir de una matriz definida positiva hermítica).${\displaystyle M}$${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$${\displaystyle \ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {y} \ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}\ }$${\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}$${\displaystyle \ M\ ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$${\displaystyle \ \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle \ }$${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ;}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$

Sus principales menores son todos positivos

El k -ésimo menor principal de una matriz es el determinante de su submatriz superior izquierda . Resulta que una matriz es definida positiva si y solo si todos estos determinantes son positivos. Esta condición se conoce como criterio de Sylvester y proporciona una prueba eficiente de la definición positiva de una matriz real simétrica. Es decir, la matriz se reduce a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales de fila , como en la primera parte del método de eliminación gaussiana , teniendo cuidado de preservar el signo de su determinante durante el proceso de pivoteo . Dado que el k -ésimo menor principal de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales hasta la fila, el criterio de Sylvester es equivalente a verificar si sus elementos diagonales son todos positivos. Esta condición se puede verificar cada vez que se obtiene una nueva fila de la matriz triangular.${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ k\times k\ }$${\displaystyle \ k\ ,}$${\displaystyle \ k\ }$

Una matriz semidefinida positiva es definida positiva si y solo si es invertible . ^[7] Una matriz es (semi)definida negativa si y solo si es (semi)definida positiva.${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ -M\ }$

La forma (puramente) cuadrática asociada con una matriz real es la función tal que para todo se puede asumir que es simétrico reemplazándolo por ya que cualquier parte asimétrica se anulará en el producto de doble cara.${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \ }$${\displaystyle \ Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ ,}$

Una matriz simétrica es definida positiva si y sólo si su forma cuadrática es una función estrictamente convexa .${\displaystyle \ M\ }$

En términos más generales, cualquier función cuadrática de a se puede escribir como donde es una matriz simétrica , es un vector n real y una constante real. En el caso, se trata de una parábola y, al igual que en el caso, tenemos${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}\ }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {x} +c\ }$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ n\times n\ }$${\displaystyle \ \mathbf {b} \ }$${\displaystyle \ c\ }$${\displaystyle \ n=1\ }$${\displaystyle \ n=1\ }$

Teorema: Esta función cuadrática es estrictamente convexa y, por lo tanto, tiene un mínimo global finito único, si y solo si es definida positiva.${\displaystyle \ M\ }$

Demostración: Si es definida positiva, entonces la función es estrictamente convexa. Su gradiente es cero en el único punto del cual debe ser el mínimo global ya que la función es estrictamente convexa. Si no es definida positiva, entonces existe algún vector tal que la función es una línea o una parábola descendente, por lo tanto no es estrictamente convexa y no tiene un mínimo global.${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M^{-1}\mathbf {b} \ ,}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\mathbf {v} \leq 0\ ,}$${\displaystyle \ f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\top }M(t\mathbf {v} )+b^{\top }(t\mathbf {v} )+c\ }$

Por esta razón, las matrices definidas positivas juegan un papel importante en los problemas de optimización .

Una matriz simétrica y otra matriz que sea a la vez simétrica y definida positiva pueden diagonalizarse simultáneamente . Esto es así aunque la diagonalización simultánea no se realiza necesariamente con una transformación de semejanza . Este resultado no se extiende al caso de tres o más matrices. En esta sección escribimos para el caso real. La extensión al caso complejo es inmediata.

Sea una matriz simétrica y una matriz simétrica y definida positiva. Escriba la ecuación de valor propio generalizada como donde imponemos que se normalice, es decir Ahora usamos la descomposición de Cholesky para escribir la inversa de como Multiplicando por y dejando que obtenemos que se puede reescribir como donde La manipulación ahora produce donde es una matriz que tiene como columnas los vectores propios generalizados y es una matriz diagonal de los valores propios generalizados. Ahora la premultiplicación con da el resultado final: y pero note que esto ya no es una diagonalización ortogonal con respecto al producto interno donde De hecho, diagonalizamos con respecto al producto interno inducido por ^[8]${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} =1~.}$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ Q^{\top }Q~.}$${\displaystyle \ Q\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} =Q^{\top }\mathbf {y} \ ,}$${\displaystyle \ Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\top }\mathbf {y} =0\ ,}$${\displaystyle \ \left(QMQ^{\top }\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} \ }$${\displaystyle \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}$${\displaystyle MX=NX\Lambda }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle X^{\top }}$${\displaystyle \ X^{\top }MX=\Lambda \ }$${\displaystyle \ X^{\top }NX=I\ ,}$${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N~.}$

Obsérvese que este resultado no contradice lo que se dice sobre la diagonalización simultánea en el artículo Matriz diagonalizable , que se refiere a la diagonalización simultánea mediante una transformación de similitud. Nuestro resultado aquí es más parecido a una diagonalización simultánea de dos formas cuadráticas y es útil para la optimización de una forma en condiciones de la otra.

Para matrices cuadradas arbitrarias escribimos si ie, es semidefinido positivo. Esto define un ordenamiento parcial en el conjunto de todas las matrices cuadradas. De manera similar, se puede definir un ordenamiento parcial estricto . El ordenamiento se denomina orden de Loewner .${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ M\geq N\ }$${\displaystyle \ M-N\geq 0\ }$${\displaystyle \ M-N\ }$${\displaystyle \ M>N~.}$

Toda matriz definida positiva es invertible y su inversa también es definida positiva. ^[9] Si entonces ^[10] Además, por el teorema min-max , el k -ésimo valor propio más grande de es mayor o igual que el k -ésimo valor propio más grande de${\displaystyle \ M\geq N>0\ }$${\displaystyle \ N^{-1}\geq M^{-1}>0~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N~.}$

Si es definido positivo y es un número real, entonces es definido positivo. ^[11]${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ r>0\ }$${\displaystyle \ rM\ }$

• Si y son definidas positivas, entonces la suma también es definida positiva. ^[11]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• Si y son semidefinidas positivas, entonces la suma también es semidefinida positiva.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$
• Si es positiva-definida y es positiva-semidefinida, entonces la suma también es positiva-definida.${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M+N}$

• Si y son definidas positivas, entonces los productos y también son definidas positivas. Si entonces también es definida positiva.${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ MNM\ }$${\displaystyle NMN}$${\displaystyle \ MN=NM\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$
• Si es semidefinida positiva, entonces es semidefinida positiva para cualquier matriz (posiblemente rectangular). Si es definida positiva y tiene rango de columna completo, entonces es definida positiva. ^[12]${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ A^{*}MA\ }$${\displaystyle \ A~.}$${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ A^{*}MA\ }$

Las entradas diagonales de una matriz semidefinida positiva son reales y no negativas. En consecuencia, la traza , Además, ^[13] dado que cada submatriz principal (en particular, 2 por 2) es semidefinida positiva,${\displaystyle \ m_{ii}\ }$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)\geq 0~.}$$${\displaystyle \ \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j\ }$$

y así, cuando${\displaystyle \ n\geq 1\ ,}$$${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

Una matriz hermítica es definida positiva si satisface las siguientes desigualdades de trazas: ^[14]${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1~.}$$

Otro resultado importante es que para cualquier matriz semidefinida positiva, Esto se deduce escribiendo La matriz es semidefinida positiva y, por lo tanto, tiene valores propios no negativos, cuya suma, la traza, es, por lo tanto, también no negativa.${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle N}$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)\geq 0~.}$${\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}})~.}$${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$

Si aunque no es necesariamente semidefinido positivo, el producto de Hadamard es, (este resultado a menudo se llama teorema del producto de Schur ). ^[15]${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$${\displaystyle \ M\circ N\geq 0\ }$

Respecto al producto de Hadamard de dos matrices semidefinidas positivas hay dos desigualdades notables:${\displaystyle \ M=(m_{ij})\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ N\geq 0\ ,}$

• Desigualdad de Oppenheim: ^[16]${\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}~.}$
• ${\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N)~.}$^[17]

Si aunque no es necesariamente semidefinido positivo, el producto de Kronecker${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle M\otimes N\geq 0~.}$

Si bien no es necesariamente semidefinido positivo, el producto interno de Frobenius (Lancaster–Tismenetsky, The Theory of Matrices , p. 218).${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle \ M:N\geq 0\ }$

El conjunto de matrices simétricas semidefinidas positivas es convexo . Es decir, si y son semidefinidas positivas, entonces para cualquier número entre 0 y 1 , también es semidefinida positiva. Para cualquier vector :${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ N\ }$${\displaystyle \ \alpha \ }$${\displaystyle \ \alpha M+\left(1-\alpha \right)N\ }$${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$$${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} \geq 0~.}$$