Secuencia de alícuotas

En matemáticas , una sucesión alícuota es una sucesión de números enteros positivos en la que cada término es la suma de los divisores propios del término anterior. Si la sucesión llega al número 1, termina, ya que la suma de los divisores propios de 1 es 0.

La secuencia alícuota que comienza con un entero positivo k se puede definir formalmente en términos de la función suma de divisores σ ₁ o la función suma de alícuotas s de la siguiente manera: ^[1] Si se agrega la condición s _{n -1} = 0 , entonces los términos después de 0 son todos 0, y todas las secuencias alícuotas serían infinitas, y podemos conjeturar que todas las secuencias alícuotas son convergentes , el límite de estas secuencias suele ser 0 o 6.$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{si}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{si}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{indefinido}}\end{aligned}}}$$

Por ejemplo, la secuencia alícuota de 10 es 10, 8, 7, 1, 0 porque:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{aligned}}}$$

Muchas secuencias alícuotas terminan en cero; todas estas secuencias terminan necesariamente con un número primo seguido de 1 (ya que el único divisor propio de un primo es 1), seguido de 0 (ya que 1 no tiene divisores propios). Consulte (secuencia A080907 en la OEIS ) para obtener una lista de dichos números hasta 75. Hay una variedad de formas en las que una secuencia alícuota podría no terminar:

• Un número perfecto tiene una secuencia alícuota repetida de período 1. La secuencia alícuota de 6, por ejemplo, es 6, 6, 6, 6, ...
• Un número amigo tiene una secuencia alícuota repetida de período 2. Por ejemplo, la secuencia alícuota de 220 es 220, 284, 220, 284, ...
• Un número sociable tiene una secuencia alícuota repetida de período 3 o mayor. (A veces, el término número sociable también se usa para abarcar números amigables). Por ejemplo, la secuencia alícuota de 1264460 es 1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...
• Algunos números tienen una secuencia alícuota que eventualmente es periódica, pero el número en sí no es perfecto, amigable o sociable. Por ejemplo, la secuencia alícuota de 95 es 95, 25, 6, 6, 6, 6, ... Los números como 95 que no son perfectos, pero tienen una secuencia alícuota que eventualmente se repite con período 1, se denominan números aspirantes . ^[2]

Las longitudes de las secuencias alícuotas que comienzan en n son

1, 2, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 4, 2, 7, 2, 5, 5, 6, 2, 4, 2, 7, 3, 6, 2, 5, 1, 7, 3, 1, 2, 15, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 2, 7, 3, 4, 2, 14, 2, 5, 7, 8, 2, 6, 4, 3, ... (secuencia A044050 en la OEIS )

Los términos finales (excluyendo 1) de las secuencias alícuotas que comienzan en n son

1, 2, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 3, 7, 11, 3, 13, 7, 3, 3, 17, 11, 19, 7, 11, 7, 23, 17, 6, 3, 13, 28, 29, 3, 31, 31, 3, 7, 13, 17, 37, 7, 17, 43, 41, 3, 43, 43, 3, 3, 47, 41, 7, 43, ... (secuencia A115350 en la OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas termina en 1 son

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (secuencia A080907 en la OEIS )

Los números cuya secuencia alícuota se sabe que termina en un número perfecto , distintos de los propios números perfectos (6, 28, 496, ...), son

25, 95, 119, 143, 417, 445, 565, 608, 650, 652, 675, 685, 783, 790, 909, 913, ... (secuencia A063769 en la OEIS )

Los números cuya secuencia de alícuotas termina en un ciclo con una longitud de al menos 2 son

220, 284, 562, 1064, 1184, 1188, 1210, 1308, 1336, 1380, 1420, 1490, 1604, 1690, 1692, 1772, 1816, 1898, 2008, 2122, 2152, 2172, 2362, ... (secuencia A121507 en la OEIS )

Los números cuya secuencia alícuota no se sabe si es finita o eventualmente periódica son

276, 306, 396, 552, 564, 660, 696, 780, 828, 888, 966, 996, 1074, 1086, 1098, 1104, 1134, 1218, 1302, 1314, 1320, 1338, 1350, 1356, 1392, 1398, 1410, 1464, 1476, 1488, ... (secuencia A131884 en la OEIS )

Un número que nunca es sucesor en una secuencia alícuota se llama número intocable .

2 , 5 , 52 , 88 , 96 , 120 , 124 , 146 , 162 , 188 , 206 , 210 , 216 , 238 , 246 , 248 , 262, 268, 276 , 288 , 290 , 292, 304, 306, 322, 324, 326, 336, 342, 372, 406, 408, 426, 430, 448, 472, 474, 498, ... (secuencia A005114 en la OEIS )

Una conjetura importante debida a Catalan , a veces llamada conjetura de Catalan- Dickson , es que cada secuencia alícuota termina en una de las formas anteriores: con un número primo, un número perfecto o un conjunto de números amigables o sociables. ^[3] La alternativa sería que exista un número cuya secuencia alícuota sea infinita pero nunca se repita. Cualquiera de los muchos números cuyas secuencias alícuotas no se han determinado completamente podría ser un número de este tipo. Los primeros cinco números candidatos a menudo se denominan los cinco de Lehmer (nombrados en honor a DH Lehmer ): 276 , 552, 564, 660 y 966. ^[4] Sin embargo, vale la pena señalar que 276 puede alcanzar un vértice alto en su secuencia alícuota y luego descender; el número 138 alcanza un pico de 179931895322 antes de regresar a 1.

Guy y Selfridge creen que la conjetura de Catalan-Dickson es falsa (por lo que conjeturan que algunas secuencias alícuotas no tienen límites superiores (es decir, divergen)). ^[5]

La sucesión de alícuotas se puede representar como un grafo dirigido , , para un entero dado , donde denota la suma de los divisores propios de . ^[6] Los ciclos en representan números sociables dentro del intervalo . Dos casos especiales son los bucles que representan números perfectos y los ciclos de longitud dos que representan pares amistosos .$Estilo de visualización G_{n,s}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización s(k)}$${\estilo de visualización k}$ $Estilo de visualización G_{n,s}$${\estilo de visualización [1,n]}$

• Dinámica aritmética

• Estado actual de las secuencias alícuotas con un término inicial inferior a 2 millones
• Tablas de ciclos de alícuotas (JOM Pedersen)
• Página de alícuotas (Wolfgang Creyaufmüller)
• Secuencias alícuotas (Christophe Clavier)
• Foro sobre el cálculo de secuencias de alícuotas (MersenneForum)
• Página de resumen de secuencias de alícuotas para secuencias de hasta 100000 (existen páginas similares para rangos superiores) (Karsten Bonath)
• Sitio de investigación activo sobre secuencias alícuotas (Jean-Luc Garambois) (en francés)